Yleisiä huomioita
luultavasti luonnollisin lähestymistapa formaaliin logiikkaan on ajatus deduktiivisena tunnetun argumentin pätevyydestä. Deduktiivista argumenttia voidaan karkeasti luonnehtia sellaiseksi, jossa esitetään väite, jonka mukaan jokin propositio (johtopäätös) seuraa ehdottoman välttämättömästi jostakin toisesta propositiosta tai propositioista (premissit)—toisin sanoen, että olisi epäjohdonmukaista tai itsensä ristiriitaista väittää premissiä, mutta kieltää johtopäätös.
jos deduktiivisen argumentin halutaan onnistuvan vahvistamaan johtopäätöksensä totuus, on kahden varsin erillisen ehdon täytyttävä: ensinnäkin johtopäätöksen on todella seurattava premisseistä—eli johtopäätöksen deduktion premisseistä on oltava loogisesti oikea—ja toiseksi itse premissien on oltava tosia. Perustelu, joka täyttää molemmat ehdot, on nimeltään ääni. Näistä kahdesta ehdosta loogikko sellaisenaan koskee vain ensimmäistä; toinen, premissien totuuden tai valheellisuuden määrittely, on jonkin erityisen tieteenalan tai yleisen havainnon tehtävä, joka on sopiva argumentin kohteeseen. Kun argumentin päätelmä on oikein pääteltävissä sen premisseistä, premisseistä pääteltävän johtopäätöksen sanotaan olevan (deduktiivisesti) Pätevä riippumatta siitä, ovatko premissituaalit tosia vai epätosia. Muita tapoja ilmaista se, että johtopäätös on deduktiivisesti Pätevä, ovat sanoa, että premissien totuus antaa (tai antaisi) ehdottoman Taeen johtopäätöksen totuudesta tai että siihen liittyisi looginen epäjohdonmukaisuus (erotuksena pelkästä tosiasiavirheestä) olettaa, että premissit olisivat tosia mutta johtopäätös epätosia.
ne deduktiiviset johtopäätökset, joista formaali logiikka on nimensä mukaisesti kyse, ovat sellaisia, joiden pätevyys ei riipu niiden aiheen piirteistä vaan niiden muodosta tai rakenteesta. Näin ollen kaksi päätelmää (1) Jokainen koira on nisäkäs. Osa nelijalkaisista on koiria. ∴ Jotkin nelijalkaiset ovat nisäkkäitä. ja 2) Jokainen anarkisti uskoo vapaaseen rakkauteen. Osa hallituspuolueen jäsenistä on anarkisteja. ∴ Jotkut hallituspuolueen jäsenet uskovat vapaaseen rakkauteen. vaihtelevat aihepiiriltään ja vaativat siksi erilaisia menettelyjä tarkastaakseen tilojensa totuuden tai valheellisuuden. Mutta niiden pätevyys on varmistettu, mitä niillä on yhteistä-nimittäin, että argumentti kussakin on muotoa (3) Jokainen X on Y. jotkut Z: t ovat X: n. ∴ jotkut Z: t ovat Y: n.
edellä olevaa riviä (3) voidaan kutsua päättelymuodoksi, ja (1) ja (2) ovat sitten tapauksia, että päättelymuoto. Kirjaimet-X, Y ja Z—in (3) merkitsevät paikkoja, joihin tietyntyyppisiä lausekkeita voidaan lisätä. Tähän tarkoitukseen käytettyjä symboleja kutsutaan muuttujiksi; niiden käyttö on analogista algebrassa X: n kanssa, joka merkitsee paikkaa, johon numero voidaan lisätä. Päättelymuodon ilmentymä tuotetaan korvaamalla kaikki siinä olevat muuttujat tarkoituksenmukaisilla lausekkeilla (eli asiayhteydessä järkevillä) ja tekemällä näin tasaisesti (eli korvaamalla sama lauseke aina, kun sama muuttuja toistuu). Ominaisuus (3), joka takaa, että jokainen esiintymä se on voimassa on sen rakentaminen siten, että jokainen yhtenäinen tapa korvata sen muuttujia tehdä premises totta automaattisesti tekee johtopäätös tosi myös, tai toisin sanoen, että mikään esiintymä se voi olla totta premises, mutta väärä johtopäätös. Tämän ominaisuuden vuoksi muotoa (3) kutsutaan kelvolliseksi päättelymuodoksi. Sen sijaan (4) jokainen X on Y. jotkut Z: t ovat Y: tä. ∴ jotkut Z: t ovat X: ää. ei ole pätevä päättelymuoto, sillä vaikka siitä voidaan tuottaa esiintymiä, joissa premissit ja johtopäätös ovat kaikki tosia, siitä voidaan tuottaa myös tapauksia, joissa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös on epätosi—esim. (5) Jokainen koira on nisäkäs. Jotkin siivekkäät eläimet ovat nisäkkäitä. ∴ Jotkin siivekkäät olennot ovat koiria.
formaali logiikka tutkimuksena käsittelee päättelymuotoja eikä niinkään tiettyjä tapauksia niistä. Yksi sen tehtävistä on erottaa voimassa ja virheellinen päättely muotoja ja tutkia ja systematisoida suhteita, jotka pitävät joukossa voimassa niistä.
läheistä sukua on ajatus kelvollisesta päättelymuodosta. Propositiomuoto on lauseke, jonka ilmentymät (jotka on tuotettu kuten ennenkin tarkoituksenmukaisilla ja yhtenäisillä muuttujien korvaamisilla) eivät ole päätelmiä useista propositioista, vaan yksittäin otettuja propositioita, ja pätevä propositiomuoto on sellainen, jolle kaikki instanssit ovat tosia propositioita. Yksinkertainen esimerkki on (6) mikään ei ole sekä X että ei-X. formaali logiikka koskee propositiomuotoja sekä päättelymuotoja. Propositiomuotojen tutkimus voidaan itse asiassa tehdä sisältämään päättelymuotojen premissiot seuraavasti: olkoon minkä tahansa päättelymuodon (yhdessä) premissiot lyhennetty alfalla (α) ja sen johtopäätös beetalla (β). Silloin edellä esitetty ehto päättelymuodon ”α, siis β” pätevyydelle tarkoittaa, että yksikään propositiomuodon ilmentymä ”α ja Ei-β” ei ole tosi—eli jokainen propositiomuodon ilmentymä(7) ei molemmat: α ja Ei-β on tosi—tai että kyseinen suora (7), joka on tietysti täysin ilmaistu, on pätevä propositiomuoto. Propositiomuotojen tutkimista ei kuitenkaan voida samalla tavalla sovittaa päättelymuotojen tutkimiseen, joten kattavuussyistä on tavallista pitää formaalia logiikkaa propositiomuotojen tutkimisena. Koska loogikon propositiomuotojen käsittely on monin tavoin analogista matemaatikon numeeristen kaavojen käsittelyyn, hänen rakentamiaan järjestelmiä kutsutaan usein calculeiksi.
suuri osa loogikon työstä etenee abstraktimmalla tasolla kuin edellä mainittu keskustelu. Jopa edellä oleva kaava (3), vaikka se ei viitannutkaan mihinkään tiettyyn aiheeseen, sisältää sellaisia ilmaisuja kuin ”jokainen” ja ”on a”, joilla ajatellaan olevan selvä merkitys, ja muuttujien tarkoituksena on merkitä paikat tietyn tyyppisille ilmaisuille (karkeasti yleisille substantiiveille tai luokkanimille). On kuitenkin mahdollista—ja joissakin tarkoituksissa se on välttämätöntä—tutkia kaavoja liittämättä niihin edes tällaista merkityksellisyyden astetta. Logiikan järjestelmän rakentamiseen liittyy itse asiassa kaksi toisistaan erottuvaa prosessia: toinen on symbolisen laitteen—symbolien joukon-perustaminen, säännöt Näiden yhdistämiseksi kaavoiksi ja säännöt näiden kaavojen manipuloimiseksi; toinen on tiettyjen merkitysten liittäminen näihin symboleihin ja kaavoihin. Jos vain edellinen tehdään, systeemin sanotaan olevan epäkiinnostava eli puhtaasti muodollinen; jos myös jälkimmäinen tehdään, systeemiä sanotaan tulkittavan. Tämä ero on tärkeä, koska logiikan järjestelmillä osoittautuu olevan tiettyjä ominaisuuksia täysin riippumatta niistä tulkinnoista, joita niille voidaan asettaa. Esimerkkinä voidaan ottaa logiikan Aksiomaattinen järjestelmä eli järjestelmä, jossa lähtökohdiksi otetaan tietyt vahvistamattomat kaavat eli aksioomat ja näiden vahvuudella todistetaan lisää kaavoja (teoreemoja). Kuten näkyy myöhemmin (KS. alla Axiomatization, PC), kysymys siitä, onko jono kaavojen aksioomajärjestelmä on todiste vai ei riippuu yksinomaan siitä, mitkä kaavat on otettu aksioomat ja mitä säännöt ovat deriving teoreemojen alkaen aksioomat, eikä lainkaan siitä, mitä teoreemojen tai aksioomat tarkoittavat. Lisäksi tiettyä tulkitsematonta järjestelmää voidaan yleensä tulkita yhtä hyvin useilla eri tavoilla; näin ollen tarkasteltaessa tulkitsematonta järjestelmää tutkitaan rakennetta, joka on yhteinen useille tulkituille järjestelmille. Tavallisesti loogikolla, joka rakentaa puhtaasti formaalin järjestelmän, on tietty tulkinta mielessään, ja hänen motiivinsa sen rakentamiselle on usko, että kun tämä tulkinta sille annetaan, järjestelmän kaavat kykenevät ilmaisemaan todellisia periaatteita jollakin ajattelun alalla.; mutta muun muassa edellä mainituista syistä hän yleensä huolehtii kaavojen kuvaamisesta ja järjestelmän sääntöjen esittämisestä viittaamatta tulkintaan ja ilmoittaa erillisenä asiana mielessään olevan tulkinnan.
monet formaalin logiikan tulkinnassa käytetyt ajatukset, myös jotkin edellä mainitut, herättävät ongelmia, jotka kuuluvat pikemminkin filosofiaan kuin itse logiikkaan. Esimerkkejä ovat: mikä on oikea analyysi totuuden käsitteestä? Mikä on propositio, ja miten se liittyy lauseeseen, jolla se ilmaistaan? Onko olemassa joitakin järkeviä päättelyjä, jotka eivät ole deduktiivisia eivätkä induktiivisia? Onneksi on mahdollista oppia tekemään muodollista logiikkaa ilman tyydyttäviä vastauksia tällaisiin kysymyksiin, aivan kuten on mahdollista tehdä matematiikkaa vastaamatta kysymyksiin, jotka kuuluvat matematiikan filosofiaan, kuten: ovatko numerot todellisia objekteja tai henkisiä konstruktioita?