Corps noir

Courbes de rayonnement du corps noir à différentes températures: 3000 K, 4000 K et 5000 K. Lorsque la température diminue, le pic de la courbe de rayonnement du corps noir se déplace vers des intensités plus faibles et des longueurs d’onde plus longues. Le graphique de rayonnement du corps noir est également comparé au modèle classique de Rayleigh et de Jeans.

En physique, un corps noir (dans un sens idéal) est un objet qui absorbe tout rayonnement électromagnétique qui lui tombe dessus, sans qu’aucun rayonnement ne le traverse ou ne soit réfléchi par lui. Parce qu’il ne réfléchit pas ou ne transmet pas la lumière visible, l’objet apparaît noir lorsqu’il fait froid.

Lorsqu’il est chauffé, le corps noir devient une source idéale de rayonnement thermique, appelée rayonnement du corps noir. Si un corps noir parfait à une certaine température est entouré d’autres objets en équilibre à la même température, il émettra en moyenne exactement autant qu’il absorbe, aux mêmes longueurs d’onde et intensités de rayonnement qu’il avait absorbées.

La température de l’objet est directement liée aux longueurs d’onde de la lumière qu’il émet. À température ambiante, les corps noirs émettent de la lumière infrarouge, mais à mesure que la température augmente au-delà de quelques centaines de degrés Celsius, les corps noirs commencent à émettre à des longueurs d’onde visibles, du rouge à l’orange, au jaune et au blanc avant de se retrouver au bleu, au-delà duquel l’émission comprend des quantités croissantes de rayonnement ultraviolet.

La couleur (chromaticité) du rayonnement du corps noir dépend de la température du corps noir. Le locus de telles couleurs (montré ici dans l’espace CIE 1931 x, y) est connu sous le nom de locus Planckien.

Les corps noirs ont été utilisés pour tester les propriétés de l’équilibre thermique car ils émettent un rayonnement distribué thermiquement. En physique classique, chaque mode de Fourier différent en équilibre thermique devrait avoir la même énergie, conduisant à la théorie de la catastrophe ultraviolette selon laquelle il y aurait une quantité infinie d’énergie dans n’importe quel champ continu. Les études sur le rayonnement du corps noir ont conduit au domaine révolutionnaire de la mécanique quantique. De plus, les lois sur le corps noir ont été utilisées pour déterminer les températures du corps noir des planètes.

Aperçu

Si une petite fenêtre est ouverte dans un four, toute lumière qui pénètre dans la fenêtre a une très faible probabilité de sortir sans être absorbée. Inversement, le trou agit comme un radiateur à corps noir presque idéal. Cela fait des judas des fours de bonnes sources de rayonnement du corps noir, et certaines personnes l’appellent le rayonnement de la cavité pour cette raison.

En laboratoire, le rayonnement du corps noir est approximé par le rayonnement d’une petite entrée de trou à une grande cavité, un hohlraum. Toute lumière entrant dans le trou devrait se refléter plusieurs fois sur les parois de la cavité avant de s’échapper, processus dans lequel elle est presque certaine d’être absorbée. Cela se produit quelle que soit la longueur d’onde du rayonnement entrant (tant qu’il est petit par rapport au trou). Le trou est donc une approximation proche d’un corps noir théorique et, si la cavité est chauffée, le spectre du rayonnement du trou (c’est-à-dire la quantité de lumière émise par le trou à chaque longueur d’onde) sera continu et ne dépendra pas du matériau dans la cavité (comparer avec le spectre d’émission). Par un théorème prouvé par Gustav Kirchhoff, cette courbe ne dépend que de la température des parois de la cavité. Kirchhoff a introduit le terme « corps noir » en 1860.

Le calcul de cette courbe a été un défi majeur en physique théorique à la fin du XIXe siècle. Le problème a finalement été résolu en 1901 par Max Planck sous le nom de loi de Planck sur le rayonnement du corps noir. En apportant des modifications à la Loi de rayonnement de Wien (à ne pas confondre avec la loi de déplacement de Wien) compatibles avec la thermodynamique et l’électromagnétisme, il a trouvé une formule mathématique adaptant les données expérimentales de manière satisfaisante. Pour trouver une interprétation physique de cette formule, Planck devait alors supposer que l’énergie des oscillateurs dans la cavité était quantifiée (c’est-à-dire des multiples entiers d’une certaine quantité). Einstein s’est basé sur cette idée et a proposé la quantification du rayonnement électromagnétique lui-même en 1905 pour expliquer l’effet photoélectrique.

Ces avancées théoriques ont finalement abouti à la substitution de l’électromagnétisme classique par l’électrodynamique quantique. Aujourd’hui, ces quanta sont appelés photons et la cavité du corps noir peut être considérée comme contenant un gaz de photons. En outre, cela a conduit au développement de distributions de probabilités quantiques, appelées statistiques de Fermi-Dirac et statistiques de Bose-Einstein, chacune applicable à une classe différente de particules, qui sont utilisées en mécanique quantique à la place des distributions classiques.

La température d’une coulée de lave Pāhoehoe peut être estimée en observant sa couleur. Le résultat s’accorde bien avec les températures mesurées des coulées de lave à environ 1000 à 1200 °C.

La longueur d’onde à laquelle le rayonnement est le plus fort est donnée par la loi de déplacement de Wien, et la puissance globale émise par unité de surface est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann. Ainsi, à mesure que la température augmente, la couleur de la lueur passe du rouge au jaune au blanc au bleu. Même lorsque la longueur d’onde de crête se déplace dans l’ultra-violet, suffisamment de rayonnement continue d’être émis dans les longueurs d’onde bleues pour que le corps continue d’apparaître en bleu. Il ne deviendra jamais invisible — en effet, le rayonnement de la lumière visible augmente de manière monotone avec la température.

Le rayonnement ou l’intensité observée n’est pas fonction de la direction. Par conséquent, un corps noir est un radiateur Lambertien parfait.

Les objets réels ne se comportent jamais comme des corps noirs parfaitement idéaux, et le rayonnement émis à une fréquence donnée est plutôt une fraction de ce que serait l’émission idéale. L’émissivité d’un matériau spécifie à quel point un corps réel émet de l’énergie par rapport à un corps noir. Cette émissivité dépend de facteurs tels que la température, l’angle d’émission et la longueur d’onde. Cependant, il est typique en ingénierie de supposer que l’émissivité spectrale et l’absorptivité d’une surface ne dépendent pas de la longueur d’onde, de sorte que l’émissivité est une constante. C’est ce qu’on appelle l’hypothèse du corps gris.

Bien que la formule de Planck prédit qu’un corps noir rayonnera de l’énergie à toutes les fréquences, la formule n’est applicable que lorsque de nombreux photons sont mesurés. Par exemple, un corps noir à température ambiante (300 K) avec un mètre carré de surface émettra un photon dans le domaine visible une fois tous les mille ans environ, ce qui signifie que pour la plupart des fins pratiques, le corps noir n’émet pas dans le domaine visible.

Lorsqu’il s’agit de surfaces non noires, les écarts par rapport au comportement idéal du corps noir sont déterminés à la fois par la structure géométrique et la composition chimique, et suivent la loi de Kirchhoff: l’émissivité est égale à l’absorptivité, de sorte qu’un objet qui n’absorbe pas toute la lumière incidente émettra également moins de rayonnement qu’un corps noir idéal.

Image WMAP de l’anisotropie du rayonnement de fond des micro-ondes cosmiques. Il a le spectre d’émission thermique le plus précis connu et correspond à une température de 2,725 kelvin (K) avec un pic d’émission à 160,2 GHz.

En astronomie, les objets tels que les étoiles sont souvent considérés comme des corps noirs, bien qu’il s’agisse souvent d’une mauvaise approximation. Un spectre de corps noir presque parfait est exposé par le rayonnement de fond diffus cosmologique. Le rayonnement de Hawking est un rayonnement de corps noir émis par les trous noirs.

Simulateurs de corps noir

Bien qu’un corps noir soit un objet théorique (c’est-à-dire émissivité (e) = 1,0), les applications courantes définissent une source de rayonnement infrarouge comme un corps noir lorsque l’objet se rapproche d’une émissivité de 1,0, (typiquement e =.99 ou mieux). Une source de rayonnement infrarouge inférieure à.99 est appelé corps gris. Les applications des simulateurs de corps noir incluent généralement les tests et l’étalonnage de systèmes infrarouges et d’équipements de capteurs infrarouges.

Rayonnement émis par un corps humain

Une grande partie de l’énergie d’une personne est rayonnée sous forme d’énergie infrarouge. Certains matériaux sont transparents à la lumière infrarouge, tandis qu’opaques à la lumière visible (notez le sac en plastique). D’autres matériaux sont transparents à la lumière visible, tandis qu’opaques ou réfléchissants à l’infrarouge (notez les lunettes de l’homme).

Les lois du corps noir peuvent être appliquées aux êtres humains. Par exemple, une partie de l’énergie d’une personne est rayonnée sous forme de rayonnement électromagnétique, dont la plupart est infrarouge.

La puissance nette rayonnée est la différence entre la puissance émise et la puissance absorbée :

P n e t = P e m i t – P a b s o r b. {\displaystyle P_{net} = P_{emit} – P_{absorber}.}

Application de la loi de Stefan–Boltzmann,

P n e t = A σ ϵ(T 4 −T 0 4) {\displaystyle P_{net} = A \sigma\epsilon\left(T ^{4} – T_{0}^{4}\right)\, }.

La surface totale d’un adulte est d’environ 2 m2, et l’émissivité dans l’infrarouge moyen et lointain de la peau et de la plupart des vêtements est proche de l’unité, comme pour la plupart des surfaces non métalliques. La température de la peau est d’environ 33 ° C, mais les vêtements réduisent la température de surface à environ 28 ° C lorsque la température ambiante est de 20 ° C. Par conséquent, la perte de chaleur radiative nette est d’environ

P n e t = 100 W {\displaystyle P_{net} = 100\\mathrm{W}\,}.

L’énergie totale rayonnée en une journée est d’environ 9 MJ (Méga joules), soit 2000 kcal (calories alimentaires). Le taux métabolique de base pour un homme de 40 ans est d’environ 35 kcal / (m2 • h), ce qui équivaut à 1700 kcal par jour en supposant la même surface de 2 m2. Cependant, le taux métabolique moyen des adultes sédentaires est d’environ 50 à 70% supérieur à leur taux de base.

Il existe d’autres mécanismes de perte thermique importants, notamment la convection et l’évaporation. La conduction est négligeable puisque le nombre de Nusselt est beaucoup plus grand que l’unité. L’évaporation (transpiration) n’est nécessaire que si le rayonnement et la convection sont insuffisants pour maintenir une température stable. Les taux de convection libre sont comparables, quoique légèrement inférieurs, aux taux radiatifs. Ainsi, le rayonnement représente environ 2/3 de la perte d’énergie thermique dans l’air frais et immobile. Étant donné la nature approximative de nombreuses hypothèses, cela ne peut être considéré que comme une estimation brute. Le mouvement de l’air ambiant, provoquant une convection forcée ou une évaporation, réduit l’importance relative du rayonnement en tant que mécanisme de perte thermique.

De plus, en appliquant la loi de Wien aux humains, on constate que la longueur d’onde de crête de la lumière émise par une personne est

λ p e a k = 2,898 × 10 6 K ⋅ n m 305 K = 9500 n m {\displaystyle\lambda_{peak} = {\frac{2,898\fois 10^{6}\\mathrm {K}\cdot\mathrm {nm}}{305\ \mathrm{K}}} = 9500\\mathrm{nm}\,}.

C’est pourquoi les dispositifs d’imagerie thermique conçus pour des sujets humains sont les plus sensibles à la longueur d’onde de 7 à 14 micromètres.

Équations régissant les corps noirs

Loi de Planck sur le rayonnement du corps noir

I(ν, T)d ν = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν k T-1 d ν {\displaystyle I(\nu,T) d\nu = {\frac{2h\nu^{3}} {c^{2}}} {\frac{1} {e^{\frac{h \nu}{kT}} -1}}\, d\nu}

où

• I(ν,T)d ν {\displaystyle I(\nu,T)d\nu\,} est la quantité d’énergie par unité de surface par unité de temps et par unité d’angle solide émise dans le plage de fréquences entre ν et ν + dv par un corps noir à la température T;
• h {\displaystyle h\,} est la constante de Planck;
• c {\displaystyle c\,} est la vitesse de la lumière; et
• k { \displaystyle k\, } est la constante de Boltzmann.

Loi de déplacement de Wien

La relation entre la température T d’un corps noir et la longueur d’onde λ m a x {\displaystyle\lambda_{max}} à laquelle l’intensité du rayonnement qu’il produit est maximale est

• T λ m a x = 2,898… × 10 6 nm. {\displaystyle T\lambda_{\mathrm{max}} = 2.898…\ fois 10^{6} \\mathrm{nm\K}.\,}

Le nanomètre est une unité de mesure pratique pour les longueurs d’onde optiques. Notez que 1 nanomètre équivaut à 10-9 mètres.

Loi de Stefan–Boltzmann

L’énergie totale rayonnée par unité de surface par unité de temps j ⋆ {\displaystyle j^{\star}} (en watts par mètre carré) par un corps noir est liée à sa température T (en kelvins) et à la constante de Stefan–Boltzmann σ {\displaystyle\sigma} comme suit:

j ⋆= σ T 4. {\displaystyle j^{\star} = \sigma T^{4}.\,}

Relation de température entre une planète et son étoile

Voici une application des lois du corps noir pour déterminer la température du corps noir d’une planète. La surface peut être plus chaude en raison de l’effet de serre.

Facteurs

Intensité du rayonnement thermique à ondes longues de la Terre, provenant des nuages, de l’atmosphère et du sol

La température d’une planète dépend de quelques facteurs:

• Rayonnement incident (provenant du Soleil, par exemple)
• Rayonnement émis (par exemple])
• L’effet d’albédo (la fraction de lumière réfléchie par une planète)
• L’effet de serre (pour les planètes avec une atmosphère)
• Énergie générée intérieurement par une planète elle-même (due à la désintégration radioactive, au réchauffement des marées et à la contraction adiabatique due au refroidissement).

Pour les planètes internes, les rayonnements incidents et émis ont l’impact le plus significatif sur la température. Cette dérivation concerne principalement cela.

Hypothèses

Si nous supposons ce qui suit:

1. Le Soleil et la Terre rayonnent tous deux sous forme de corps noirs sphériques.
2. La Terre est en équilibre thermique.

ensuite, nous pouvons dériver une formule pour la relation entre la température de la Terre et la température de surface du Soleil.

Dérivation

Pour commencer, nous utilisons la loi de Stefan-Boltzmann pour trouver la puissance totale (énergie /seconde) émise par le Soleil:

La Terre n’a qu’une surface absorbante égale à un cercle bidimensionnel, plutôt que la surface d’une sphère.

P S e m t =(σ T S 4)(4 π R S 2)(1) {\displaystyle P_{Semt} = \gauche(\sigma T_{S}^{4} \ droite) \ gauche(4\pi R_ {S}^{2} \ droite) \ qquad \qquad(1)}où σ {\displaystyle\sigma\,}est la constante de Stefan–Boltzmann, T S {\displaystyle T_{S}\, }est la température de surface du Soleil, et R S {\displaystyle R_{S}\,}est le rayon du Soleil.

Le Soleil émet cette puissance de manière égale dans toutes les directions. Pour cette raison, la Terre n’en est frappée qu’avec une infime fraction. C’est la puissance du Soleil que la Terre absorbe:

P E a b s = P S E m t(1−α) (π R E 2 4 π D 2) (2) {\displaystyle P_ {Eabs} = P_{Semt}(1-\alpha) \ gauche ({\frac{\pi R_{E}^{2}} {4\pi D^{2}}} \ droite) \qquad \qquad(2)}où R E{\displaystyle R_{E}\,}est le rayon de la Terre et D{\displaystyle D\, }est la distance entre le Soleil et la Terre. α {\displaystyle\alpha\}est l’albédo de la Terre.

Même si la terre n’absorbe qu’une surface circulaire π R 2 {\displaystyle\pi R^{2}} , il émet également dans toutes les directions comme une sphère:

P E e m t =(σ T E 4) (4 π R E 2)(3) {\displaystyle P_{Eemt} = \left(\sigma T_{E}^{4}\right) \left(4\pi R_{E}^{2} \right) \qquad\qquad(3)}où T E{\displaystyle T_{E}}est la température corporelle noire de la terre.

Maintenant, notre deuxième hypothèse était que la terre est en équilibre thermique, donc la puissance absorbée doit être égale à la puissance émise:

P E a b s = P E e m t {\displaystyle P_{Eabs} = P_{Eemt}\,}Branchez donc les équations 1, 2 et 3 dans ceci et nous obtenons (σ T S 4) (4 π R S 2) (1−α) (π R E 2 4 π D 2) = (σ T E 4) (4 π R E 2). {\displaystyle\left(\sigma T_{S}^{4}\right)\left(4\pi R_{S}^{2}\right)(1-\alpha)\left({\frac{\pi R_{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right) = \left(\sigma T_{E}^{4}\right)\left(4\pi R_{E}^{2}\right).\,}

De nombreux facteurs s’annulent des deux côtés et cette équation peut être grandement simplifiée.

Le résultat

Après annulation des facteurs, le résultat final est

T S 1−α R S 2 D = T E {\displaystyle T_{S}{\sqrt{\frac{{\sqrt{1-\alpha}} R_{S}}{2D}}} = T_{E}}

où

T S{\displaystyle T_{S}\,} est la température de surface du Soleil,

R S {\displaystyle R_{S}\,} est le rayon du Soleil,

D {\displaystyle D\,} est la distance entre le Soleil et la Terre,

α {\displaystyle\alpha} est l’albédo de la Terre, et

T E {\displaystyle T_{E}\,} est la température du corps noir de la Terre.

En d’autres termes, compte tenu des hypothèses formulées, la température de la Terre ne dépend que de la température de surface du Soleil, du rayon du Soleil, de la distance entre la Terre et le Soleil et de l’albédo de la Terre.

Température de la Terre

Si l’on substitue dans les valeurs mesurées pour le Soleil,

T S = 5778 K, {\displaystyle T_{S} = 5778\\mathrm{K}, }R S = 6,96 ×10 8 m, {\displaystyle R_{S} = 6,96\fois 10^{8}\\mathrm{m},}D = 1,5 ×10 11 m, {\displaystyle D = 1,5\fois 10^{11}\\mathrm{m}, }α = 0,3 {\displaystyle\alpha = 0,3\}

nous trouverons que la température effective de la Terre est

T E = 255 K. {\displaystyle T_{E}= 255\\mathrm{K}.}

Il s’agit de la température du corps noir mesurée depuis l’espace, tandis que la température de surface est plus élevée en raison de l’effet de serre

Effet Doppler pour un corps noir en mouvement

L’effet Doppler est le phénomène bien connu décrivant comment les fréquences de lumière observées sont « décalées » lorsqu’une source de lumière se déplace par rapport à l’observateur. Si f est la fréquence émise d’une source lumineuse monochromatique, elle semblera avoir une fréquence f’ si elle se déplace par rapport à l’observateur :

f’ = f 1 1-v 2/c 2 (1−v cos θ θ) {\displaystyle f’ = f {\frac{1} {\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}(1-{\ frac {v}{c}}\cos\theta)}

où v est la vitesse de la source dans le cadre de repos de l’observateur, θ est l’angle entre le vecteur vitesse et la direction de la source de l’observateur et c est la vitesse de la lumière. C’est la formule entièrement relativiste, et peut être simplifiée pour les cas particuliers d’objets se déplaçant directement vers (θ = π) ou loin (θ = 0) de l’observateur, et pour des vitesses bien inférieures à c.

Pour calculer le spectre d’un corps noir en mouvement, il semble donc simple d’appliquer simplement cette formule à chaque fréquence du spectre du corps noir. Cependant, une simple mise à l’échelle de chaque fréquence comme celle-ci ne suffit pas. Nous devons également tenir compte de la taille finie de l’ouverture de visualisation, car l’angle solide recevant la lumière subit également une transformation de Lorentz. (Nous pouvons ensuite permettre que l’ouverture soit arbitrairement petite et la source arbitrairement éloignée, mais cela ne peut pas être ignoré au départ.) Lorsque cet effet est inclus, on constate qu’un corps noir à la température T qui recule avec la vitesse v semble avoir un spectre identique à un corps noir stationnaire à la température T’, donné par:

T’ = T 1 1-v 2 /c 2(1-v cos θ θ) {\displaystyle T’ = T {\frac{1} {\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}(1-{\ frac{v}{c}}\cos\theta)}

Dans le cas d’une source se déplaçant directement vers ou loin de l’observateur, cela se réduit à

T’ = T c−v c+v {\displaystyle T’ = T {\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}}} {\displaystyle T’ = T {\sqrt {\frac{c-v}{c+v}}} {\displaystyle T’ = T {\sqrt {\frac{c-v} {c+v}}}}

Ici, v > 0 indique une source en recul et v < 0 indique une source en approche.

C’est un effet important en astronomie, où les vitesses des étoiles et des galaxies peuvent atteindre des fractions significatives de c. Un exemple se trouve dans le rayonnement de fond diffus cosmologique, qui présente une anisotropie dipolaire du mouvement de la Terre par rapport à ce champ de rayonnement de corps noir.

Voir aussi

• Couleur
• Rayonnement électromagnétique
• Lumière
• Photon
• Température
• Thermomètre
• Ultraviolet

Notes

• Il s’agit de l’un des plus grands noms de la littérature française. Science Planétaire: La Science des Planètes Autour des Étoiles. Bristol, Royaume-Uni : Publication de l’Institut de physique, 2002. ISBN 075030815X
• Gill, T. P. L’effet Doppler. Londres, Royaume-Uni : Logos Press, 1965.
• Harris, J. et F. Benedict. Une Étude biométrique du Métabolisme Basal humain. Proc Natl Acad Sci États-Unis 4(12) (1918): 370-373.
• Huang, Kerson. Mécanique statistique. Il est le fils de John Wiley &, 1967.
• Kroemer, Herbert et Charles Kittel. Physique thermique, 2e éd. Société W. H. Freeman, 1980. Il s’agit de l’un des principaux ouvrages de référence en matière de protection des données. Physique statistique, 3e Édition, Partie 1. Oxford, Royaume-Uni : Butterworth-Heinemann, 1996 (original 1958).
• Tipler, Paul et Ralph Llewellyn. Physique moderne, 4e éd. Il s’agit de la première édition de la série. ISBN 0716743450

Tous les liens ont été récupérés le 11 juin 2016.

• Calcul du rayonnement du Corps Noir Calculatrice interactive avec Effet Doppler. Comprend la plupart des systèmes d’unités.
• Mécanismes de refroidissement du corps humain – De l’hyperphysique.
• Applet d’émission de corps noir.
• « Blackbody Spectrum » par Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project.