Observații generale
probabil cea mai naturală abordare a logicii formale este prin ideea validității unui argument de genul cunoscut sub numele de deductiv. Un argument deductiv poate fi caracterizat aproximativ ca unul în care se face afirmația că o anumită propoziție (concluzia) urmează cu strictă necesitate din alte propoziții sau propoziții (premisele)—adică că ar fi inconsistent sau auto-contradictoriu să afirmăm premisele, dar să negăm concluzia.
pentru ca un argument deductiv să reușească să stabilească adevărul concluziei sale, trebuie îndeplinite două condiții destul de distincte: în primul rând, concluzia trebuie să urmeze cu adevărat din premise—adică deducerea concluziei din premise trebuie să fie corectă din punct de vedere logic—și, în al doilea rând, premisele în sine trebuie să fie adevărate. Un argument care îndeplinește ambele condiții se numește sunet. Dintre aceste două condiții, logicianul ca atare este preocupat doar de prima; al doilea, determinarea adevărului sau falsității premiselor, este sarcina unei anumite discipline speciale sau a unei observații comune adecvate obiectului argumentului. Atunci când concluzia unui argument este corect deductibilă din premisele sale, se spune că inferența de la premisă la concluzie este (deductiv) valabilă, indiferent dacă premisele sunt adevărate sau false. Alte modalități de exprimare a faptului că o inferență este valabilă deductiv sunt de a spune că adevărul premiselor oferă (sau ar oferi) o garanție absolută a adevărului concluziei sau că ar implica o inconsecvență logică (distinctă de o simplă greșeală de fapt) să presupunem că premisele erau adevărate, dar concluzia falsă.
inferențele deductive cu care este implicată logica formală sunt, după cum sugerează și numele, cele pentru care validitatea nu depinde de nicio caracteristică a subiectului lor, ci de forma sau structura lor. Astfel, cele două inferențe (1) Fiecare câine este un mamifer. Unele patrupede sunt câini. Unele patrupede sunt mamifere. și (2) fiecare anarhist este un credincios în iubirea liberă. Unii membri ai Partidului guvernamental sunt anarhiști. Unii membri ai Partidului guvernamental sunt credincioși în iubirea liberă. diferă în materie și, prin urmare, necesită proceduri diferite pentru a verifica adevărul sau falsitatea premiselor lor. Dar validitatea lor este asigurată de ceea ce au în comun—și anume, că argumentul din fiecare este de forma(3) fiecare X este un Y. unii Z sunt X. unii Z sunt Y.
linia (3) de mai sus poate fi numită o formă de inferență, iar (1) și (2) sunt apoi instanțe ale acelei forme de inferență. Literele-X, Y și Z—in (3) marchează locurile în care pot fi inserate expresii de un anumit tip. Simbolurile utilizate în acest scop sunt cunoscute sub numele de variabile; utilizarea lor este analogă cu cea a x în algebră, care marchează locul în care poate fi introdus un număr. O instanță a unei forme de inferență este produsă prin înlocuirea tuturor variabilelor din ea cu expresii adecvate (adică cele care au sens în context) și procedând astfel uniform (adică înlocuind aceeași expresie oriunde reapare aceeași variabilă). Caracteristica (3) care garantează că fiecare instanță a acesteia va fi valabilă este construcția sa în așa fel încât orice mod uniform de înlocuire a variabilelor sale pentru a face premisele adevărate face automat și concluzia adevărată sau, cu alte cuvinte, că nicio instanță a acesteia nu poate avea premise adevărate, ci o concluzie falsă. În virtutea acestei caracteristici, forma (3) este denumită formă de inferență validă. În contrast, (4) fiecare X este un Y. unele Z sunt Y . nu este o formă de inferență validă, deoarece, deși pot fi produse cazuri în care premisele și concluziile sunt toate adevărate, pot fi produse și cazuri în care premisele sunt adevărate, dar concluzia este falsă—de exemplu, (5) fiecare câine este un mamifer. Unele creaturi înaripate sunt mamifere. Unele creaturi înaripate sunt câini.
logica formală ca studiu se referă mai degrabă la formele de inferență decât la anumite instanțe ale acestora. Una dintre sarcinile sale este de a discrimina între formele de inferență valide și nevalide și de a explora și sistematiza relațiile care se mențin între cele valide.
strâns legată de ideea unei forme de inferență valide este cea a unei forme de propoziție valide. O formă de propoziție este o expresie a cărei instanțe (produse ca înainte de înlocuiri adecvate și uniforme pentru variabile) nu sunt inferențe de la mai multe propoziții la o concluzie, ci mai degrabă propoziții luate individual, iar o formă de propoziție validă este una pentru care toate instanțele sunt propoziții adevărate. Un exemplu simplu este (6) nimic nu este atât un X, cât și un non-X. logica formală se referă la formele de propoziție, precum și la formele de inferență. Studiul formelor de propoziții poate fi, de fapt, făcut pentru a include cel al formelor de inferență în felul următor: fie ca premisele oricărei forme de inferență date (luate împreună) să fie prescurtate de alfa (Ecuator) și concluzia sa de beta (Ecuator). Apoi starea înscrisă mai sus pentru validitatea inferență forma „α, prin urmare, β” sume să spun că nici un exemplu de propunere de forma „α și β” este adevărat—și anume, că fiecare exemplu de propunere de forma(7) Nu ambele: α și β este adevărat sau că linia (7), pe deplin precizate, desigur, este valabil propunere de formular. Cu toate acestea, studiul formelor de propoziții nu poate fi adaptat în mod similar sub studiul formelor de inferență și, din motive de exhaustivitate, este obișnuit să privim logica formală ca studiul formelor de propoziții. Deoarece manipularea formulelor de propoziții de către un logician este în multe privințe analogă cu manipularea formulelor numerice de către un matematician, sistemele pe care le construiește sunt adesea numite calculi.
o mare parte din munca unui logician se desfășoară la un nivel mai abstract decât cel al discuției de mai sus. Chiar și o formulă precum (3) de mai sus, deși nu se referă la niciun subiect specific, conține expresii precum „fiecare” și „este a”, care sunt considerate ca având un sens definit, iar variabilele sunt destinate să marcheze locurile pentru expresii de un anumit tip (aproximativ, substantive comune sau nume de clase). Cu toate acestea, este posibil—și în anumite scopuri este esențial—să studiem formulele fără a le atașa nici măcar acest grad de semnificație. Construcția unui sistem de logică, de fapt, implică două procese distincte: una constă în crearea unui aparat simbolic—un set de simboluri, reguli pentru înșirarea acestora în formule și reguli pentru manipularea acestor formule; al doilea constă în atașarea anumitor semnificații acestor simboluri și formule. Dacă se face doar primul, se spune că sistemul este neinterpretat sau pur formal; dacă acesta din urmă se face și el, se spune că sistemul este interpretat. Această distincție este importantă, deoarece sistemele logice se dovedesc a avea anumite proprietăți destul de independent de orice interpretări care pot fi plasate asupra lor. Un sistem axiomatic de logică poate fi luat ca exemplu—adică un sistem în care anumite formule nedovedite, cunoscute sub numele de axiome, sunt luate ca puncte de plecare, iar alte formule (teoreme) sunt dovedite pe puterea acestora. După cum va apărea mai târziu (Vezi mai jos Axiomatizarea PC), întrebarea dacă o secvență de formule într-un sistem axiomatic este o dovadă sau nu depinde numai de formulele care sunt luate ca axiome și de care sunt regulile pentru derivarea teoremelor din axiome și deloc de ceea ce înseamnă teoremele sau axiomele. Mai mult, un sistem neinterpretat dat este, în general, capabil să fie interpretat la fel de bine în mai multe moduri diferite; prin urmare, în studierea unui sistem neinterpretat, se studiază structura comună unei varietăți de sisteme interpretate. În mod normal, un logician care construiește un sistem pur formal are în vedere o interpretare specială, iar motivul său pentru construirea acestuia este credința că atunci când i se dă această interpretare, formulele sistemului vor putea exprima adevărate principii într-un anumit domeniu de gândire; dar, din motivele de mai sus, printre altele, el va avea de obicei grijă să descrie formulele și să precizeze regulile sistemului fără referire la interpretare și să indice ca o chestiune separată interpretarea pe care o are în minte.
multe dintre ideile folosite în expunerea logicii formale, inclusiv unele care sunt menționate mai sus, ridică probleme care aparțin filosofiei mai degrabă decât logicii în sine. Exemple sunt: care este analiza corectă a noțiunii de adevăr? Ce este o propoziție și cum este legată de propoziția prin care este exprimată? Există unele tipuri de raționamente solide care nu sunt nici deductive, nici inductive? Din fericire, este posibil să înveți să faci logică formală fără a avea răspunsuri satisfăcătoare la astfel de întrebări, la fel cum este posibil să faci matematică fără a răspunde la întrebări aparținând filozofiei matematicii, cum ar fi: numerele sunt obiecte reale sau construcții mentale?