Allgemeine Beobachtungen
Der wahrscheinlich natürlichste Ansatz zur formalen Logik ist die Idee der Gültigkeit eines Arguments der als deduktiv bekannten Art. Ein deduktives Argument kann grob als eines charakterisiert werden, in dem die Behauptung aufgestellt wird, dass ein Satz (die Schlussfolgerung) mit strikter Notwendigkeit aus einem anderen Satz oder anderen Sätzen (den Prämissen) folgt — dh dass es inkonsistent oder widersprüchlich wäre, die Prämissen zu behaupten, aber die Schlussfolgerung zu leugnen.
Wenn es einem deduktiven Argument gelingen soll, die Wahrheit seiner Schlussfolgerung festzustellen, müssen zwei ganz verschiedene Bedingungen erfüllt sein: Erstens muss die Schlussfolgerung wirklich aus den Prämissen folgen — d. h. Die Deduktion der Schlussfolgerung aus den Prämissen muss logisch korrekt sein — und zweitens müssen die Prämissen selbst wahr sein. Ein Argument, das diese beiden Bedingungen erfüllt, wird als Ton bezeichnet. Von diesen beiden Bedingungen betrifft der Logiker als solcher nur die erste; die zweite, die Bestimmung der Wahrheit oder Falschheit der Prämissen, ist die Aufgabe einer besonderen Disziplin oder einer gemeinsamen Beobachtung, die dem Gegenstand des Arguments angemessen ist. Wenn die Schlussfolgerung eines Arguments korrekt aus seinen Prämissen abgeleitet werden kann, gilt die Schlussfolgerung aus den Prämissen zur Schlussfolgerung als (deduktiv) gültig, unabhängig davon, ob die Prämissen wahr oder falsch sind. Andere Möglichkeiten, die Tatsache auszudrücken, dass eine Schlussfolgerung deduktiv gültig ist, sind zu sagen, dass die Wahrheit der Prämissen eine absolute Garantie für die Wahrheit der Schlussfolgerung gibt (oder geben würde) oder dass es eine logische Inkonsistenz (im Gegensatz zu einem bloßen Fehler) beinhalten würde Tatsache) anzunehmen, dass die Prämissen wahr, aber die Schlussfolgerung falsch waren.
Die deduktiven Schlussfolgerungen, mit denen sich die formale Logik befasst, sind, wie der Name schon sagt, diejenigen, deren Gültigkeit nicht von irgendwelchen Merkmalen ihres Gegenstands abhängt, sondern von ihrer Form oder Struktur. Somit sind die beiden Schlussfolgerungen (1) Jeder Hund ist ein Säugetier. Einige Vierbeiner sind Hunde. ∴ Einige Vierbeiner sind Säugetiere. und(2) Jeder Anarchist glaubt an die freie Liebe. Einige Mitglieder der Regierungspartei sind Anarchisten. ∴ Einige Mitglieder der Regierungspartei glauben an die freie Liebe. unterscheiden sich im Gegenstand und erfordern daher unterschiedliche Verfahren, um die Wahrheit oder Falschheit ihrer Prämissen zu überprüfen. Ihre Gültigkeit wird jedoch durch das gewährleistet, was sie gemeinsam haben — nämlich, dass das Argument in jedem die Form hat (3) Jedes X ist ein Y. Einige Z sind X. ∴ Einige Z sind Y.
Die obige Zeile (3) kann als Inferenzform bezeichnet werden, und (1) und (2) sind dann Instanzen dieser Inferenzform. Die Buchstaben -X, Y und Z— in (3) markieren die Stellen, an denen Ausdrücke eines bestimmten Typs eingefügt werden können. Zu diesem Zweck verwendete Symbole werden als Variablen bezeichnet; ihre Verwendung ist analog zu der des x in der Algebra, die den Ort markiert, an dem eine Ziffer eingefügt werden kann. Eine Instanz einer Inferenzform wird erzeugt, indem alle darin enthaltenen Variablen durch geeignete Ausdrücke (dh solche, die im Kontext Sinn ergeben) ersetzt werden und dies einheitlich geschieht (dh indem derselbe Ausdruck überall dort ersetzt wird, wo dieselbe Variable erneut auftritt). Das Merkmal von (3), das garantiert, dass jede Instanz davon gültig ist, ist ihre Konstruktion in einer Weise, dass jede einheitliche Art und Weise, ihre Variablen zu ersetzen, um die Prämissen wahr zu machen, automatisch auch die Schlussfolgerung wahr macht, oder mit anderen Worten, dass keine Instanz davon wahre Prämissen haben kann, sondern eine falsche Schlussfolgerung. Aufgrund dieses Merkmals wird die Form (3) als gültige Inferenzform bezeichnet. Im Gegensatz dazu ist (4) Jedes X ein Y. Einige Z sind Y. ∴ Einige Z sind X. ist keine gültige Inferenzform, denn obwohl Instanzen davon erzeugt werden können, in denen Prämissen und Schlussfolgerungen alle wahr sind, können Instanzen davon auch erzeugt werden, in denen die Prämissen wahr sind, aber die Schlussfolgerung falsch ist — zB (5) Jeder Hund ist ein Säugetier. Einige geflügelte Kreaturen sind Säugetiere. ∴ Einige geflügelte Kreaturen sind Hunde.
Die formale Logik als Studie befasst sich eher mit Inferenzformen als mit bestimmten Fällen von ihnen. Eine seiner Aufgaben besteht darin, zwischen gültigen und ungültigen Inferenzformen zu unterscheiden und die Beziehungen zwischen gültigen zu untersuchen und zu systematisieren.
Eng verwandt mit der Idee einer gültigen Inferenzform ist die einer gültigen Satzform. Eine Satzform ist ein Ausdruck, dessen Instanzen (wie zuvor durch geeignete und einheitliche Ersetzungen von Variablen erzeugt) keine Rückschlüsse aus mehreren Sätzen auf eine Schlussfolgerung sind, sondern einzeln genommene Sätze, und eine gültige Satzform ist eine, für die alle Instanzen wahre Sätze sind. Ein einfaches Beispiel ist (6) Nichts ist sowohl ein X als auch ein Nicht-X. Die formale Logik befasst sich sowohl mit Satzformen als auch mit Inferenzformen. Das Studium der Satzformen kann in der Tat so gemacht werden, dass es die der Inferenzformen auf folgende Weise einschließt: Die Prämissen einer gegebenen Inferenzform (zusammengenommen) seien durch alpha (α) und ihre Schlussfolgerung durch Beta (β) abgekürzt. Dann läuft die obige Bedingung für die Gültigkeit der Folgerungsform „α, also β“ darauf hinaus zu sagen, dass kein Fall der Satzform „α und nicht-β“ wahr ist — d.h., dass jeder Fall der Satzform(7) Nicht beides: α und nicht-β wahr ist — oder dass die Zeile (7), natürlich vollständig buchstabiert, eine gültige Satzform ist. Das Studium der Satzformen kann jedoch nicht in ähnlicher Weise unter das Studium der Inferenzformen gestellt werden, und so ist es aus Gründen der Vollständigkeit üblich, die formale Logik als das Studium der Satzformen zu betrachten. Da der Umgang eines Logikers mit Satzformen in vielerlei Hinsicht dem Umgang eines Mathematikers mit numerischen Formeln entspricht, werden die von ihm konstruierten Systeme oft als Kalküle bezeichnet.
Ein großer Teil der Arbeit eines Logikers verläuft auf einer abstrakteren Ebene als die der vorstehenden Diskussion. Sogar eine Formel wie (3) oben, obwohl sie sich nicht auf einen bestimmten Gegenstand bezieht, enthält Ausdrücke wie „every“ und „is a“, von denen angenommen wird, dass sie eine bestimmte Bedeutung haben, und die Variablen sollen die Orte für Ausdrücke einer bestimmten Art markieren (grob gesagt, allgemeine Substantive oder Klassennamen). Es ist jedoch möglich — und für einige Zwecke ist es unerlässlich —, Formeln zu studieren, ohne ihnen auch nur diesen Grad an Sinnhaftigkeit beizumessen. Die Konstruktion eines logischen Systems umfasst in der Tat zwei unterscheidbare Prozesse: die eine besteht darin, einen symbolischen Apparat einzurichten — eine Reihe von Symbolen, Regeln für die Aneinanderreihung dieser zu Formeln und Regeln für die Manipulation dieser Formeln; Die zweite besteht darin, diesen Symbolen und Formeln bestimmte Bedeutungen zuzuordnen. Wenn nur ersteres getan wird, wird das System als uninterpretiert oder rein formal bezeichnet; Wenn letzteres ebenfalls getan wird, wird das System als interpretiert bezeichnet. Diese Unterscheidung ist wichtig, weil sich herausstellt, dass logische Systeme bestimmte Eigenschaften haben, ganz unabhängig von Interpretationen, die ihnen auferlegt werden können. Ein axiomatisches System der Logik kann als ein Beispiel genommen werden – d. h. ein System, in dem bestimmte unbewiesene Formeln, bekannt als Axiome, als Ausgangspunkte genommen werden, und weitere Formeln (Theoreme) auf der Stärke von diesen bewiesen werden. Wie später erscheinen wird (siehe unten Axiomatisierung von PC), hängt die Frage, ob eine Folge von Formeln in einem axiomatischen System ein Beweis ist oder nicht, ausschließlich davon ab, welche Formeln als Axiome angenommen werden und welche Regeln für die Ableitung von Theoremen aus Axiomen gelten, und überhaupt nicht davon, was die Theoreme oder Axiome bedeuten. Darüber hinaus ist ein gegebenes uninterpretiertes System im Allgemeinen in der Lage, auf verschiedene Arten gleich gut interpretiert zu werden; Daher studiert man beim Studium eines uninterpretierten Systems die Struktur, die einer Vielzahl von interpretierten Systemen gemeinsam ist. Normalerweise hat ein Logiker, der ein rein formales System konstruiert, eine bestimmte Interpretation im Sinn, und sein Motiv für die Konstruktion ist der Glaube, dass die Formeln des Systems, wenn ihm diese Interpretation gegeben wird, wahre Prinzipien in einem bestimmten Bereich ausdrücken können des Denkens; aber unter anderem aus den oben genannten Gründen wird er normalerweise darauf achten, die Formeln zu beschreiben und die Regeln des Systems ohne Bezug auf die Interpretation anzugeben und die Interpretation, die er beabsichtigt, als separate Angelegenheit anzugeben.
Viele der Ideen, die in der Darstellung der formalen Logik verwendet werden, einschließlich einiger, die oben erwähnt wurden, werfen Probleme auf, die eher zur Philosophie als zur Logik selbst gehören. Beispiele sind: Was ist die richtige Analyse des Wahrheitsbegriffs? Was ist ein Satz und wie hängt er mit dem Satz zusammen, mit dem er ausgedrückt wird? Gibt es einige Arten von vernünftigem Denken, die weder deduktiv noch induktiv sind? Glücklicherweise ist es möglich zu lernen, formale Logik zu betreiben, ohne zufriedenstellende Antworten auf solche Fragen zu haben, genauso wie es möglich ist, Mathematik zu betreiben, ohne Fragen zu beantworten, die zur Philosophie der Mathematik gehören, wie zum Beispiel: Sind Zahlen reale Objekte oder mentale Konstrukte?