(s. Finnöy, saari lähellä Stavangeria, Norja, 5. elokuuta 1802; D.Froland, Norja, 6. huhtikuuta 1829)
matematiikka.
Abelin isä Sören Georg Abel oli luterilainen pappi ja itse papin poika. Hän oli lahjakas ja erittäin kunnianhimoinen teologi, joka opiskeli Kööpenhaminan yliopistossa, joka oli tuohon aikaan ainoa tällainen laitos Isossa-Britanniassa, Tanska-Norjassa. Hän oli mennyt naimisiin rikkaan kauppiaan ja laivanvarustajan tyttären Ane Marie Simonsonin kanssa Risörin kaupungissa etelärannikolla. Finnöy oli pastori Abelin ensimmäinen seurakunta; se oli pieni ja uurastava, käsittäen useita saaria. Pari sai seitsemän lasta, kuusi poikaa ja tyttären; Niels Henrik oli heidän toinen lapsensa.
vuonna 1804 Sören Georg Abel nimitettiin isänsä seuraajaksi Gjerstadin pitäjässä lähellä Risöriä. Norjan poliittinen tilanne oli kireä. Koska maa oli liittoutunut Tanskan kanssa, se oli ajautunut Napoleonin sotiin Ranskan puolelle, ja brittien saarto rannikolla aiheutti laajan nälänhädän. Pastori Abel oli merkittävä kansallismielisessä liikkeessä ja työskenteli erillisten norjalaisten instituutioiden—erityisesti yliopiston ja kansallisen pankin—perustamisen puolesta, ellei jopa suoranaisen itsenäisyyden puolesta. Kielin rauhansopimuksen solmimisen yhteydessä Tanska luovutti Norjan Ruotsille. Norjalaiset kapinoivat ja kirjoittivat oman perustuslakinsa, mutta Bernadotten johtamia ruotsalaisia vastaan käydyn lyhyen ja hyödyttömän sodan jälkeen heidän oli pakko pyrkiä aselepoon. Liitto Ruotsin kanssa hyväksyttiin, ja Abelin isästä tuli yksi ylimääräisen Stortingin jäsenistä, joka kutsuttiin syksyllä 1814 kirjoittamaan uuden perustuslain välttämätön tarkistus.
Niels Henrik Abel veljineen sai ensimmäisen opetuksensa isältään, mutta vuonna 1815 Abel ja hänen vanhempi veljensä lähetettiin Katedraalikouluun Christianiaan (Oslo). Tämä oli vanha koulu, johon monet maakunnan viranomaiset lähettivät lapsensa; joitakin apurahoja oli tarjolla. Katedraalikoulu oli ollut erinomainen, mutta oli sen jälkeen alamaissa, koska suurin osa sen hyvistä opettajista oli ottanut vastaan virkoja uudessa yliopistossa, joka aloitti opetuksen vuonna 1813.
Abel oli kotoa lähtiessään vain kolmetoistavuotias, ja näyttää todennäköiseltä, että heikkenevä perhe-elämä joudutti hänen lähtöään. Parin ensimmäisen vuoden aikana hänen arvosanansa olivat vain tyydyttäviä; sitten hänen työnsä laatu laski. Hänen veljensä kävi vielä huonommin; hän alkoi osoittaa merkkejä mielisairaudesta ja lopulta hänet piti lähettää kotiin.
vuonna 1817 koulussa tapahtui tapahtuma, jonka oli määrä muuttaa Abelin elämä. Matematiikan opettaja kohteli kaltoin yhtä oppilaista, joka kuoli pian tämän jälkeen, mahdollisesti rangaistuksen seurauksena. Opettaja erotettiin summittaisesti ja hänen paikkansa otti Bernt Michael Holmboe, joka oli vain seitsemän vuotta Abelia vanhempi. Holmboe toimi myös tähtitieteen professorin ja yliopiston johtavan tiedemiehen Christoffer Hansteenin assistenttina.
Holmboelta ei kestänyt kauan löytää nuoren Abelin poikkeuksellista kykyä matematiikassa. Hän aloitti antamalla hänelle erityisiä ongelmia ja suosittelemalla kirjoja, jotka eivät kuulu koulun opetussuunnitelmaan. Tämän jälkeen kaksikko alkoi tutkia yhdessä Eulerin calculus-tekstejä ja myöhemmin ranskalaisten matemaatikkojen, erityisesti Lagrangen ja Laplacen teoksia. Aabel edistyi niin nopeasti, että hänestä tuli pian todellinen opettaja. From muistikirjat säilynyt kirjasto, University of Oslo yksi näkee, että jopa näinä alkuaikoina hän oli jo erityisen kiinnostunut algebrallinen yhtälö teoriassa. Kun hän lopetti koulun, hän oli perehtynyt useimpiin tärkeisiin matemaattiseen kirjallisuuteen. Holmboe oli niin iloinen, että matemaattinen nero hän oli löytänyt, että rehtori koulun tehnyt hänestä maltillinen hänen lausuntoja Abel, record book. Mutta professorit yliopistossa olivat hyvin tietoa Holmboe noin lupaava nuori mies ja teki hänen henkilökohtainen tuttavuus. Hansteenin lisäksi, jotka myös opettivat sovellettua matematiikkaa, oli vain yksi matematiikan professori. Sören Rasmussen, katedraalikoulun entinen opettaja. Rasmussen, ystävällinen mies, ei ollut tuottelias oppinut; hänen aikansa kului pitkälti hallituksen hänelle antamien tehtävien vuoksi, erityisesti hänen toimiessaan uuden Norjan keskuspankin hallinnoijana.
viimeisenä kouluvuotenaan Abel hyökkäsi nuoruuden tarmolla ja säädyttömyydellä kvintisen yhtälön ratkaisuongelmaa vastaan. Tämä ongelma oli ollut erinomainen, koska päivinä del Ferro, Tartaglia, Cardano, ja Ferrari ensimmäisellä puoliskolla kuudestoista luvulla. Abel uskoi, että hän oli onnistunut löytämään ratkaisun muodon, mutta Norjassa ei ollut ketään, joka olisi kyennyt ymmärtämään hänen väitteitään, eikä ollut mitään tieteellistä aikakauslehteä, jossa ne voitaisiin julkaista. Hansteen välitti paperin tanskalaiselle matemaatikolle Ferdinand Degenille ja pyysi sen julkaisemista Tanskan Akatemiassa.
Degen ei löytänyt argumenteista mitään vikaa, vaan pyysi Abelia havainnollistamaan menetelmäänsä esimerkillä. Degen myös totesi aihe hieman steriili ja ehdotti, että Abel kääntää hänen huomionsa aihe ” jonka kehittäminen olisi suurimmat seuraukset analyysin ja mekaniikka. Viittaan elliptisiin transsendentaaleihin . Vakava tutkija, jolla on sopiva pätevyys tällaiseen tutkimukseen, ei suinkaan rajoittuisi näiden merkittävimpien toimintojen moniin kauniisiin ominaisuuksiin, mutta voisi löytää Salmen Magalhãesin, joka johtaa laajoihin valtaviin analyyttisiin valtameriin” (kirje Hansteenille).
Abel alkoi rakentaa esimerkkejään viidennen asteen yhtälön ratkaisemiseksi, mutta huomasi tyrmistyksekseen, ettei hänen menetelmänsä ollut oikea. Hän myös seurasi Degen ehdotus noin ellipsinmuotoinen transcendentals, ja on todennäköistä, että parin vuoden kuluessa hän oli pääasiassa valmistunut hänen teorian ellipsinmuotoinen toimintoja.
vuonna 1818 pastori Abel valittiin uudelleen Stortingiin epäonnistuneen tarjouksen jälkeen vuonna 1816. Hänen poliittinen uransa päättyi kuitenkin tragediaan. Hän esitti väkivaltaisia perusteettomia syytteitä muita edustajia vastaan ja häntä uhkasi virkasyyte. Tämä yhdessä hänen juopumuksensa kanssa teki hänestä lehdistön perän. Hän palasi kotiin häpeällisenä, pettyneenä miehenä. Sekä hän että hänen vaimonsa kärsivät alkoholismista, ja olot pappilassa ja seurakunnassa muuttuivat skandaalimaisiksi. Sitä pidettiin yleisesti helpotuksena, kun hän kuoli vuonna 1820. Hänen leskensä jäi hyvin ahtaisiin oloihin, ja hänen pieni eläkkeensä oli hädin tuskin riittävä elättämään hänet ja hänen monet lapsensa.
pennitön Abel tuli yliopistoon syksyllä 1821. Hän sai ilmaisen huoneen yliopiston asuntolasta ja sai luvan jakaa sen pikkuveljensä Pederin kanssa. Mutta uusi toimielin ei ollut fellowship varoja, ja jotkut professorit otti epätavallinen toimenpide tukea nuori matemaatikko pois omia palkkojaan. Hän oli vieraana heidän taloissaan ja ihastui erityisesti Hansteenin kotiin sekä rouva Hansteeniin ja tämän sisariin.
Abelin ensimmäinen tehtävä yliopistossa oli täyttää alustavan tutkinnon, Candidatus Philosophiae, vaatimukset. Kun tämä oli saavutettu, vuoden kuluttua, Abel oli täysin omasta opinnoissaan. Ei ollut edistyneitä kursseja matematiikan ja fysikaalisten tieteiden, mutta tämä ei näytä olleen haitta; kirjeen Pariisista hieman myöhemmin hän totesi, että hän oli lukenut lähes kaiken matematiikan, tärkeää tai merkityksetön.
hän omisti aikansa edistyneelle tutkimukselle ja hänen ponnistelunsa saivat voimakkaan sysäyksen, kun Hansteen aloitti tieteellisen aikakausjulkaisun, aikakauslehden Naturvidenskabenille. Vuonna 1823 tässä lehdessä julkaistiin Abelin ensimmäinen artikkeli, norjaksi, a study of functional equations. Matemaattisesti se ei ollut tärkeää. eikä hänen toinen pieni tutkielmansa. Lehden tilaajille oli kuitenkin luvattu suosittu arvostelu, ja Hansteen, luultavasti kritiikin jälkeen, katsoi velvollisuudekseen pyytää anteeksi näiden lehtien luonnetta: ”näin ollen uskon, että lehden tulisi tieteellisten aineistojen lisäksi myös edistää niiden analysointiin tarvittavia välineitä. Meidän ansioksemme on se, että olemme antaneet oppineelle yleisölle tilaisuuden tutustua tämän lahjakkaan ja taitavan kirjailijan kynästä valmistettuun teokseen” (aikakauslehti, 1 ). Abelin seuraava paperi, ”Opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp of bestemte Integraler” (”ratkaisu joidenkin ongelmien avulla Definite Integrals”), on tärkeä matematiikan historiassa, koska se sisältää ensimmäisen ratkaisun integraaliyhtälön. Paperi, joka meni huomaamatta tuolloin, osittain siksi, että se oli Norja, käsittelee mekaanista ongelmaa liikkeen massa kohta, käyrä vaikutuksen alaisena vetovoimalaki. Talvella 1822-1823 Abel sävelsi myös pidemmän teoksen funktionaalisten ilmaisujen yhdistämisestä. Paperi toimitettiin yliopistokollegiolle siinä toivossa, että kyseinen elin avustaisi sen julkaisemisessa. käsikirjoitus on kadonnut, mutta vaikuttaa todennäköiseltä, että osa siinä saaduista tuloksista sisältyy joihinkin Abelin myöhempiin papereihin.
alkukesästä 1823 Abel sai professori Rasmussenilta lahjaksi 100 taaleria rahoittaakseen matkan Kööpenhaminaan tapaamaan Degeniä ja muita tanskalaisia matemaatikkoja. Hänen kirjeet Holmboe paljastaa matemaattinen inspiraatiota, että hän sai. Hän asui setänsä talossa ja tutustui täällä tulevaan kihlattuunsa Christine Kempiin.
palattuaan Osloon Abel otti jälleen esille kysymyksen kvinttisen yhtälön ratkaisusta. Tällä kertaa hän omaksui päinvastaisen näkemyksen ja onnistui ratkaisemaan vuosisatoja vanhan ongelman todistamalla yleisen viidennen eli korkeamman asteen yhtälön ratkaisua edustavan radikaalin ilmaisun mahdottomuuden. Abel ymmärsi täysin tuloksensa tärkeyden, joten hän antoi julkaista sen omalla kustannuksellaan paikallisen kirjanpainajan toimesta. Saavuttaakseen suuren yleisön hän kirjoitti sen ranskaksi: ”Thesis on algebrallinen yhtälöt, jossa osoitamme, että on mahdotonta ratkaista yleisen yhtälön viidennen asteen.”Kustannusten säästämiseksi koko Lehtinen pakattiin kuuteen sivuun. Tästä johtunut lyhyys teki sen todennäköisesti vaikeaksi ymmärtää; Joka tapauksessa kukaan ulkomaisista matemaatikoista-mukaan lukien suuri C. F. Gauss, jolle jäljennös lähetettiin.
oli käynyt selväksi, ettei Abel voinut enää elää professorien tuella. Hänen taloudellisia ongelmiaan oli lisännyt kihlaus Christine Kempin kanssa. joka oli tullut Norjaan kotiopettajaksi Oslon lähellä asuvan perheen lapsille.
Abel haki matka-apurahaa, ja joidenkin viivytysten jälkeen hallitus päätti, että Abel saisi pienen stipendin kielten opiskeluun yliopistossa valmistaakseen häntä ulkomaanmatkoihin. Tämän jälkeen hänen oli määrä saada 600 Taalerin apuraha kahden vuoden ulkomaiseen opiskeluun.
Abel oli pettynyt viiveeseen, mutta tutki kuuliaisesti kieliä, erityisesti ranskaa, ja käytti aikansa valmistellakseen huomattavan määrän ulkomaisille matemaatikoille esiteltäviä papereita. Kesällä 1825 hän lähti yhdessä neljän ystävänsä kanssa. kaikkien tarkoituksena oli myös valmistautua tulevaan tieteelliseen uraan: yhdestä heistä tuli myöhemmin lääketieteen professori ja kolmesta muusta geologi. Abel ystävät kaikki suunnitellut mennä Berliiniin, kun taas Abel, kun Hansteen neuvoja, oli viettää aikaa Pariisissa, sitten maailman tärkein keskus matematiikka. Abel pelkäsi kuitenkin yksinäisyyttä ja päätti myös lähteä Berliiniin, vaikka tiesi hyvin joutuvansa suojelijansa epäsuosioon.
Abelin mielenmuutos osoittautui mitä onnekkaimmaksi päätökseksi. Kulkiessaan Kööpenhaminan, Abel oppinut, että Degen oli kuollut, mutta hän sai kirjeen suosituksen yksi muiden Tanska matemaatikot Privy neuvoston August Leopold Crelle. Crelle oli erittäin vaikutusvaltainen insinööri, erittäin kiinnostunut matematiikasta, vaikka ei itse vahva matemaatikko.
kun Abel ensimmäisen kerran kehotti Crelleä, hänellä oli vaikeuksia saada itsensä ymmärretyksi. Mutta jonkin ajan kuluttua Crelle huomasi nuoren vierailijansa epätavalliset ominaisuudet. Kaksikosta tuli elinikäiset ystävät. Abel esitteli hänelle kopion hänen pamfletti, quintic yhtälö, mutta Crelle tunnusti, että se oli käsittämätön hänelle ja suositteli, että Abel writhe laajennettu versio siitä. He puhuivat matematiikan huonosta tilasta Saksassa. Vuonna kirjeen Hansteen, päivätty Berliinistä, 5 joulukuu 1825, Abel kirjoitti:
kun olen ilmaissut yllätys siitä, että ei ollut olemassa matemaattisia lehdessä, kuten Ranskassa, hän sanoi, että hän oli pitkään aikonut muokata yksi, ja olisi tällä hetkellä tuoda hänen suunnitelmansa toteutukseen. Tämä projekti on nyt järjestetty, ja se on suureksi ilokseni, sillä saan paikan, missä voin painattaa joitakin kirjoituksiani. Olen jo valmistellut niistä neljä, jotka näkyvät ensimmäisessä numerossa.
Journal für die reine und angewandte Mathematik eli Crellen lehti oli 1800-luvun johtava saksalainen matemaattinen aikakausjulkaisu. Ensimmäinen nide yksin sisältää seitsemän papereita Abel ja seuraavat määrät sisältävät paljon enemmän, useimmat niistä preeminent merkitystä historian matematiikka. Niistä ensimmäinen on laajennettu versio todiste siitä, että on mahdotonta ratkaisu yleisen quintic yhtälö radikaalit. Tässä Abel kehittää tarvittavat algebrallinen Tausta, mukaan lukien keskustelua algebrallinen kentän laajennuksia. Abel ei ollut tällä hetkellä tietoinen siitä, että hänellä oli edeltäjä, italialainen matemaatikko Paolo Ruffini. Mutta postuumi paperin yhtälöt, jotka ovat ratkaistavissa radikaalit Abel valtiot: ”Ainoa ennen minua, jos en ole väärässä, joka on yrittänyt todistaa algebrallisen ratkaisun yleisten yhtälöiden mahdottomuudesta on matemaatikko Ruffini, mutta hänen paperinsa on niin monimutkainen, että on hyvin vaikea arvioida hänen argumenttiensa oikeellisuutta. Minusta se ei ole aina tyydyttävää.”Tulosta kutsutaan yleensä Abelin-Ruffinin lauseeksi.
Abelin lähdettyä Oslosta tapahtui tapahtuma, joka aiheutti hänelle paljon huolta. Rasmussen oli pitänyt matematiikan professuuriaan liian työläänä, kun se yhdistettiin hänen julkisiin tehtäviinsä. Hän erosi, ja pian sen jälkeen tiedekunta äänesti suositella, että Holmboe nimitetään täyttämään vapautunut virka. Abelin norjalaiset ystävät pitivät tekoa erittäin epäoikeudenmukaisena, ja Abel itse luultavasti ajatteli samoin. Siitä huolimatta hän kirjoitti entiselle opettajalleen lämpimän onnittelukirjeen, ja he pysyivät hyvinä ystävinä. Mutta on ilmeistä, että tästä hetkestä lähtien Abel oli huolissaan tulevaisuudestaan ja lähestyvästä avioliitostaan; hänellä ei ollut mitään tieteellistä asemaa näköpiirissä kotimaassaan.
Abel osallistui talvella Berliinissä Crellen lehteen; niistä merkittäviä papers ovat yksi yleistys, binominen kaava ja toinen integrointi neliöjuuren lausekkeita. Mutta yksi hänen tärkeimmistä matemaattisia huolenaiheita oli puute stringency contemporary matematiikka. Hän mainitsi sen toistuvasti kirjeissä Holmboe. Yhdessä näistä, päivätty 16 tammikuu 1826, hän kirjoitti:
silmäni ovat avautuneet mitä yllättävimmällä tavalla. Jos hyvin yksinkertaisimpia tapauksia ei oteta huomioon, matematiikassa ei ole yhtäkään ääretöntä sarjaa, jonka summa on määritetty tiukasti. Toisin sanoen matematiikan tärkeimmät osat ovat vailla pohjaa. On totta, että suurin osa siitä on voimassa, mutta se on hyvin yllättävää. Minun on vaikea löytää syytä siihen, erittäin mielenkiintoinen ongelma.
tämän kamppailun tulos oli hänen klassinen tutkielmansa potenssisarjasta, joka sisältää monia yleisiä teoreemoja ja myös sovellutuksena binomisarjan summan tiukan määrittämisen mielivaltaisille reaalisille tai kompleksisille eksponenteille.
kevättalvella 1826 Abel katsoi velvollisuudekseen jatkaa matkaansa alkuperäiseen määränpäähänsä Pariisiin. Crelle oli luvannut mukana häntä, ja matkalla he aikoivat pysähtyä Göttingen vierailla Gauss. Valitettavasti liike-elämän paine esti Crelleä lähtemästä Berliinistä. Samaan aikaan Abelin norjalaiset ystävät suunnittelivat geologista tutkimusmatkaa Keski-Euroopan halki, ja jälleen haluten tulla erotetuksi heistä hän liittyi ryhmään. He matkustivat linja-autoilla läpi Böömin, Itävallan, Pohjois-Italian ja Alppien. Abel pääsi Pariisiin vasta heinäkuussa, vähävaraisena kalliin matkan jälkeen.
Pariisin vierailu osoittautui pettymykseksi. Yliopiston lomat oli juuri alkanut, kun Abel saapui, palasi, hän totesi, että ne olivat syrjässä ja vaikea lähestyä; se oli vain ohimennen, että hän tapasi Legendren, jonka suurin kiinnostus hänen vanhuus oli ellipsinmuotoinen integrals, Abel oma erikoisuus. For presentation to the French Academy of Sciences Abel oli varattu paperin, että hän katsoi hänen mestariteos. Se käsitteli tietyn algebrallisen funktion integraalien summaa. Abelin lauseen mukaan mikä tahansa tällainen summa voidaan ilmaista näiden integraalien kiinteänä lukuna p, ja integraatioargumentit ovat alkuperäisten argumenttien algebrallisia funktioita. Minimiluku p on algebrallisen funktion suku, ja tämä on tämän perusmäärän ensimmäinen esiintyminen. Abelin lause on laaja yleistys Eulerin relaatiosta elliptisille integraaleille.
Abel vietti ensimmäiset kuukaudet Pariisissa saattaen päätökseen suuren muistelmansa; se on yksi hänen pisimmistä papereistaan ja sisältää laajan teorian sovelluksineen. Se esiteltiin tiedeakatemialle 30. lokakuuta 1826 nimellä ”Mémoire sur une propriété générale d’ une classe trés-étendue de fonctions transcendantes.”Cauchy ja Legendre nimitettiin erotuomareiksi, Cauchyn ollessa puheenjohtaja. Joukko nuoria miehiä oli saanut nopeasti tunnustusta, kun Akatemia oli hyväksynyt heidän teoksensa, ja Abel odotti erotuomarien raporttia. Mitään selontekoa ei kuitenkaan tullut, vaan se julkaistiin vasta, kun Aabelin kuolema pakotti sen ilmestymään. Cauchyn vaikuttaa olleen syyllinen; hän väitti myöhemmin, että käsikirjoitus oli lukukelvoton.
Abelin kaksi seuraavaa kuukautta Pariisissa olivat synkkiä; hänellä oli vähän rahaa ja vähän tuttuja. Hän tapasi P. G. L. Dirichlet ’ n, hänen nuorempi kolme vuotta ja jo tunnettu matemaatikko, kautta paperin Akatemian sponsoroima Legendre. Toinen tuttava oli Frédéric Saigey, toimittaja, scientific revue Ferrusac ’s Bulletin, jolle Abel kirjoitti muutamia artikkeleita, erityisesti hänen omia papereita Crelle’ s Journal. Joulun jälkeen hän käytti viimeiset varansa maksaakseen matkansa Berliiniin.
pian Berliiniin paluunsa jälkeen. Aabel sairastui; hän näyttää sitten kärsinyt ensimmäisen kohtauksen tuberkuloosin, joka oli myöhemmin vaatia hänen elämänsä. Hän lainasi Holmboelta rahaa, ja Crelle luultavasti auttoi häntä. Abel kaipasi palata Norjaan, mutta tunsi pakko jäädä ulkomaille, kunnes hänen apuraha aikavälillä oli päättynyt. Crelle yritti pitää hänet Berliinissä, kunnes hän voisi löytää kantaa hänelle, Saksa yliopisto; sillä välin hän tarjosi hänelle editorship hänen lehdessä.
Abel työskenteli uutterasti uuden paperin parissa: ”Recherches sur les fonctions elliptiques.”hänen laajin julkaisunsa (125 sivua, Oeuvres complètes). Tässä työssä hän radikaalisti muuttanut teorian ellipsinmuotoinen integrals teorian ellipsinmuotoinen tehtäviä käyttämällä niiden käänteistä tehtäviä, jotka vastaavat kaikkein alkeis tapauksessa kaksinaisuuden
ellipsinmuotoinen tehtäviä siten tullut laaja ja luonnollinen yleistys, trigonometriset tehtävät; vanavedessä Abel työn ne olivat muodostaa yksi suosikki tutkimusaiheita matematiikan aikana yhdeksästoista luvulla. Abel oli jo kehittänyt suurimman osan teoriasta opiskelijana Oslossa, joten hän pystyi esittämään teorian ellipsinmuotoinen toimintoja, joilla on suuri rikkaus yksityiskohtia, mukaan lukien kaksinkertainen jaksotus, laajennuksia ääretön sarja ja tuotteita, ja lisäksi teoreemojen. Teoria johti lausekkeet tehtäviä useita argumentti kanssa samanaikaisesti määrittäminen yhtälöt murto-argumentteja ja niiden ratkaisu radikaalit, paljon sillä tavalla, että Gauss oli käsitelty syklotomisia yhtälöt: Abel n kirjeet Holmboe (Pariisista joulukuussa 1826 ja Berliinistä 4 päivänä maaliskuuta 1827) osoittavat, että hän oli erityisen kiehtonut määrittämistä ehto, joka lemniscate on jaollinen yhtä suureen osaan avulla kompassi ja hallitsija, analogiset Gauss ’ s rakentamiseen säännöllisesti polygons. Viimeinen osa käsittelee niin sanottua kompleksisen kertolaskun teoriaa, joka myöhemmin oli niin tärkeä algebrallisessa lukuteoriassa.
Abel palasi Osloon 20. toukokuuta 1827 todetakseen, että tilanne kotona oli niin synkkä kuin hän oli pelännyt. Hänellä ei ollut mitään asemaa näköpiirissä, ei yhteyttä, ja runsaasti velkoja. Hänen hakemus on hänen fellowship pidennetty oli kääntyi alas Department of Finance, mutta yliopisto rohkeasti myönnetty hänelle pieni stipendin pois sen niukka varoja. Tätä toimintaa kritisoi osasto, joka varasi oikeuden siihen, että summa vähennetään hänen mahdollisesti saamastaan tulevasta palkasta.
Abelin kihlattu löysi uuden työpaikan Abelin perheen ystävien, Frolandissa lähellä Arendalia sijainneen Ruukin omistajan perheen luota. Syksyn aikana Abel hankki elantonsa Oslossa opettamalla koulupoikia ja luultavasti ystäviensä avulla . Uutenavuotena tilanne kirkastui. Geomagneettisten tutkimusten uranuurtaja Hansteen sai kahdeksi vuodeksi suuren apurahan maapallon magneettikentän tutkimiseen tutkimattomassa Siperiassa. Tällä välin Abelista tuli hänen sijaisensa sekä yliopistossa että Norjan sotilasakatemiassa.
”Recherchesin” ensimmäinen osa julkaistiin Crellen lehdessä syyskuussa 1827, ja Abel sai toisen osan valmiiksi talven aikana. Hän asui eristyksissä Oslossa; ei ollut paketti postin aikana talvella, ja hän ei ollut inkling edun hänen memoir oli luonut keskuudessa Euroopan matemaatikot. Hän ei myöskään tiennyt, että kilpailija oli ilmestynyt alalla ellipsinmuotoinen toimintoja, kunnes alkuvuodesta 1828, kun Hansteen näytti hänelle syyskuun kysymys, Astronomische Nachrichten. Tässä lehdessä nuori saksalainen matemaatikko K. G. J. Jacobi ilmoitti ilman todisteita joistakin ellipsinmuotoisten integraalien muunnosteoriaa koskevista tuloksista. Abel lisäsi kiireesti ”Recherchesin” toisen osan käsikirjoitukseen huomautuksen, josta käy ilmi, miten Jacobin tulokset olivat seurausta hänen omastaan.
Abel oli hyvin tietoinen siitä, että kisa oli käsillä. Hän keskeytti suuren paperin teorian yhtälöt, jotka oli määrä sisältää määrittämistä kaikki yhtälöt, jotka voidaan ratkaista radikaalit: osa, joka on julkaistu sisälsi teorian niistä yhtälöt, jotka ovat nyt tunnetaan Abelin. Hän kirjoitti, nopeasti peräkkäin, useita papereita ellipsinmuotoinen toimintoja. Ensimmäinen oli ”Solution d’ un probleme général concernant la transformation des fonctions elliptiques.”Tämä, hänen suora vastauksensa Jacobille, julkaistiin Astronomische Nachrichten-lehdessä; muut ilmestyivät Crellen lehdessä. Lisäksi Abel laati kirjapituisen muistelmateoksen ”Précis d’ une théorie des fonctions elliptiques”, joka julkaistiin hänen kuolemansa jälkeen. Jacobi, toisaalta, kirjoitti vain lyhyitä ilmoituksia, jotka eivät paljasta hänen menetelmiä, nämä olivat varattu hänen teoksensa, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
varhaisesta elliptisten funktioiden teoriasta on kirjoitettu paljon. Ei näytä olevan vähän epäilystäkään siitä, että Abel oli hallussaan ajatuksia useita vuosia ennen Jacobi. On the other hand, se on myös vakiintunut tosiasia, että Gauss, vaikka julkaisemalla mitään, oli löytänyt periaatteet ellipsinmuotoinen toimintoja kauan ennen joko Abel tai Jacobi.
eurooppalaiset matemaatikot seurasivat kiinnostuneina kahden nuoren matemaatikon välistä kilpailua. Legendre huomasi Jacobin ilmoitukset ja sai häneltä myös kirjeen. Ranskan akatemian kokouksessa marraskuussa 1827 hän kehui uutta matemaattista tähteä; puhe toistettiin sanomalehdissä ja Legendre lähetti klippauksen Jacobille. Vastauksessaan Jacobi kiitti Abelin ”Recherches” – teosta ja sen yleisiä tuloksia. Legendre vastasi: ”näiden teosten kautta te kaksi sijoitetaan luokan ennen analyytikot aikamme.”Hän myös ilmaisi pettymyksensä Jacobin julkaisutapaan ja oli ärtynyt, kun Jacobi tunnusti, että saadakseen joitakin hänen tuloksistaan hän oli joutunut turvautumaan Abelin paperiin. Näihin aikoihin myös Abel aloitti kirjeenvaihdon Legendren kanssa ja vuodatti hänelle ajatuksiaan.
kaikki, mitä eurooppalaiset matemaatikot tiesivät Abelin tilasta Norjassa, oli se, että hänellä oli vain väliaikainen asema, ja hän oli äskettäin ollut pakotettu opettamaan koulupoikia saadakseen elantonsa. Tärkein lähde heidän tietonsa oli Crelle, jotka jatkuvasti käyttää hänen vaikutusvaltaansa yrittää saada nimityksen Abel on uusi tieteellinen instituutti on luotu Berliinissä. Eteneminen oli kuitenkin hyvin hidasta. Syyskuussa 1828 Neljä Ranskan tiedeakatemian merkittävää jäsentä otti ylimääräisen askeleen osoittamalla vetoomuksen suoraan Bernadottelle, nyt Norjan—Ruotsin Kaarle XIV: lle, kiinnittäen huomiota Abeliin ja kehottaen luomaan hänelle sopivan tieteellisen kannan. Vuonna kokouksessa Akatemian, 25 päivänä helmikuuta 1829, Legendre myös maksettu kunnianosoitus Abel ja hänen löytöjä, erityisesti hänen tuloksia teorian yhtälöt.
sillä välin Abel kirjoitti heikkenevästä terveydestään huolimatta kuumeisesti uusia papereita. Hän vietti vuoden 1828 kesäloman Frolandin kartanolla kihlattunsa kanssa. Jouluna hän halusi ehdottomasti vierailla hänen luonaan uudelleen, vaikka se vaati useiden päivien matkustamista kovassa pakkasessa. Hän oli saapuessaan kuumeinen, mutta nautti perheen joulunvietosta. Hän on saattanut olla premonition, että hänen päivät olivat luetut kuitenkin, ja hän nyt pelkää, että suuri paperi toimitetaan Ranskan akatemia oli menetetty ikuisesti. Siksi hän kirjoitti lyhyen huomautuksen ”Demonstration d’ une propriété générale d ’une certaine classe de fonctions transcendantes”, jossa hän esitti todisteen päälauseesta. Hän postitti sen Crelle 6 päivänä tammikuuta 1829.
odottaessaan kelkkaa, jonka oli määrä palauttaa hänet Osloon, Abel sai rajun verenvuodon; lääkäri diagnosoi hänen sairautensa tuberkuloosiksi ja määräsi pidennetyn vuodelevon. Hän kuoli huhtikuussa 26-vuotiaana, ja hänet haudattiin viereiseen Frolandin kirkkoon lumimyrskyn aikana. Haudalla on hänen ystäviensä pystyttämä muistomerkki. Yksi heistä, Baltazar Keilhau, kirjoitti Christine Kempille näkemättä häntä koskaan ja teki hänelle avioliittotarjouksen, jonka hän hyväksyi. Kaksi päivää Abelin kuoleman jälkeen Crelle kirjoitti riemuiten kertoakseen hänelle, että hänen nimityksensä Berliinissä oli turvattu.
Ranskan tiedeakatemia myönsi 28. kesäkuuta 1830 Grand Prix-palkinnon Abelille ja Jacobille heidän erinomaisista matemaattisista löydöistään. Kun intensiivinen haku Pariisissa käsikirjoituksen Abel ’ s great memoir löydettiin uudelleen. Se julkaistiin vuonna 1841, viisitoista vuotta sen jälkeen, kun se oli toimitettu. Painamisen aikana se katosi jälleen, ja ilmestyi uudelleen vasta vuonna 1952 Firenzessä.
Crelle kirjoitti päiväkirjaansa laajan Abelin muistopuheen (4 , 402):
kaikissa Abelin teoksissa on kekseliäisyyden ja ajatusvoiman jälki, joka on epätavallista ja joskus ihmeellistä, vaikka kirjailijan nuoruutta ei otettaisikaan huomioon. Yksi voi sanoa, että hän pystyi tunkeutumaan kaikki esteet alas hyvin perustan ongelmia, joiden voima, joka näytti vastustamaton; hän hyökkäsi ongelmia, joilla on ylimääräinen energia; hän piti niitä ylhäältä ja pystyi liidellä niin korkealle yli nykyisen valtion, että kaikki vaikeudet näyttivät katoavan alle voittoisa hyökkäys hänen neroutensa…. Mutta se ei ollut vain hänen suuri lahjakkuus, joka loi kunnioitusta Abel ja teki hänen menetys äärettömän valitettavaa. Hän erottaa itse yhtä puhtauden ja aatelisto hänen luonteensa ja harvinainen vaatimattomuus, joka teki hänen henkilö vaalia samassa epätavallinen määrin kuin oli hänen neroutensa.
bibliografia
I. alkuperäisteokset. Abelin täydelliset teokset on julkaistu kahtena painoksena, Oeuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, toim. B. Holmboe (Oslo, 1839)ja Nouvelle édition, M. M. L. Sylow ja S. Lie, toim., 2 vols. (Oslo, 1881).
II. Sivukirjallisuus. Materiaalit Abel elämää ovat Niels Henrik Abel: Mémorial publié à I ’ occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), joka käsittää kaikki kirjaimet mainittu tekstissä; ja O. Ore, Niels Henrik Abel; matemaatikko ylimääräinen (Minneapolis, Minn., 1957).
Oystein Malmi