Observações gerais
provavelmente a abordagem mais natural à lógica formal é através da ideia da validade de um argumento do tipo conhecido como dedutivo. Um argumento dedutivo pode ser mais ou menos caracterizado como aquele em que a reivindicação é feita de que alguns proposição (conclusão) segue com estrita necessidade de alguma outra proposição ou proposições (premissas)—i.e., que seria inconsistente ou auto-contraditório afirmar o local, mas negar a conclusão.
para que um argumento dedutivo seja capaz de estabelecer a verdade de sua conclusão, duas condições bastante distintas devem ser cumpridas: em primeiro lugar, a conclusão deve realmente seguir a partir das premissas—isto é, a dedução da conclusão das premissas deve ser logicamente correta—e, em segundo lugar, as próprias premissas devem ser verdadeiras. Um argumento que satisfaça ambas as condições é chamado de som. Destas duas condições, o lógico, enquanto tal, só se preocupa com a primeira; a segunda, a determinação da Verdade ou falsidade das premissas, é a tarefa de alguma disciplina especial ou de observação comum apropriada ao assunto do argumento. Quando a conclusão de um argumento é corretamente deduzível de suas premissas, a inferência das premissas à conclusão é considerada (dedutivamente) válida, independentemente de as premissas serem verdadeiras ou falsas. Outras formas de expressar o fato de que uma inferência é dedutivamente válido são para dizer que a verdade das premissas dá (ou daria) uma garantia absoluta da verdade da conclusão ou de que ele teria de envolver uma inconsistência lógica (como distinta de um mero erro de fato) para supor que as instalações eram verdadeiras mas a conclusão falsa.
as inferências dedutivas com as quais a lógica formal está envolvida são, como o nome sugere, aquelas para as quais a validade não depende de quaisquer características de seu assunto, mas de sua forma ou estrutura. Assim, as duas inferências (1) Cada cão é um mamífero. Alguns quadrúpedes são cães. ∴ Alguns quadrúpedes são mamíferos. e (2) Todo anarquista é um crente no amor livre. Alguns membros do partido do governo são anarquistas. ∴ Alguns membros do partido do governo são crentes no amor livre. diferem no assunto e, portanto, exigem procedimentos diferentes para verificar a verdade ou falsidade de suas premissas. Mas sua validade é assegurada pelo que eles têm em comum—ou seja, que o argumento em cada um é Da Forma(3) cada X é um Y. alguns Z são X’s. ∴ Alguns Z são Y’s.
linha (3) acima pode ser chamado de forma de inferência, e (1) e (2) são então instâncias dessa forma de inferência. As letras—X, Y e Z—in (3) marcam os locais onde podem ser inseridas expressões de um determinado tipo. Os símbolos utilizados para este fim são conhecidos como variáveis; seu uso é análogo ao do x em álgebra, que marca o lugar no qual um numeral pode ser inserido. Uma instância de uma forma de inferência é produzida pela substituição de todas as variáveis nela por expressões apropriadas (i.e., aquelas que fazem sentido no contexto) e por fazê-lo uniformemente (i.e., substituindo a mesma expressão onde a mesma variável recursa). A característica de (3) que garante que cada instância dela será válida é sua construção de tal maneira que toda maneira uniforme de substituir suas variáveis para tornar as premissas verdadeiras automaticamente torna a conclusão verdadeira também, ou, em outras palavras, que nenhuma instância dela pode ter premissas verdadeiras, mas uma falsa conclusão. Em virtude desta característica, a forma (3) é denominada uma forma de inferência válida. Em contraste, (4) cada X é um Y. alguns Z são Y’s. ∴ Alguns Z são X’s. não é uma forma de inferência válida, pois, embora exemplos dela possam ser produzidos em que as premissas e a conclusão são todas verdadeiras, exemplos dela também podem ser produzidos em que as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa—por exemplo, (5) cada cão é um mamífero. Algumas criaturas aladas são mamíferos. ∴ Algumas criaturas aladas são cães.
lógica Formal como um estudo está preocupado com formas de inferência ao invés de instâncias particulares delas. Uma de suas tarefas é discriminar entre formas de inferência válidas e inválidas e explorar e sistematizar as relações que existem entre as válidas.
intimamente relacionado com a ideia de uma forma de inferência válida é a de uma forma de proposição válida. Uma forma de proposição é uma expressão da qual as instâncias (produzidas como antes por substituições apropriadas e uniformes para variáveis) não são inferências de várias proposições para uma conclusão, mas sim proposições tomadas individualmente, e uma forma de proposição válida é uma para a qual todas as instâncias são proposições verdadeiras. A simple example is(6) Nothing is both an X and a non-X. Formal logic is concerned with proposition forms as well as with inferência forms. O estudo das formas de proposição pode, de fato, ser feito para incluir o das formas de inferência da seguinte forma: que as premissas de qualquer forma de inferência dada (tomadas em conjunto) sejam abreviadas por alfa (α) e sua conclusão por beta (β). Em seguida, a condição indicada acima, para a validade da inferência formulário “α, portanto β” equivale a dizer que nenhuma instância da proposição formulário “α e β” é verdadeira—por exemplo, a de que cada instância de proposição de formulário(7) Não ambos: α e β é verdadeira ou que a linha (7), totalmente explicitada, é claro, é válida a proposição de formulário. O estudo das formas proposições, no entanto, não pode ser igualmente acomodado sob o estudo das formas de inferência, e assim por razões de abrangência é usual considerar a lógica formal como o estudo das formas proposições. Como o manejo de proposições por um lógico é, em muitos aspectos, análogo ao manejo de fórmulas numéricas por um matemático, os sistemas que ele constrói são muitas vezes chamados de cálculo.
grande parte do trabalho de um lógico prossegue a um nível mais abstrato do que o da discussão anterior. Mesmo uma fórmula como (3) acima, embora não se referindo a qualquer assunto específico, contém expressões como “todo” e “é a”, que são pensadas como tendo um significado definido, e as variáveis são destinadas a marcar os lugares para expressões de um tipo particular (grosso modo, substantivos comuns ou nomes de classe). No entanto, é possível—e, para alguns fins, é essencial—estudar fórmulas sem lhes atribuir este grau de significância. A construção de um sistema de lógica, de fato, envolve dois processos distinguíveis: um consiste na criação de um aparelho simbólico—um conjunto de símbolos, regras para amarrá-los juntos em fórmulas, e regras para manipular essas fórmulas; o segundo consiste em ligar certos significados a esses símbolos e fórmulas. Se apenas o primeiro é feito, o sistema é dito ser desinterpretado, ou puramente formal; se o último é feito também, o sistema é dito ser interpretado. Esta distinção é importante, porque os sistemas de lógica acabam por ter certas propriedades independentemente de quaisquer interpretações que possam ser colocadas sobre eles. Um sistema axiomático da lógica pode ser tomado como um exemplo—isto é, um sistema no qual certas fórmulas não comprovadas, conhecidas como axiomas, são tomadas como pontos de partida, e outras fórmulas (teoremas) são provadas na força destas. Como aparecerá mais tarde( ver abaixo axiomatização do PC), a questão se uma sequência de fórmulas em um sistema axiomático é uma prova ou não depende apenas de quais fórmulas são tomadas como axiomas e sobre o que as regras são para derivar teoremas de axiomas, e não em tudo sobre o que os teoremas ou axiomas significam. Além disso, um dado sistema desinterpretado é em geral capaz de ser interpretado igualmente bem em uma série de maneiras diferentes; assim, ao estudar um sistema desinterpretado, está-se estudando a estrutura que é comum a uma variedade de sistemas interpretados. Normalmente um lógico que constrói um sistema puramente formal tem uma interpretação particular em mente, e seu motivo para construí – lo é a crença de que quando esta interpretação é dada a ele, as fórmulas do sistema será capaz de expressar verdadeiros princípios em algum campo do pensamento; mas, pelas razões acima, entre outras, ele geralmente terá o cuidado de descrever as fórmulas e declarar as regras do sistema sem referência à interpretação e para indicar como um assunto separado a interpretação que ele tem em mente.Muitas das ideias usadas na exposição da lógica formal, incluindo algumas que são mencionadas acima, levantam problemas que pertencem à filosofia e não à própria lógica. Exemplos são: Qual é a análise correta da noção de verdade? O que é uma proposição, e como ela está relacionada com a frase pela qual ela é expressa? Existem alguns tipos de raciocínio sólido que não são dedutivos nem indutivos? Felizmente, é possível aprender a fazer lógica formal sem ter respostas satisfatórias para tais questões, assim como é possível fazer matemática sem responder perguntas pertencentes à filosofia da matemática como: são números objetos reais ou construções mentais?