Uniform gravitatieveld zonder luchtweerstanddit
dit is het” leerboek ” geval van de verticale beweging van een object dat op een kleine afstand valt dicht bij het oppervlak van een planeet. Het is een goede benadering in lucht zolang de zwaartekracht op het object veel groter is dan de kracht van de luchtweerstand, of op equivalente wijze is de snelheid van het object altijd veel minder dan de eindsnelheid (zie hieronder).
v ( t ) = v 0 + g t {\displaystyle v(t)=v_{0}+gt\,} y ( t ) = V 0 t + y 0 + 1 2 g T 2 {\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}+{\frac {1}{2}}gt^{2}}
waarin
v 0 {\displaystyle v_{0}\,} de beginsnelheid (m/s) is. v(t ) {\displaystyle v (t)\,} is de verticale snelheid met betrekking tot tijd (m/s). y 0 {\displaystyle y_{0}\,} is de initiële hoogte (m). y (t) {\displaystyle y (t)\,} is de hoogte met betrekking tot tijd (m). t {\displaystyle t\,} is verstreken tijd (s). g {\displaystyle g\,} is de versnelling door zwaartekracht (9,81 m / s2 nabij het aardoppervlak).
Uniform gravitatieveld met luchtweerstandedit
versnelling van een kleine meteoroïde bij het betreden van de dampkring van de aarde met verschillende beginsnelheden.
Deze zaak, die geldt voor skydivers, parachutisten of een orgaan van de massa, m {\displaystyle m} , en de oppervlakte van de dwarsdoorsnede, Een {\displaystyle A} , met een Reynolds-getal goed boven het kritische Reynolds getal, zodat de luchtweerstand is evenredig met het kwadraat van de valsnelheid, v {\displaystyle v} , een vergelijking van de beweging
m d v d t = m g − 1 2 ρ C D A v 2 , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}
waar ú {\displaystyle \rho } is de dichtheid van de lucht-en C-D {\displaystyle C_{\mathrm {D} }} is de luchtweerstandscoëfficiënt, aangenomen dat deze constant is, hoewel deze in het algemeen afhangt van het Reynolds-getal.
uitgaande van een object dat uit rust valt en geen verandering in luchtdichtheid met hoogte, is de oplossing:
v ( t ) = v ∞ tanh ( g t v ∞ ) , {\displaystyle v(t)=V_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}
waarbij de eindsnelheid wordt gegeven door
v ∞ = 2 m g ρ C D A . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {\frac {2mg} {\rho C_{D}A}}}\,.}
de snelheid van het object versus de tijd kan in de tijd worden geïntegreerd om de verticale positie te vinden als functie van de tijd:
y = y 0 – v ∞ 2 g ln ln cosh (g t v ∞ ) . {\displaystyle y=y_{0} – {\frac {v_ {\infty} ^{2}}{g}} \ ln \ cosh \ left ({\frac {gt}{v_ {\infty }}} \ right).}
bij gebruik van het cijfer 56 m/s voor de eindsnelheid van een mens, blijkt dat hij na 10 Seconden 348 meter zal zijn gevallen en 94% van de eindsnelheid zal hebben bereikt, en na 12 seconden 455 meter zal zijn gevallen en 97% van de eindsnelheid zal hebben bereikt. Echter, wanneer de luchtdichtheid niet kan worden verondersteld constant te zijn, zoals voor objecten die van grote hoogte vallen, wordt de vergelijking van beweging veel moeilijker om analytisch op te lossen en een numerieke simulatie van de beweging is meestal noodzakelijk. De figuur toont de krachten die werken op meteoroïden die door de bovenste atmosfeer van de aarde vallen. Ook HALOSPRONGEN, waaronder die van Joe Kittinger en Felix Baumgartner, behoren tot deze categorie.
inverse-square law gravitatieveld
men kan zeggen dat twee objecten in de ruimte die in afwezigheid van andere krachten om elkaar heen draaien, in vrije val om elkaar heen zijn, bijvoorbeeld dat de maan of een kunstmatige satelliet “rond” de aarde valt, of dat een planeet “rond” de zon valt. Het aannemen van sferische objecten betekent dat de vergelijking van beweging wordt beheerst door Newton ’s wet van universele zwaartekracht, met oplossingen voor het gravitationele twee-lichaam probleem zijn elliptische banen die voldoen aan Kepler’ s wetten van planetaire beweging. Dit verband tussen vallende objecten dicht bij de aarde en objecten in een baan wordt het best geïllustreerd door het gedachte-experiment, Newton ‘ s kanonskogel.
de beweging van twee objecten die radiaal naar elkaar toe bewegen zonder impulsmoment kan worden beschouwd als een speciaal geval van een elliptische baan van excentriciteit e = 1 (radiale elliptische baan). Hierdoor kan men de vrije valtijd berekenen voor twee puntobjecten op een radiaal pad. De oplossing van deze vergelijking van beweging levert tijd op als functie van scheiding:
t ( y ) = y 0 3 2 μ ( y-y 0 ( 1 − y-y 0 ) + arccos y-y 0 ) , {\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}
waar
t {\displaystyle t} is de tijd na de start van de herfst y {\displaystyle y} is de afstand tussen de centra van het lichaam y 0 {\displaystyle y_{0}} is de initiële waarde van y {\displaystyle y} μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})} is de standaard zwaartekracht parameter.
door y = 0 {\displaystyle y=0} te vervangen krijgen we de vrije-valtijd.
de scheiding als functie van de tijd wordt gegeven door de inverse van de vergelijking. De inverse wordt exact weergegeven door de analytische vermogensreeks:
y (t) = ∑ n = 1∞)]. {\displaystyle y (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left\right)\right].}
het evalueren van dit levert: