(Finnöy, een eiland bij Stavanger, Noorwegen, 5 augustus 1802; Froland, Noorwegen, 6 April 1829)
wiskunde.Abels vader, Sören Georg Abel, was een Lutherse minister en zelf de zoon van een minister. Hij was een begaafde en zeer ambitieuze theoloog, opgeleid aan de Universiteit van Kopenhagen, die op dat moment de enige dergelijke instelling in het Verenigd Koninkrijk van Denemarken-Noorwegen was. Hij was getrouwd met Ane Marie Simonson, de dochter van een rijke koopman en reder in de stad Risör, aan de zuidkust. Finnöy was de eerste parochie voor pastor Abel; het was klein en vermoeiend, bestaande uit verschillende eilanden. Het echtpaar had zeven kinderen, zes zonen en een dochter; Niels Henrik was hun tweede kind.In 1804 werd Sören Georg Abel benoemd tot opvolger van zijn vader in de parochie Gjerstad, nabij Risör. De politieke situatie in Noorwegen was gespannen. Door zijn alliantie met Denemarken was het land in de Napoleontische oorlogen aan de kant van Frankrijk geworpen, en een Britse blokkade van de kust veroorzaakte wijdverspreide hongersnood. Pastor Abel was prominent in de nationalistische beweging, die werkte voor de oprichting van afzonderlijke Noorse instellingen—in het bijzonder een universiteit en een Nationale bank—zo niet voor regelrechte onafhankelijkheid. Bij het sluiten van het vredesverdrag van Kiel stond Denemarken Noorwegen af aan Zweden. De Noren kwamen in opstand en schreven hun eigen grondwet, maar na een korte en nutteloze oorlog tegen de Zweden Onder Bernadotte, werden ze gedwongen om een wapenstilstand te zoeken. Een unie met Zweden werd aanvaard en Abels vader werd een van de leden van de buitengewone Storting die in de herfst van 1814 werd opgeroepen om de noodzakelijke herziening van de nieuwe grondwet te schrijven.Niels Henrik Abel en zijn broers kregen hun eerste onderricht van hun vader, maar in 1815 werden Abel en zijn oudere broer naar de kathedraal School in Christiania (Oslo) gestuurd. Dit was een oude school waar veel ambtenaren in de provincie hun kinderen naartoe stuurden; sommige beurzen waren beschikbaar. De kathedraal School was uitstekend geweest, maar was toen op een lage EB, omdat de meeste van de goede leraren posities had aanvaard aan de nieuwe universiteit, die begon instructie in 1813.Abel was pas dertien jaar oud toen hij zijn huis verliet, en het lijkt waarschijnlijk dat het verslechterende gezinsleven zijn vertrek versneld heeft. Gedurende de eerste paar jaren waren zijn cijfers slechts bevredigend; daarna daalde de kwaliteit van zijn werk. Zijn broer verging het nog erger; hij begon tekenen van geestesziekte te vertonen en moest uiteindelijk naar huis worden gestuurd.In 1817 vond op de school een evenement plaats dat bedoeld was om Abels leven te veranderen. De wiskundeleraar mishandelde een van de leerlingen, die kort daarna overleed, mogelijk als gevolg van de straf. De leraar werd onmiddellijk ontslagen en zijn plaats werd ingenomen door Bernt Michael Holmboe, die slechts zeven jaar ouder was dan Abel. Holmboe diende ook als assistent van Christoffer Hansteen, hoogleraar astronomie en de toonaangevende wetenschapper aan de universiteit.Het duurde niet lang voordat Holmboe de buitengewone vaardigheid van Abel in de wiskunde ontdekte. Hij begon met het geven van hem speciale problemen en het aanbevelen van boeken buiten de school curriculum. De twee begonnen vervolgens samen de calculusteksten van Euler te bestuderen, en later de werken van de Franse wiskundigen, in het bijzonder Lagrange en Laplace. Abels vooruitgang ging zo snel dat hij al snel de echte leraar werd. Uit notitieboeken die bewaard zijn gebleven in de bibliotheek van de Universiteit van Oslo blijkt dat hij zelfs in deze vroege dagen al bijzonder geïnteresseerd was in de algebraïsche vergelijkingstheorie. Tegen de tijd dat hij klaar was met school, was hij bekend met de meeste belangrijke wiskundige literatuur. Holmboe was zo blij met het wiskundige genie dat hij had ontdekt dat de rector van de school maakte hem gematigd zijn uitspraken over Abel in het recordboek. Maar de professoren aan de universiteit werden goed geïnformeerd door Holmboe over de veelbelovende jonge man en maakte zijn persoonlijke kennis. Naast Hansteen, die ook technische wiskunde doceerde, was er slechts één hoogleraar wiskunde. Sören Rasmussen, een voormalig leraar aan de kathedraal School. Rasmussen, een vriendelijk man, was geen productieve geleerde; zijn tijd werd grotendeels besteed aan taken die hem door de regering waren toegewezen, met name in zijn functie als administrateur van de nieuwe bank van Noorwegen.Tijdens zijn laatste jaar op school viel Abel, met de kracht en onbescheidenheid van de jeugd, het probleem van de oplossing van de quintische vergelijking aan. Dit probleem was al open sinds de dagen van del Ferro, Tartaglia, Cardano en Ferrari in de eerste helft van de zestiende eeuw. Abel geloofde dat hij erin geslaagd was de vorm van de oplossing te vinden, maar in Noorwegen was niemand in staat om zijn argumenten te begrijpen, noch was er een wetenschappelijk tijdschrift waarin ze gepubliceerd konden worden. Hansteen stuurde het artikel door naar de Deense wiskundige Ferdinand degen, met het verzoek om publicatie ervan door de Deense Academie.
Degen kon geen enkele fout in de argumenten ontdekken, maar verzocht Abel zijn methode met een voorbeeld te illustreren. Degen vond het onderwerp ook wat steriel en stelde voor dat Abel zijn aandacht zou richten op een onderwerp “waarvan de ontwikkeling de grootste gevolgen zou hebben voor analyse en mechanica. Ik verwijs naar de elliptische transcendentalen . Een serieuze onderzoeker met geschikte kwalificaties voor dit soort onderzoek zou zich geenszins beperken tot de vele mooie eigenschappen van deze meest opmerkelijke functies, maar zou een straat van Magellan kunnen ontdekken die leidt tot uitgestrekte uitgestrekten van een enorme analytische Oceaan” (brief aan Hansteen).Abel begon zijn voorbeelden voor de oplossing van de vijfdegraads vergelijking te construeren, maar ontdekte tot zijn ontzetting dat zijn methode niet correct was. Hij volgde ook Degen ‘ s suggestie over de elliptische transcendentalen, en het is waarschijnlijk dat hij binnen een paar jaar zijn theorie van de elliptische functies grotendeels had voltooid.In 1818 werd pastor Abel herkozen in het Storting, na een mislukte bieding in 1816. Maar zijn politieke carrière eindigde in een tragedie. Hij maakte gewelddadige ongegronde aanklachten tegen andere vertegenwoordigers en werd bedreigd met afzetting. Dit, samen met zijn dronkenschap, maakte hem de kont van de pers. Hij keerde in ongenade terug naar huis, een gedesillusioneerd man. Zowel hij als zijn vrouw leden aan alcoholisme, en de omstandigheden in de pastorie en in de parochie werden schandalig. Het werd algemeen beschouwd als een opluchting toen hij stierf in 1820. Zijn weduwe bleef in zeer gespannen omstandigheden achter, met een klein pensioen dat nauwelijks voldoende was om haar en haar vele kinderen te onderhouden.In de herfst van 1821 ging Abel zonder geld naar de universiteit. Hij kreeg een gratis kamer in de universiteitsslaapzaal en kreeg toestemming om deze te delen met zijn jongere broer Peder. Maar de nieuwe instelling had geen fellowshipfondsen, en sommige professoren namen de ongebruikelijke maatregel om de jonge wiskundige uit hun eigen salaris te steunen. Hij was te gast in hun huizen en raakte vooral aangetrokken tot het Huis van Hansteen, en tot mevrouw Hansteen en haar zusters.Abels eerste taak aan de universiteit was om te voldoen aan de vereisten voor het voordiploma, Candidatus Philosophiae. Toen dit eenmaal was bereikt, na een jaar, Abel was volledig op zijn eigen in zijn studie. Er waren geen geavanceerde cursussen in de wiskunde en de natuurwetenschappen, maar dit lijkt geen handicap te zijn geweest; in een brief uit Parijs even later verklaarde hij dat hij vrijwel alles in de wiskunde had gelezen, belangrijk of onbelangrijk.Hij besteedde zijn tijd aan geavanceerd onderzoek en zijn inspanningen kregen een sterke impuls toen Hansteen een wetenschappelijk tijdschrift startte, Magazin for Naturvidenskaben. In 1823 publiceerde dit tijdschrift Abels eerste artikel in het Noors, a study of functional equations. Wiskundig was het niet belangrijk. zijn tweede papiertje ook niet. De abonnees van het tijdschrift was echter een populaire recensie beloofd, en Hansteen, waarschijnlijk na kritiek, voelde zich verplicht om zich te verontschuldigen voor het karakter van deze papers: “dus ik geloof dat het Magazin naast wetenschappelijke materialen ook de instrumenten voor hun analyse moet bevorderen. Het zal ons tot eer strekken dat wij het geleerde publiek de gelegenheid hebben gegeven kennis te maken met een werk uit de pen van deze getalenteerde en bekwame auteur” (Magazin, 1 ). Abels volgende artikel, “Opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp van bestemming Integraler” (“oplossing van sommige problemen door middel van bepaalde integralen”), is van belang in de geschiedenis van de wiskunde, omdat het de eerste oplossing van een integrale vergelijking bevat. Het papier, dat toen onopgemerkt bleef, deels omdat het in het Noors was, behandelt het mechanische probleem van de beweging van een massapunt op een kromme onder invloed van zwaartekracht. In de winter van 1822-1823 componeerde Abel ook een langer werk over de integratie van functionele uitdrukkingen. De paper werd voorgelegd aan het university Collegium in de hoop dat dat orgaan zou helpen bij de publicatie ervan. het manuscript is verdwenen, maar het lijkt waarschijnlijk dat sommige van de resultaten die erin zijn verkregen, zijn opgenomen in sommige latere artikelen van Abel.Begin de zomer van 1823 ontving Abel een gift van 100 daler van Professor Rasmussen om een reis naar Kopenhagen te financieren om Degen en de andere Deense wiskundigen te ontmoeten. Zijn brieven aan Holmboe onthullen de wiskundige inspiratie die hij kreeg. Hij verbleef in het huis van zijn oom en maakte hier kennis met zijn toekomstige verloofde, Christine Kemp.Bij zijn terugkeer in Oslo ging Abel opnieuw in op de vraag van de oplossing van de quintische vergelijking. Deze keer nam hij het omgekeerde standpunt in en slaagde erin het eeuwenoude probleem op te lossen door de onmogelijkheid te bewijzen van een radicale uitdrukking die een oplossing van de Algemene vijfde-of hogere-graad vergelijking voorstelt. Abel realiseerde zich het belang van zijn resultaat en liet het op eigen kosten publiceren door een lokale drukker. Om een groot publiek te bereiken schreef hij het in het Frans: “Thesis on algebraic equations where we demonstrate the impossibility of solving the general equation of the fifth degree.”Om kosten te besparen werd het hele pamflet gecomprimeerd tot zes pagina’ s. De resulterende beknoptheid maakte het waarschijnlijk moeilijk te begrijpen; in ieder geval was er geen reactie van een van de buitenlandse wiskundigen—inclusief de grote C. F. Gauss, aan wie een kopie werd gestuurd.Het was duidelijk geworden dat Abel niet langer kon leven op de steun van de hoogleraren. Zijn financiële problemen waren toegenomen door zijn verloving met Christine Kemp. die naar Noorwegen was gekomen als gouvernante voor de kinderen van een familie die in de buurt van Oslo woonde.Abel vroeg een reisbeurs aan en na enige vertraging besloot de regering dat Abel een kleine toelage moest krijgen om talen aan de universiteit te studeren om hem voor te bereiden op zijn reis naar het buitenland. Hij zou dan een beurs van 600 daler ontvangen voor twee jaar buitenlandse studie.Abel was teleurgesteld over de vertraging, maar bestudeerde plichtsgetrouw talen, met name Frans, en gebruikte zijn tijd om een aanzienlijk aantal papers voor te bereiden die aan buitenlandse wiskundigen zouden worden aangeboden. In de zomer van 1825 vertrok hij samen met vier vrienden. allen wilden zich ook voorbereiden op toekomstige wetenschappelijke carrières: een van hen werd later professor in de geneeskunde, en de drie anderen werden geologen. Abels vrienden waren allemaal van plan naar Berlijn te gaan, terwijl Abel, op advies van Hansteen, zijn tijd zou doorbrengen in Parijs, toen het belangrijkste centrum van de wiskunde ter wereld. Abel vreesde echter eenzaam te zijn en besloot ook naar Berlijn te gaan, hoewel hij goed wist dat hij het ongenoegen van zijn beschermer zou ondervinden.De verandering van mening van Abel bleek een zeer gelukkige beslissing te zijn. Toen hij door Kopenhagen kwam, hoorde Abel dat Degen was overleden,maar hij kreeg een aanbevelingsbrief van een van de andere Deense wiskundigen aan Kroonraadslid August Leopold Crelle. Crelle was een zeer invloedrijk ingenieur, intens geà nteresseerd in de wiskunde, hoewel zelf niet een sterke wiskundige.Toen Abel voor het eerst een beroep deed op Crelle, had hij enige moeite om zichzelf verstaanbaar te maken. Maar na een tijdje herkende Crelle de bijzondere kwaliteiten van zijn jonge bezoeker. De twee werden levenslang vrienden. Abel overhandigde hem een exemplaar van zijn pamflet over de quintische vergelijking, maar Crelle bekende dat het onbegrijpelijk was voor hem en adviseerde Abel een uitgebreide versie ervan te schrijven. Ze spraken over de slechte staat van de wiskunde in Duitsland. In een brief aan Hansteen, gedateerd uit Berlijn, 5 December 1825, schreef Abel:
toen ik mij verbaasde over het feit, dat er geen wiskundig tijdschrift bestond, zooals in Frankrijk, zeide hij, dat hij reeds lang van plan was er een te redigeren, en weldra zijn plan ten uitvoer zou brengen. Dit project is nu georganiseerd, en dat tot mijn grote vreugde, want Ik zal een plek hebben waar ik een aantal van mijn artikelen kan laten drukken. Ik heb er al vier voorbereid, die in het eerste nummer zullen verschijnen.Journal für die reine und angewandte Mathematik, of Crelle ‘ s Journal, zoals het algemeen bekend is, was het belangrijkste Duitse wiskundige tijdschrift in de negentiende eeuw. Het eerste deel alleen al bevat zeven artikelen van Abel en de volgende delen bevatten veel meer, de meeste van hen van eminent belang in de geschiedenis van de wiskunde. Een van de eerste is de uitgebreide versie van het bewijs van de onmogelijkheid van de oplossing van de Algemene quintische vergelijking door radicalen. Hier ontwikkelt Abel de noodzakelijke algebraïsche achtergrond, inclusief een bespreking van algebraïsche velduitbreidingen. Abel wist niet dat hij een voorloper had, de Italiaanse wiskundige Paolo Ruffini. Maar in een postume paper over de vergelijkingen die oplosbaar zijn door radicalen, stelt Abel: “De enige voor mij, als ik me niet vergis, die heeft geprobeerd de onmogelijkheid van de algebraïsche oplossing van de Algemene vergelijkingen te bewijzen is de wiskundige Ruffini, maar zijn werkstuk is zo ingewikkeld dat het zeer moeilijk is om te oordelen over de juistheid van zijn argumenten. Het lijkt mij niet altijd bevredigend.”Het resultaat wordt meestal aangeduid als de stelling van Abel-Ruffini.Na het vertrek van Abel uit Oslo vond een gebeurtenis plaats die hem veel zorgen maakte. Rasmussen vond zijn hoogleraarschap in de wiskunde te belastend in combinatie met zijn publieke taken. Hij nam ontslag, en kort daarna de faculteit gestemd om aan te bevelen dat Holmboe worden benoemd om de vacature te vullen. Abels Noorse vrienden vonden de actie zeer onrechtvaardig, en Abel zelf voelde waarschijnlijk hetzelfde. Niettemin schrijft hij een warme felicitatiebrief aan zijn vroegere leraar en ze blijven goede vrienden. Maar het is duidelijk dat Abel zich vanaf Dit moment zorgen maakte over zijn toekomst en zijn aanstaande huwelijk; er was voor hem geen wetenschappelijke positie in zicht in zijn thuisland.
tijdens de winter in Berlijn droeg Abel bij aan Crelle ‘ s Journal; onder de opmerkelijke papers zijn een over de veralgemening van de binomiale formule en een andere over de integratie van vierkantsworteluitdrukkingen. Maar een van zijn belangrijkste wiskundige zorgen was het gebrek aan stringency in de hedendaagse wiskunde. Hij noemde het herhaaldelijk in brieven aan Holmboe. In een van deze, gedateerd 16 januari 1826, schreef hij:
mijn ogen zijn op de meest verrassende manier geopend. Als je de eenvoudigste gevallen buiten beschouwing laat, is er in de hele wiskunde geen enkele oneindige reeks waarvan de som streng is bepaald. Met andere woorden, de belangrijkste onderdelen van de wiskunde staan zonder fundament. Het is waar dat het grootste deel ervan geldig is, maar dat is zeer verrassend. Ik heb moeite om de reden te vinden, een buitengewoon interessant probleem.
een resultaat van deze strijd was zijn klassieke artikel over machtseries, dat vele algemene stellingen bevat en ook, als een toepassing, de strikte bepaling van de som van de binomiale reeksen voor willekeurige reële of complexe exponenten.In het vroege voorjaar van 1826 voelde Abel zich verplicht om naar zijn oorspronkelijke bestemming, Parijs, te gaan. Crelle had beloofd hem te vergezellen, en onderweg wilden ze in Göttingen stoppen om Gauss te bezoeken. Door de druk van de zaken kon Crelle Berlijn niet verlaten. Tegelijkertijd planden Abels Noorse vrienden een geologische excursie door Midden-Europa en, opnieuw onwillig om van hen gescheiden te worden, sloot hij zich aan bij de groep. Ze reisden per bus door Bohemen, Oostenrijk, Noord-Italië en de Alpen. Abel bereikte Parijs pas in Juli, weinig geld na de dure reis.
het bezoek aan Parijs was teleurstellend. De universiteit vakanties was net begonnen toen Abel aankwam, terug, hij vond dat ze afstandelijk en moeilijk te benaderen waren; het was alleen in het voorbijgaan dat hij Legendre ontmoette, wiens belangrijkste belang in zijn oude dag was elliptische integralen, Abels eigen specialiteit. Voor de presentatie aan de Franse Academie van Wetenschappen had Abel een artikel gereserveerd dat hij als zijn meesterwerk beschouwde. Het behandelde de som van integralen van een gegeven algebraïsche functie. De stelling van Abel stelt dat een dergelijke som kan worden uitgedrukt als een vast getal p van deze integralen, met integratieargumenten die algebraïsche functies van de oorspronkelijke argumenten zijn. Het minimale getal p is het geslacht van de algebraïsche functie, en dit is het eerste voorkomen van deze fundamentele hoeveelheid. De stelling van Abel is een enorme veralgemening van Eulers relatie voor elliptische integralen.Abel bracht zijn eerste maanden door in Parijs om zijn grote memoires te voltooien; het is een van zijn langste papers en bevat een brede theorie met toepassingen. Het werd gepresenteerd aan de Academie van Wetenschappen op 30 oktober 1826, onder de titel “Mémoire sur une propriété générale d’ une classe trés-étendue de fonctions transcendantes. Cauchy en Legendre werden benoemd tot scheidsrechter, Cauchy was voorzitter. Een aantal jonge mannen had snel onderscheid gemaakt toen hun werken door de Academie werden aanvaard, en Abel wachtte het verslag van de scheidsrechters af. Er kwam echter geen rapport; Het werd pas uitgegeven nadat Abels dood haar opdrong. Cauchy lijkt schuldig te zijn geweest; hij beweerde later dat het manuscript onleesbaar was.Abels volgende twee maanden in Parijs waren somber; hij had weinig geld en weinig kennissen. Hij ontmoette P. G. L. Dirichlet, zijn junior van drie jaar en al een bekende wiskundige, door middel van een paper in de Academie gesponsord door Legendre. Een andere bekende was Frédéric Saigey, redacteur van de wetenschappelijke revue Ferrusac ’s Bulletin, voor wie Abel enkele artikelen schreef, met name over zijn eigen artikelen in Crelle’ s Journal. Na Kerstmis spendeerde hij zijn laatste middelen om zijn reis naar Berlijn te betalen.
kort na zijn terugkeer naar Berlijn. Abel werd ziek.; hij lijkt dan de eerste aanval van tuberculose te hebben ondergaan die later zijn leven zou claimen. Hij leende wat geld van Holmboe, en Crelle heeft hem waarschijnlijk geholpen. Abel verlangde ernaar om terug te keren naar Noorwegen, maar voelde zich gedwongen om in het buitenland te blijven totdat zijn fellowship termijn was verstreken. Crelle probeerde hem in Berlijn te houden totdat hij een baan voor hem aan een Duitse universiteit kon vinden; in de tussentijd bood hij hem de redactie van zijn tijdschrift aan.
Abel werkte ijverig aan een nieuw artikel: “Recherches sur les fonctions elliptiques.”zijn meest uitgebreide publicatie (125 pagina’ s in het Oeuvres complètes). In dit werk transformeerde hij de theorie van de elliptische integralen radicaal naar de theorie van de elliptische functies door hun inverse functies te gebruiken die in het meest elementaire geval overeenkomen met de dualiteit
de elliptische functies werden daardoor een enorme en natuurlijke veralgemening van de trigonometrische functies; in het kielzog van Abels werk zouden ze een van de favoriete onderzoeksthema ‘ s in de wiskunde vormen gedurende de negentiende eeuw. Abel had het grootste deel van de theorie al ontwikkeld als student in Oslo, dus hij was in staat om de theorie van elliptische functies met een grote rijkdom aan details te presenteren, waaronder dubbele periodiciteit, uitbreidingen in oneindige reeksen en producten, en opteldstellingen. De theorie leidde tot de uitdrukkingen voor functies van een veelvoud van het argument met de gelijktijdige bepaling van de vergelijkingen voor fractionele argumenten en hun oplossing door radicalen, veel in de manier waarop Gauss de cyclotoomvergelijkingen had behandeld: Abels brieven aan Holmboe (uit Parijs in December 1826 en uit Berlijn op 4 maart 1827) geven aan dat hij bijzonder gefascineerd was door een bepaling van de voorwaarde dat een Lemniscaat deelbaar was in gelijke delen door middel van Kompas en heerser, analoog aan Gauss ‘ constructie van regelmatige veelhoeken. Het laatste deel behandelt de zogenaamde theorie van complexe vermenigvuldiging, later zo belangrijk in de algebraïsche getaltheorie.Abel keerde op 20 mei 1827 terug naar Oslo om te ontdekken dat de situatie thuis net zo somber was als hij had gevreesd. Hij had geen vooruitzicht, geen gemeenschap en een overvloed aan schulden. Zijn aanvraag om zijn beurs verlengd werd afgewezen door het Ministerie van Financiën, maar de universiteit moedig toegekend hem een kleine toelage uit de schamele fondsen. Deze actie werd bekritiseerd door de afdeling, die zich het recht voorbehouden om het bedrag in mindering te brengen op elk toekomstig salaris dat hij zou kunnen ontvangen.Abels verloofde vond een nieuwe positie bij vrienden van Abels familie, de familie van de eigenaar van een ijzerfabriek in Froland, bij Arendal. Tijdens de herfst Abel ek uit een leven in Oslo door bijles schooljongens en waarschijnlijk met de hulp van vrienden . In het nieuwe jaar werd de situatie helderder. Hansteen, een pionier in geomagnetische studies, kreeg een grote subsidie voor twee jaar om het magnetische veld van de aarde in onontgonnen Siberië te onderzoeken. In de tussentijd werd Abel zijn vervanger, zowel aan de universiteit als aan de Noorse Militaire Academie.Het eerste deel van de “onderzoeken” werd gepubliceerd in Crelle ‘ s Journal in September 1827, en Abel voltooide het tweede deel in de winter. Hij woonde in afzondering in Oslo.; er was geen pakketpost tijdens de winter en hij had geen idee van de interesse die zijn memoires hadden gecreëerd onder Europese wiskundigen. Ook wist hij niet dat er een concurrent was verschenen op het gebied van elliptische functies tot begin 1828, toen Hansteen hem het septembernummer van de Astronomische Nachrichten toonde. In dit tijdschrift kondigde een jonge Duitse wiskundige, K. G. J. Jacobi, zonder bewijzen enkele resultaten aan met betrekking tot de transformatietheorie van elliptische integralen. Abel voegde haastig een notitie toe aan het manuscript van het tweede deel van de “Recherches”, waaruit blijkt hoe Jacobi ‘ s Resultaten het gevolg waren van zijn eigen resultaten.Abel was zich er terdege van bewust dat er een race op komst was. Hij onderbrak een groot artikel over de theorie van vergelijkingen dat de bepaling zou bevatten van alle vergelijkingen die kunnen worden opgelost door radicalen: het deel dat werd gepubliceerd bevatte de theorie van die vergelijkingen die nu bekend staan als Abeliaans. Daarna schreef hij snel achter elkaar een reeks artikelen over elliptische functies. De eerste was “Solution d’ un probleme général concernant la transformation des fonctions elliptiques.”Dit, zijn directe reactie op Jacobi, werd gepubliceerd in Astronomische Nachrichten; de anderen verschenen in Crelle’ s dagboek. Daarnaast maakte Abel een boek-length memoir, “Précis d’ une théorie des fonctions elliptiques,” die werd gepubliceerd na zijn dood. Jacobi schreef echter slechts korte mededelingen die zijn werkwijze niet onthulden; deze waren voorbehouden aan zijn boek, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
er is veel geschreven over de vroege theorie van elliptische functies. Er lijkt weinig twijfel over te bestaan dat Abel in het bezit was van de ideeën enkele jaren voor Jacobi. Aan de andere kant is het ook een vaststaand feit dat Gauss, hoewel hij niets publiceerde, de principes van elliptische functies al lang voor Abel of Jacobi had ontdekt.
de Europese wiskundigen keken met fascinatie naar de concurrentie tussen de twee jonge wiskundigen. Legendre merkte Jacobi ‘ s aankondigingen op en ontving ook een brief van hem. In een vergadering van de Franse Academie in November 1827 prees hij de nieuwe wiskundige ster; de toespraak werd gereproduceerd in de kranten en Legendre stuurde de clipping naar Jacobi. In zijn antwoord wees Jacobi, na zijn dank uit te spreken, op Abels “onderzoeken” en de algemene resultaten ervan. Legendre antwoordde: “door deze werken zullen jullie twee worden geplaatst in de klasse van de belangrijkste analisten van onze tijd.”Hij uitte ook zijn teleurstelling over Jacobi’ s publicatiemethode en was geïrriteerd toen Jacobi bekende dat hij, om een aantal van zijn resultaten af te leiden, op Abels papier had moeten vertrouwen. Rond deze tijd begon Abel ook een correspondentie met Legendre en gaf hem zijn ideeën.Het enige wat de Europese wiskundigen wisten over Abels toestand in Noorwegen was dat hij slechts een tijdelijke positie had en dat hij onlangs gedwongen was schooljongens bij te scholen om in zijn levensonderhoud te voorzien. De belangrijkste bron van hun informatie was Crelle, die voortdurend zijn invloed gebruikte om te proberen een aanstelling voor Abel te krijgen bij een nieuw wetenschappelijk instituut dat in Berlijn zou worden opgericht. De vooruitgang verliep echter zeer traag. In September 1828 namen vier prominente leden van de Franse Academie van Wetenschappen de buitengewone stap om een petitie rechtstreeks aan Bernadotte, nu Karel XIV van Noorwegen—Zweden, te richten, de aandacht te vestigen op Abel en aan te dringen op het creëren van een geschikte wetenschappelijke positie voor hem. In een vergadering van de Academie, op 25 februari 1829, bracht Legendre ook hulde aan Abel en zijn ontdekkingen, met name aan zijn resultaten in de theorie van vergelijkingen.In de tussentijd schreef Abel, ondanks zijn verslechterende gezondheid, verwoed nieuwe artikelen. Hij bracht de zomervakantie van 1828 door op het landgoed van Froland met zijn verloofde. Met Kerstmis stond hij erop haar opnieuw te bezoeken, ondanks het feit dat het enkele dagen reizen in intense kou vereiste. Hij was koortsig toen hij aankwam, maar genoot van de familie kerstviering. Hij had misschien een voorgevoel dat zijn dagen geteld waren, en nu vreesde hij dat het grote papier dat aan de Franse Academie was voorgelegd voor altijd verloren was gegaan. Hij schreef daarom een korte nota, “Demonstration d’ une propriété générale d ‘une certaine classe de fonctions transcendantes”, waarin hij een bewijs van de hoofdstelling gaf. Hij mailde het op 6 januari 1829 naar Crelle.Tijdens het wachten op de slee die hem naar Oslo zou terugbrengen, kreeg Abel een hevige bloeding; de dokter stelde vast dat zijn ziekte tuberculose was en beval langdurige bedrust. Hij stierf in April, op zesentwintig-jarige leeftijd, en werd begraven in de naburige Froland kerk tijdens een sneeuwstorm. Het graf is gemarkeerd door een monument opgericht door zijn vrienden. Een van hen, Baltazar Keilhau, schreef Christine Kemp, zonder haar ooit gezien te hebben, en deed haar een huwelijksaanzoek dat ze accepteerde. Twee dagen na Abels dood schreef Crelle jubelend om hem te informeren dat zijn benoeming in Berlijn was verzekerd.Op 28 juni 1830 reikte de Académie des Sciences de Grand Prix uit aan Abel en Jacobi voor hun uitstekende wiskundige ontdekkingen. Na een intensieve zoektocht in Parijs werd het manuscript van Abels grote memoires herontdekt. Het werd gepubliceerd in 1841, vijftien jaar nadat het was ingediend. Tijdens de druk verdween het weer, om pas in 1952 in Florence te verschijnen.
Crelle schreef een uitgebreide lofrede over Abel in zijn dagboek (4 , 402):
alle werken van Abel dragen de afdruk van een vindingrijkheid en denkkracht die ongebruikelijk en soms verbazingwekkend is, zelfs als de jeugd van de auteur niet in aanmerking wordt genomen. Men zou kunnen zeggen dat hij in staat was om alle obstakels tot aan de fundamenten van de problemen door te dringen, met een kracht die onweerstaanbaar leek; hij viel de problemen aan met een buitengewone energie; hij beschouwde hen van bovenaf en was in staat om zo hoog over hun huidige toestand te zweven, dat alle moeilijkheden leken te verdwijnen onder de zegevierende aanval van zijn genie…. Maar het was niet alleen zijn grote talent dat het respect voor Abel creëerde en maakte zijn verlies oneindig betreurenswaardig. Hij onderscheidde zich even door de zuiverheid en de adel van zijn karakter en door een zeldzame bescheidenheid die zijn persoon gekoesterd tot dezelfde ongewone mate als zijn genie was.
bibliografie
I. originele werken. Abels volledige werken verschijnen in twee edities, Oeuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, ed. en geannoteerd door B. Holmboe (Oslo, 1839), en Nouvelle édition, M. M. L. Sylow en S. Lie, eds., 2 vols. (Oslo, 1881).
II. secundaire literatuur. Materialen over Abels leven zijn onder andere Niels Henrik Abel: Mémorial publié à I ‘ occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), die alle in de tekst geciteerde letters bevat; en O. Ore, Niels Henrik Abel; wiskundige buitengewoon (Minneapolis, Minn., 1957).
Oestererts