Corpo nero

Curve di radiazione del corpo nero a diverse temperature: 3000 K, 4000 K e 5000 K. Quando la temperatura diminuisce, il picco della curva di radiazione del corpo nero si sposta a intensità inferiori e lunghezze d’onda più lunghe. Il grafico della radiazione del corpo nero viene anche confrontato con il modello classico di Rayleigh e Jeans.

In fisica, un corpo nero (in senso ideale) è un oggetto che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica che cade su di esso, senza che nessuna delle radiazioni lo attraversi o venga riflessa da esso. Poiché non riflette o trasmette la luce visibile, l’oggetto appare nero quando è freddo.

Quando riscaldato, il corpo nero diventa una fonte ideale di radiazione termica, che è chiamata radiazione del corpo nero. Se un corpo nero perfetto ad una certa temperatura è circondato da altri oggetti in equilibrio alla stessa temperatura, emetterà in media esattamente quanto assorbe, alle stesse lunghezze d’onda e intensità di radiazione che aveva assorbito.

La temperatura dell’oggetto è direttamente correlata alle lunghezze d’onda della luce che emette. A temperatura ambiente, i corpi neri emettono luce infrarossa, ma quando la temperatura aumenta oltre alcune centinaia di gradi Celsius, i corpi neri iniziano ad emettere a lunghezze d’onda visibili, dal rosso all’arancione, al giallo e al bianco prima di finire al blu, oltre il quale l’emissione include quantità crescenti di radiazioni ultraviolette.

Il colore (cromaticità) della radiazione del corpo nero dipende dalla temperatura del corpo nero. Il luogo di tali colori (mostrato qui nello spazio CIE 1931 x,y) è noto come il luogo planckiano.

I corpi neri sono stati utilizzati per testare le proprietà dell’equilibrio termico perché emettono radiazioni distribuite termicamente. Nella fisica classica, ogni diversa modalità di Fourier in equilibrio termico dovrebbe avere la stessa energia, portando alla teoria della catastrofe ultravioletta che ci sarebbe una quantità infinita di energia in qualsiasi campo continuo. Gli studi sulla radiazione del corpo nero hanno portato al campo rivoluzionario della meccanica quantistica. Inoltre, le leggi del corpo nero sono state utilizzate per determinare le temperature del corpo nero dei pianeti.

Panoramica

Se una piccola finestra viene aperta in un forno, qualsiasi luce che entra nella finestra ha una probabilità molto bassa di uscire senza essere assorbita. Al contrario, il foro funge da radiatore quasi ideale del nero-corpo. Questo rende spioncini in forni buone fonti di radiazione del corpo nero, e alcune persone chiamano radiazione cavità per questo motivo.

In laboratorio, la radiazione del corpo nero è approssimata dalla radiazione proveniente da un piccolo foro d’ingresso in una grande cavità, un hohlraum. Qualsiasi luce che entra nel foro dovrebbe riflettere le pareti della cavità più volte prima che scappasse, nel quale processo è quasi certo di essere assorbito. Ciò si verifica indipendentemente dalla lunghezza d’onda della radiazione che entra (purché sia piccola rispetto al foro). Il foro, quindi, è una stretta approssimazione di un corpo nero teorico e, se la cavità viene riscaldata, lo spettro della radiazione del foro (cioè la quantità di luce emessa dal foro ad ogni lunghezza d’onda) sarà continuo e non dipenderà dal materiale nella cavità (confrontare con lo spettro di emissione). Secondo un teorema dimostrato da Gustav Kirchhoff, questa curva dipende solo dalla temperatura delle pareti della cavità. Kirchhoff introdusse il termine “corpo nero” nel 1860.

Calcolare questa curva è stata una grande sfida nella fisica teorica durante la fine del XIX secolo. Il problema fu finalmente risolto nel 1901 da Max Planck come legge di Planck della radiazione del corpo nero. Apportando modifiche alla legge di radiazione di Vienna (da non confondere con la legge di spostamento di Vienna) coerente con la termodinamica e l’elettromagnetismo, ha trovato una formula matematica adatta ai dati sperimentali in modo soddisfacente. Per trovare un’interpretazione fisica di questa formula, Planck dovette quindi supporre che l’energia degli oscillatori nella cavità fosse quantizzata (cioè multipli interi di una certa quantità). Einstein ha costruito su questa idea e ha proposto la quantizzazione della radiazione elettromagnetica stessa nel 1905 per spiegare l’effetto fotoelettrico.

Questi progressi teorici alla fine hanno portato alla sostituzione dell’elettromagnetismo classico con l’elettrodinamica quantistica. Oggi, questi quanti sono chiamati fotoni e la cavità del corpo nero può essere pensata come contenente un gas di fotoni. Inoltre, ha portato allo sviluppo di distribuzioni di probabilità quantistiche, chiamate statistiche di Fermi-Dirac e statistiche di Bose-Einstein, ciascuna applicabile a una diversa classe di particelle, che vengono utilizzate in meccanica quantistica invece delle distribuzioni classiche.

La temperatura di un flusso di lava Pāhoehoe può essere stimata osservando il suo colore. Il risultato concorda bene con le temperature misurate delle colate laviche a circa 1.000-1.200 °C.

La lunghezza d’onda alla quale la radiazione è più forte è data dalla legge di spostamento di Wien, e la potenza complessiva emessa per unità di area è data dalla legge di Stefan-Boltzmann. Quindi, all’aumentare della temperatura, il colore del bagliore cambia da rosso a giallo a bianco a blu. Anche se la lunghezza d’onda di picco si sposta nell’ultravioletto, abbastanza radiazione continua ad essere emessa nelle lunghezze d’onda blu che il corpo continuerà ad apparire blu. Non diventerà mai invisibile-anzi, la radiazione della luce visibile aumenta monotonicamente con la temperatura.

La luminosità o l’intensità osservata non è una funzione della direzione. Quindi un corpo nero è un radiatore lambertiano perfetto.

Gli oggetti reali non si comportano mai come corpi neri ideali, e invece la radiazione emessa ad una data frequenza è una frazione di quella che sarebbe l’emissione ideale. L’emissività di un materiale specifica quanto bene un corpo reale irradia energia rispetto a un corpo nero. Questa emissività dipende da fattori quali temperatura, angolo di emissione e lunghezza d’onda. Tuttavia, è tipico nell’ingegneria assumere che l’emissività spettrale e l’assorbimento di una superficie non dipendano dalla lunghezza d’onda, in modo che l’emissività sia una costante. Questo è noto come l’assunzione di corpo grigio.

Sebbene la formula di Planck preveda che un corpo nero irradia energia a tutte le frequenze, la formula è applicabile solo quando vengono misurati molti fotoni. Ad esempio, un corpo nero a temperatura ambiente (300 K) con un metro quadrato di superficie emetterà un fotone nell’intervallo visibile una volta ogni mille anni circa, il che significa che per la maggior parte degli scopi pratici, il corpo nero non emette nell’intervallo visibile.

Quando si tratta di superfici non nere, le deviazioni dal comportamento ideale del corpo nero sono determinate sia dalla struttura geometrica che dalla composizione chimica e seguono la Legge di Kirchhoff: l’emissività equivale all’assorbimento, in modo che un oggetto che non assorbe tutta la luce incidente emetta anche meno radiazioni di un corpo nero ideale.

Immagine WMAP della radiazione di fondo a microonde cosmica anisotropia. Ha lo spettro di emissione termica più preciso conosciuto e corrisponde a una temperatura di 2,725 kelvin (K) con un picco di emissione a 160,2 GHz.

In astronomia, oggetti come le stelle sono spesso considerati come corpi neri, anche se questa è spesso una scarsa approssimazione. Uno spettro quasi perfetto del corpo nero è esposto dalla radiazione cosmica di fondo a microonde. La radiazione di Hawking è radiazione del corpo nero emessa dai buchi neri.

Simulatori di corpo nero

Sebbene un corpo nero sia un oggetto teorico, (cioè emissività (e) = 1.0), le applicazioni comuni definiscono una fonte di radiazione infrarossa come un corpo nero quando l’oggetto si avvicina a un’emissività di 1.0, (tipicamente e = .99 o superiore). Una fonte di radiazione infrarossa inferiore a .99 è indicato come un greybody. Le applicazioni per i simulatori del corpo nero includono tipicamente la prova e la calibratura dei sistemi infrarossi e dell’attrezzatura infrarossa del sensore.

Radiazione emessa da un corpo umano

Gran parte dell’energia di una persona viene irradiata sotto forma di energia infrarossa. Alcuni materiali sono trasparenti alla luce infrarossa, mentre opachi alla luce visibile (notare il sacchetto di plastica). Altri materiali sono trasparenti alla luce visibile, mentre opachi o riflettenti all’infrarosso (notare gli occhiali da uomo).

Le leggi del corpo nero possono essere applicate agli esseri umani. Ad esempio, parte dell’energia di una persona viene irradiata sotto forma di radiazioni elettromagnetiche, la maggior parte delle quali è infrarossa.

La potenza netta irradiata è la differenza tra la potenza emessa e la potenza assorbita:

P n e t = P e m i t-P a b s o r b . {\displaystyle P_ {net}=P_ {emit}-P_ {absorb}.}

Applicando la legge di Stefan–Boltzmann,

P n e t = A s ż ( T 4 − T 0 4 ) {\displaystyle P{net}=A\sigma \epsilon \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right)\,}.

La superficie totale di un adulto è di circa 2 m2 e l’emissività a medio e lontano infrarosso della pelle e della maggior parte degli indumenti è vicina all’unità, come per la maggior parte delle superfici non metalliche. La temperatura della pelle è di circa 33°C, ma l’abbigliamento riduce la temperatura superficiale a circa 28°C quando la temperatura ambiente è di 20°C. Quindi, la perdita di calore radiativo netto è di circa

P n e t = 100 W {\displaystyle P_{net}=100 \ \ mathrm {W}\,}.

L’energia totale irradiata in un giorno è di circa 9 MJ (Mega joule), o 2000 kcal (calorie alimentari). Il tasso metabolico basale per un maschio di 40 anni è di circa 35 kcal/(m2•h), che equivale a 1700 kcal al giorno assumendo la stessa area di 2 m2. Tuttavia, il tasso metabolico medio degli adulti sedentari è di circa il 50 per cento al 70 per cento maggiore del loro tasso basale.

Esistono altri importanti meccanismi di perdita termica, tra cui la convezione e l’evaporazione. La conduzione è trascurabile poiché il numero di Nusselt è molto maggiore dell’unità. L’evaporazione (sudore) è necessaria solo se la radiazione e la convezione sono insufficienti per mantenere una temperatura stazionaria. I tassi di convezione libera sono comparabili, anche se leggermente inferiori, rispetto ai tassi radiativi. Pertanto, le radiazioni rappresentano circa 2/3 della perdita di energia termica in aria fresca e ferma. Data la natura approssimativa di molte delle ipotesi, questo può essere preso solo come una stima grezza. Il movimento dell’aria ambiente, che causa la convezione forzata o l’evaporazione, riduce l’importanza relativa della radiazione come meccanismo di perdita termica.

Inoltre, applicando la Legge di Wien per gli esseri umani, si trova che la lunghezza d’onda di picco di luce emessa da una persona

λ p e a p e k = 2.898 × 10 6 K ⋅ n m 305 K = 9500 n i m {\displaystyle \lambda _{picco}={\frac {a 2.898\times 10^{6}\ \mathrm {K} \cdot \mathrm {nm} }{305\ \mathrm {K} }}=9500\ \mathrm {nm} \,}.

Questo è il motivo per cui i dispositivi di imaging termico progettati per soggetti umani sono più sensibili alla lunghezza d’onda di 7-14 micrometri.

Equazioni che governano corpi neri

Planck legge della radiazione di corpo nero

I ( n , T ) d n = 2 h ν 3 c 2 1 h e n k T − 1 d ν {\displaystyle I(\nu ,T)d\nu ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }

dove

• I ( n , T ) d n {\displaystyle I(\nu ,T)d\nu \,} è la quantità di energia per unità di superficie per unità di tempo per unità di angolo solido emesso in intervallo di frequenza tra ν e ν+dv da un corpo nero alla temperatura T;
• h {\displaystyle h\,} è la costante di Planck;
• c {\displaystyle c\,} è la velocità della luce; e
• k {\displaystyle k\} è la costante di Boltzmann.

legge dello spostamento di Wien

Il rapporto tra la temperatura T di un corpo nero, e la lunghezza d’onda λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} in cui l’intensità della radiazione che produce è al massimo è

• T λ m a x = a 2.898… × 10 6 n m K . {\displaystyle T \ lambda _ {\mathrm {max}} =2.898…\ volte 10^{6} \ \ mathrm {nm \ K} .\ ,}

Il nanometro è una comoda unità di misura per lunghezze d’onda ottiche. Si noti che 1 nanometro equivale a 10-9 metri.

legge di Stefan–Boltzmann

L’energia totale irradiata per unità di superficie per unità di tempo j ⋆ {\displaystyle j^{\star }} (in watt per metro quadrato) da un corpo nero è legato alla sua temperatura T (in gradi kelvin) e la costante di Stefan–Boltzmann s {\displaystyle \sigma } come segue:

j ⋆ = σ T 4 . {\displaystyle j^{\star } = \ sigma T ^ {4}.\ ,}

Rapporto di temperatura tra un pianeta e la sua stella

Ecco un’applicazione delle leggi del corpo nero per determinare la temperatura del corpo nero di un pianeta. La superficie può essere più calda a causa dell’effetto serra.

Fattori

Intensità di radiazione termica a onde lunghe della Terra, da nuvole, atmosfera e terra

La temperatura di un pianeta dipende da alcuni fattori:

• radiazione Incidente (da Sole, per esempio)
• radiazione Emessa (per esempio ])
• L’effetto albedo (la frazione di luce di un pianeta riflette)
• effetto serra (per i pianeti con atmosfera)
• Energia generate internamente da un pianeta stesso (a causa del decadimento Radioattivo, di marea e di riscaldamento adiabatico contrazione a causa di raffreddamento).

Per i pianeti interni, la radiazione incidente ed emessa ha l’impatto più significativo sulla temperatura. Questa derivazione riguarda principalmente questo.

Ipotesi

Se assumiamo quanto segue:

1. Il Sole e la Terra si irradiano entrambi come corpi neri sferici.
2. La Terra è in equilibrio termico.

quindi possiamo ricavare una formula per la relazione tra la temperatura della Terra e la temperatura superficiale del Sole.

Derivazione

Per iniziare, usiamo la legge di Stefan-Boltzmann per trovare la potenza totale (energia/secondo) che il Sole sta emettendo:

La Terra ha solo un’area assorbente uguale a un cerchio bidimensionale, piuttosto che la superficie di una sfera.

P S e m a t = ( s T S 4 ) ( 4 π R S 2 ) ( 1 ) {\displaystyle P{Semt}=\left(\sigma T_{S}^{4}\right)\left(4\pi R{S}^{2}\right)\qquad \qquad (1)}dove σ {\displaystyle \sigma \,}è la costante di Stefan–Boltzmann, T S {\displaystyle T_{S}\,}è la temperatura della superficie del Sole, e R S {\displaystyle R{S}\,}è il raggio del Sole.

Il Sole emette quel potere ugualmente in tutte le direzioni. Per questo motivo, la Terra viene colpita con solo una piccola frazione di essa. Questo è il potere del Sole che la Terra assorbe:

P E a b s = P S e m t ( 1 − α ) ( π R E 2 4 π D 2 ) ( 2 ) {\displaystyle P{Eabs}=P_{Semt}(1-\alpha )\left({\frac {\pi R{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)\qquad \qquad (2)}dove R E {\displaystyle R{E}\,}è il raggio della Terra e D {\displaystyle D\,}è la distanza tra il Sole e la Terra. α {\displaystyle \ alpha\}è l’albedo della Terra.

Anche se solo la terra assorbe come una zona circolare di π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} , emette ugualmente in tutte le direzioni, come una sfera:

P E r m a t = ( s T E 4 ) ( 4 π R E 2 ) ( 3 ) {\displaystyle P{Eemt}=\left(\sigma T_{E}^{4}\right)\left(4\pi R{E}^{2}\right)\qquad \qquad (3)}dove T E {\displaystyle T_{E}}è il corpo nero di temperatura della terra.

Ora, la nostra seconda ipotesi è che la terra è in equilibrio termico, quindi la potenza assorbita deve essere uguale alla potenza emessa:

P E a b s = a P P r e m e t {\displaystyle P{Eabs}=P_{Eemt}\,}Così collegare equazioni di 1, 2, e 3, e otteniamo ( σ T S 4 ) ( 4 π R S 2 ) ( 1 − α ) ( π R E 2 4 π D 2 ) = ( s T E 4 ) ( 4 π R E 2 ) . {\displaystyle \left(\sigma T_{S}^{4}\right)\left(4\pi R{S}^{2}\right)(1-\alpha )\left({\frac {\pi R{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)=\left(\sigma T_{E}^{4}\right)\left(4\pi R{E}^{2}\right).\,}

Molti fattori si annullano da entrambi i lati e questa equazione può essere notevolmente semplificata.

risultato

Dopo l’annullamento dei fattori, il risultato finale è

T S 1 − α R S 2 D = T {\displaystyle T_{S}{\sqrt {\frac {{\sqrt {1-\alpha }}R_{S}}{2D}}}=T_{E}}

dove

T S {\displaystyle T_{S}\,} è la temperatura della superficie del Sole,

R S {\displaystyle R{S}\,} è il raggio di Sole,

D {\displaystyle D\,} è la distanza tra il Sole e la Terra,

α {\displaystyle \alpha } è l’albedo della Terra, e

T E {\displaystyle T_{E}\,} è il corpo nero di temperatura della Terra.

In altre parole, date le ipotesi fatte, la temperatura della Terra dipende solo dalla temperatura superficiale del Sole, dal raggio del Sole, dalla distanza tra Terra e Sole e dall’albedo della Terra.

Temperatura di Terra

Se sostituiamo nei valori misurati per il Sole,

T S = 5778 K , {\displaystyle T_{S}=5778\ \mathrm {K} ,}R S = 6.96 × 10 8 m , {\displaystyle R{S}=6.96\times 10^{8}\ \mathrm {m} ,}D = 1,5 × 10 11 m,, {\displaystyle D=1,5\times 10^{11}\ \mathrm {m} ,}α = 0.3 {\displaystyle \alpha =0,3\ }

troveremo che la temperatura effettiva della Terra è

T E = 255 K . {\displaystyle T_{E}=255 \ \ mathrm {K}.}

Questa è la temperatura del corpo nero misurata dallo spazio, mentre la temperatura superficiale è più alta a causa dell’effetto serra

Effetto Doppler per un corpo nero in movimento

L’effetto Doppler è il fenomeno ben noto che descrive come le frequenze di luce osservate vengono “spostate” quando una sorgente luminosa si muove rispetto all’osservatore. Se f è la frequenza emessa di una sorgente di luce monocromatica, apparirà per la frequenza f’ se è movimento rispetto all’osservatore :

f ‘= f 1 1 − v 2 / c 2 ( 1 − v c cos ⁡ θ ) {\displaystyle f’=f{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}(1-{\frac {v}{c}}\cos \theta )}

dove v è la velocità della sorgente dell’osservatore cornice resto, q è l’angolo tra il vettore velocità e l’osservatore-direzione di provenienza, e c è la velocità della luce. Questa è la formula relativistica, e possono essere semplificati, per i casi particolari di oggetti in movimento direttamente verso ( θ = π) o lontano ( q = 0) dall’osservatore, e per velocità molto inferiore a c.

Per calcolare lo spettro di un corpo nero movimento, poi, sembra semplice basta applicare questa formula per ciascuna frequenza dello spettro di corpo nero. Tuttavia, il semplice ridimensionamento di ogni frequenza in questo modo non è sufficiente. Dobbiamo anche tenere conto della dimensione finita dell’apertura di visione, perché anche l’angolo solido che riceve la luce subisce una trasformazione di Lorentz. (Possiamo successivamente permettere che l’apertura sia arbitrariamente piccola e la fonte arbitrariamente lontana, ma questo non può essere ignorato all’inizio.) Quando questo effetto è incluso, si scopre che un corpo nero a temperatura T che si sta allontanando con velocità v sembra avere uno spettro identico a un corpo nero stazionario a temperatura T’, dato da:

T ‘= T 1 1 − v 2 / c 2 ( 1 − v c cos ⁡ θ ) {\displaystyle T’=T{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}(1-{\frac {v}{c}}\cos \theta )}

Per il caso di una sorgente in movimento direttamente verso o lontano dall’osservatore, questo si riduce a

T ‘= T c − v c + v {\displaystyle T’=T{\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}}

Qui v > 0 indica una regressione di origine, e v < 0 indica l’approssimarsi di origine.

Questo è un effetto importante in astronomia, dove le velocità di stelle e galassie possono raggiungere frazioni significative di c. Un esempio si trova nella radiazione cosmica di fondo a microonde, che esibisce un’anisotropia di dipolo dal movimento della Terra rispetto a questo campo di radiazione del corpo nero.

Vedi anche

• Colore
• radiazione Elettromagnetica
• Luce
• Fotone
• Temperatura
• Termometro
• Ultravioletti

Note

• Cole, George H. A., Michael M. Woolfson. Scienza Planetaria: La scienza dei pianeti intorno alle stelle. Bristol, UK: Institute of Physics Publishing, 2002. ISBN 075030815X
• Gill, T. P. L’effetto Doppler. Londra, Regno Unito: Logos Press, 1965.
• Harris, J. e F. Benedetto. Uno studio biometrico del metabolismo basale umano. Proc Natl Acad Sci Stati Uniti d’America 4(12) (1918): 370-373.
• Huang, Kerson. Meccanica statistica. New York, NY: John Wiley & Figli, 1967.
• Kroemer, Herbert e Charles Kittel. Fisica termica, 2a ed. W. H. Freeman Company, 1980. ISBN 0716710889
• Landau, L. D., e E. M. Lifshitz. Fisica statistica, 3a edizione, Parte 1. Oxford, Regno Unito: Butterworth-Heinemann, 1996 (originale 1958).
• Tipler, Paul e Ralph Llewellyn. Fisica moderna, 4a ed. W. H. Freeman, 2002. ISBN 0716743450

Tutti i link recuperati 11 giugno 2016.

• Calcolo della radiazione del corpo nero Calcolatrice interattiva con effetto Doppler. Include la maggior parte dei sistemi di unità.
• Meccanismi di raffreddamento per il corpo umano – Dall’iperfisica.
• Applet Emissione corpo nero.
• “Blackbody Spectrum” di Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project.