(B.Finnöy,An island near Stavanger,Norway,5August1802;d.Froland,Norway,6April1829)
mathematics.
アベルの父、ゾーレン-ゲオルク-アベルはルター派の大臣であり、彼自身は大臣の息子であった。 彼は才能があり、非常に野心的な神学者であり、当時デンマーク-ノルウェーの英国で唯一の機関であったコペンハーゲン大学で教育を受けていました。 彼は南海岸のリゼルの町で裕福な商人で船主の娘であるAne Marie Simonsonと結婚していました。 フィンネイはアベル牧師の最初の教区であり、いくつかの島からなる小さくて清潔な教区であった。 夫妻には7人の子供と6人の息子と1人の娘がいたが、ニールス・ヘンリックは2人目の子供であった。
1804年、Sören Georg AbelはRisör近くのGjerstad教区の父親の後継者に任命されました。 ノルウェーの政治情勢は緊迫していた。 デンマークとの同盟のために、国はフランス側のナポレオン戦争に投げ込まれ、海岸の英国の封鎖は広範囲の飢饉を作り出しました。 アベル牧師は、完全な独立のためではないにしても、独立したノルウェーの機関、特に大学と国立銀行の創設のために働いて、国家主義運動で著名でした。 キールの講和条約が締結されると、デンマークはノルウェーをスウェーデンに割譲した。 ノルウェー人は反乱を起こし、独自の憲法を書いたが、ベルナドットの下でスウェーデン人との短い無駄な戦争の後、彼らは休戦を求めることを余儀なくされた。 スウェーデンとの連合が受け入れられ、アベルの父親は1814年秋に新憲法の必要な改訂を書くために呼び出された臨時ストーリングのメンバーの一人となった。
Niels Henrik Abelと彼の兄弟は父親から最初の指導を受けたが、1815年にAbelと彼の兄はChristiania（オスロ）の大聖堂学校に送られた。 これは、州の多くの公務員が子供たちを送った古い学校でした。 大聖堂の学校は優れていたが、その良い教師のほとんどが1813年に指導を始めた新しい大学での地位を受け入れていたので、その後低減退していた。
アベルは家を出たときにはまだ十三歳であり、家族生活の悪化が彼の出発を促進した可能性が高いようです。 数年の最初のカップルの間に彼のマークは満足のいくものでした;その後、彼の仕事の質は低下しました. 彼は精神疾患の兆候を示し始め、最終的に家に送られなければならなかった。
1817年、アベルの人生を変える運命の出来事が学校で起こった。 数学の先生は、おそらく罰の結果として、その後すぐに死亡した生徒の一人を虐待しました。 教師は即座に解雇され、彼の場所はアベルよりもわずか7歳年上のBernt Michael Holmboeによって取られました。 ホルンボーはまた、天文学の教授であり、大学の主要な科学者であるChristoffer Hansteenの助手を務めました。
若いアベルの数学における卓越した能力を発見するのにホルムボエは長くかかりませんでした。 彼は彼に特別な問題を与え、学校のカリキュラムの外の本を推薦することから始めた。 二人はその後、一緒にオイラーの微積分のテキストを研究し始め、後にフランスの数学者、特にラグランジュとラプラスの作品。 非常に急速なアベルの進歩は、彼がすぐに本当の教師になったことでした。 オスロ大学の図書館に保存されているノートから、これらの初期の頃でさえ、彼はすでに代数方程式理論に特に興味を持っていたことがわかります。 彼は学校を終えた時点で、彼は重要な数学の文献のほとんどに精通していた。 Holmboeは彼が学校の学長が彼に記録簿のアベルについての彼の声明を緩和させたことを発見した数学の天才によってとても喜んでいた。 しかし、大学の教授たちは、有望な若い男についてホルンボエによく知らされ、彼の個人的な知人を作った。 応用数学を教えていたハンスティーンのほかに、数学の教授は一人しかいませんでした。 Sören Rasmussen、大聖堂の学校の元教師。 ラスムッセン、親切な男は、生産的な学者ではなかった; 彼の時間は主に、特にノルウェーの新銀行の管理者としての彼のポストで、政府によって彼に割り当てられたタスクによって取り上げられました。
アベルの学校での最後の年の間に、若者の活力と不道徳さで、五次方程式の解の問題を攻撃した。 この問題は、16世紀前半のデル・フェロ、タルタリア、カルダーノ、フェラーリの時代から顕著であった。 アベルは、彼が解決策の形を見つけることに成功したと信じていましたが、ノルウェーでは彼の議論を理解することができる人はいませんでしたし、それが出版されることができる科学雑誌もありませんでした。 ハンスティーンはこの論文をデンマークの数学者フェルディナント-デゲンに転送し、デンマーク-アカデミーによる出版を要求した。
Degenは引数に誤りを発見できませんでしたが、Abelに例によって彼の方法を説明するように要求しました。 デゲンはまた、トピックがやや無菌であることを発見し、アベルは”その開発は分析と力学のための最大の結果をもたらすであろうトピックに彼の注意を向けることを示唆しました。 私は楕円超越論を参照してください。 この種の研究に適した資格を持つ深刻な研究者は、決してこれらの最も顕著な機能の多くの美しい特性に制限されることはありませんが、途方もな
アベルは五次方程式の解のための彼の例を構築し始めたが、彼の方法が正しくないことを彼の狼狽に発見した。 彼はまた、楕円超越についてのデゲンの提案に従った、それは数年以内に彼が主に楕円関数の彼の理論を完了していた可能性があります。
1818年、アベル牧師は1816年の入札に失敗した後、ストーティングに再選されました。 しかし、彼の政治的キャリアは悲劇に終わった。 彼は他の代表者に対して暴力的な根拠のない告発を行い、弾劾の脅迫を受けた。 これは、彼の酔っ払いと一緒に、彼をマスコミのお尻にしました。 彼は幻滅した男、不名誉に家に戻った。 彼と彼の妻の両方がアルコール依存症に苦しんでおり、牧師館と教区の条件はスキャンダラスになった。 彼は1820年に死亡したとき、それは一般的に救済と考えられていました。 彼の未亡人は、彼女と彼女の多くの子供たちをサポートするためにかろうじて十分な小さな年金で、非常に窮屈な状況に残されました。
無一文のアベルは1821年の秋に大学に入学しました。 彼は大学の寮に自由な部屋を与えられ、彼の弟Pederとそれを共有する許可を受けました。 しかし、新しい機関にはフェローシップの資金がなく、教授の中には若い数学者を自分の給料から支援するという珍しい措置を取った人もいました。 彼は彼らの家のゲストであり、特にハンスティーンの家とハンスティーン夫人と彼女の姉妹に魅了されました。
大学でのアベルの最初の仕事は、予備的な学位であるCandidatus Philosophiaeの要件を満たすことでした。 これが達成されると、一年後、アベルは完全に彼の研究に専念していました。 数学と物理科学の高度なコースはありませんでしたが、これはハンディキャップされているようではありません;パリからの手紙の中で少し後に彼は、彼が数学の実質的にすべてを読んでいたと述べました,重要または重要ではありません.
彼は高度な研究に時間を費やし、HansteenがNaturvidenskabenのための科学的な定期刊行物Magazinを始めたとき、彼の努力は強い刺激を受けました。 1823年、この雑誌はアベルの最初の論文、ノルウェー語で、汎関数方程式の研究を発表した。 数学的には重要ではありませんでした。 また、彼の第二の小さな紙でした。 しかし、雑誌の購読者は人気のあるレビューを約束されていた、とハンスティーンは、おそらく批判の後、これらの論文の性格のために謝罪する義務を感じた：”したがって、私は科学的な材料に加えて、Magazinはまた、彼らの分析のために役立つツールを促進すべきであると信じています。 私たちが学んだ人々に、この才能と熟練した著者のペンからの作品を知る機会を与えたことは、私たちの信用に考慮されるでしょう”（Magazin、1）。 アベルの次の論文”opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp of bestemte Integraler”（”明確な積分によるいくつかの問題の解”）は、積分方程式の最初の解が含まれているため、数学の歴史において重要である。 それはノルウェー語であったため、部分的には、一度に見過ごされて行った紙は、重力の影響下で曲線上の質量点の動きの機械的な問題を扱っています。 1822年から1823年の冬の間、アベルはまた、機能的表現の統合に関するより長い作業を構成しました。 この論文は、その機関がその出版を支援することを期待して大学コレギウムに提出されました。 原稿は消えましたが、その中で得られた結果のいくつかはアベルの後の論文のいくつかに含まれている可能性が高いようです。
1823年の夏の初め、アベルはデゲンと他のデンマークの数学者に会うためにコペンハーゲンへの旅行の資金を調達するためにラスムッセン教授から100ダラーの贈り物を受け取った。 ホルンボーへの彼の手紙は、彼が受け取った数学的なインスピレーションを明らかにする。 彼は叔父の家に滞在し、ここで彼の将来の婚約者、Christine Kempの知り合いを作った。
オスロに戻ると、アベルは再び五次方程式の解の問題を取り上げた。 今回は逆の見方をして、一般的な5次以上の方程式の解を表す根本的な表現が不可能であることを証明することによって、何世紀も前の問題を解 アベルは自分の結果の重要性を完全に認識していたので、彼はそれを地元の印刷業者によって自費で出版させました。 多くの聴衆に到達するために、彼はフランス語でそれを書いた：”代数方程式に関する論文では、第五度の一般方程式を解くことが不可能であることを”費用を節約するために、パンフレット全体を六ページに圧縮しました。 いずれにせよ、コピーが送信された偉大なC.F.ガウスを含む—外国の数学者のいずれかからの反応はありませんでした。
アベルはもはや教授の支援の下では生きられないことが明らかになっていた。 彼の財政上の問題は、クリスティン-ケンプとの婚約によって増加していた。 オスロの近くに住む家族の子供たちのための知事としてノルウェーに来ていた人。
アベルは旅行補助金を申請し、いくつかの遅れの後、政府はアベルが海外旅行の準備をするために大学で言語を勉強するための小さな奨学金を受 彼はその後、外国留学の二年間のための600ダラーの助成金を受け取ることになりました。
アベルは遅れに失望したが、忠実に言語、特にフランス語を研究し、外国の数学者に提示される論文のかなりの数を準備するために彼の時間を使 1825年の夏、彼は4人の友人と一緒に出発した。 そのうちの1人は後に医学の教授になり、他の3人は地質学者になりました。 アベルの友人はすべてベルリンに行くことを計画したが、アベルは、ハンスティーンの助言に応じて、パリ、その後、数学の世界の主要な中心地で彼の時間を過ごすことだった。 しかし、アベルは孤独であることを恐れ、ベルリンに行くことにしましたが、彼は彼の保護者の不快感を被ることをよく知っていました。
アベルの心の変化は、最も幸運な決定であることが判明した。 コペンハーゲンを通過する上で、アベルはデゲンが死亡したことを知ったが、彼は枢密顧問アウグストレオポルドクレレに他のデンマークの数学者の一人からの推薦状を確保した。 クレルは非常に影響力のあるエンジニアであり、数学に強く興味を持っていたが、彼自身は強力な数学者ではなかった。
アベルが最初にクレルに呼びかけたとき、彼は自分自身を理解させることにいくつかの困難を抱えていました。 しかし、しばらくして、クレルは若い訪問者の珍しい性質を認識しました。 二人は生涯の友人となった。 アベルは五分方程式に関するパンフレットのコピーを彼に提示したが、クレルはそれが彼には理解できないと告白し、アベルがそれの拡張版を書くことを推奨した。 彼らはドイツの数学の貧弱な状態について話しました。 1825年12月5日付けのベルリンからのハンスティーンへの手紙の中で、アベルは次のように書いている。:
私はフランスのように、数学ジャーナルが存在しなかったという事実に驚きを表明したとき、彼は長い間、1つを編集することを意図していたと述べ、現 このプロジェクトは今組織されており、私の大きな喜びに、私は私の記事のいくつかを印刷することができる場所を持っているものとします。 私はすでに最初の番号に表示されますそれらの四つを、用意しています。
Journal für die reine und angewandte Mathematik、またはCrelleのジャーナルは、一般的に知られているように、十九世紀の間に主要なドイツの数学の定期刊行物でした。 最初の巻だけではアベルの7つの論文が含まれており、次の巻にはさらに多くの論文が含まれており、そのほとんどは数学の歴史の中で非常に重要 最初のものの中には、ラジカルによる一般的な五次方程式の解の不可能性の証明の拡張版があります。 ここでアーベルは、代数体の拡張の議論を含む、必要な代数的背景を開発しています。 アベルは、この時点で、彼は前駆体、イタリアの数学者パオロRuffiniを持っていたことを認識していませんでした。 しかし、ラジカルによって解かれる方程式に関する死後の論文でアベル状態: “私が間違っていなければ、一般方程式の代数的解の不可能性を証明しようとしたのは数学者Ruffiniだけですが、彼の論文は非常に複雑で、彼の議論の正しさを判断することは非常に困難です。 それは常に満足のいくものではないと私には思われます。 この結果は通常、Abel-Ruffini定理と呼ばれます。
アベルがオスロから出発した後、彼に多くの懸念を引き起こした出来事が起こった。 ラスムッセンは、彼の公務と組み合わせたときにあまりにも負担の数学の彼の教授職を発見した。 彼は辞任し、その後すぐに教員はホルムボが欠員を埋めるために任命されることを推奨することを投票しました。 アベルのノルウェーの友人は、行動が非常に不当であることを発見し、アベル自身もおそらく同じように感じました。 それにもかかわらず、彼は元教師に暖かいお祝いの手紙を書いて、彼らは良い友人のままでした。 しかし、この瞬間から、アベルは彼の将来と彼の差し迫った結婚を心配していたことは明らかです。
ベルリンの冬の間、アベルはCrelleのジャーナルに貢献しました; 注目すべき論文の中には、二項式の一般化に関するものと、平方根式の積分に関するものがあります。 しかし、彼の主な数学的な懸念の一つは、現代の数学の厳密さの欠如でした。 彼はホルンボーへの手紙でそれを繰り返し言及しました。 1826年1月16日付のこれらのうちの1つで、彼は書いた。:
私の目は最も驚くべき方法で開かれています。 非常に単純なケースを無視すると、すべての数学には、合計が厳密に決定された単一の無限級数はありません。 言い換えれば、数学の最も重要な部分は基礎なしに立っています。 それのほとんどが有効であることは事実ですが、それは非常に驚くべきことです。 私はそれの理由、非常に興味深い問題を見つけるのに苦労しています。
この闘争の結果は、多くの一般的な定理を含むべき級数に関する彼の古典的な論文であり、また、アプリケーションとして、任意の実数または複素指数の二項級数の和の厳格な決定であった。
1826年の早春、アベルは本来の目的地であるパリに進む義務があると感じた。 クレルは彼に同行することを約束していた、と途中で彼らはガウスを訪問するためにゲッティンゲンで停止することを意図していた。 残念なことに、ビジネスの圧力はクレルがベルリンを離れることを妨げた。 同時に、アベルのノルウェーの友人は中央ヨーロッパを通る地質学的な遠足を計画していた、と、再び彼らから分離されることに消極的、彼はグループに参加しました。 彼らはボヘミア、オーストリア、北イタリア、アルプスを通ってコーチによって旅しました。 アベルは、高価な旅行の後に資金が低い、7月までパリに到達しませんでした。
パリへの訪問は失望を証明するためだった。 大学の休暇は、アベルが到着し、戻ったときに始まったばかりだった、彼は彼らが孤高でアプローチするのが難しいことがわかった;それは彼が彼の老 フランス科学アカデミーへのプレゼンテーションのために、アベルは彼が彼の傑作と考えた論文を予約していた。 与えられた代数関数の積分の和を扱った。 アーベルの定理は、そのような和は、元の引数の代数的関数である積分引数を持つ、これらの積分の固定数pとして表すことができると述べています。 最小数pは代数関数の種数であり、これがこの基本量の最初の出現である。 アーベルの定理（アーベルのていり、）は、楕円積分に対するオイラーの関係を広く一般化したものである。
アベルは彼の偉大な回顧録を完了するパリで彼の最初の数ヶ月を過ごした;それは彼の最長の論文の一つであり、アプリケーションと幅広い理論を含 それは1826年10月30日に科学アカデミーに「mémoire sur une propriétégénérale d’une classe trés-étendue de fonctions transcendantes」というタイトルで発表された。”コーシーとルジャンドルは審判に任命されました,コーシーは会長であること. 多くの若い男性が彼らの作品をアカデミーに受け入れたことですぐに区別を得ており、アベルは審判の報告を待っていた。 しかし、実際には、アベルの死がその出現を余儀なくされるまで、それは発行されませんでした。 コーシーは非難されているようだが、彼は後に原稿が判読不能であると主張した。
アベルのパリでの次の二ヶ月は憂鬱だった。 彼はP.G.L.ディリクレ、三年で彼の後輩とすでによく知られている数学者、Legendreが主催するアカデミーの論文を通じて会った。 もう一人の知人は、科学的なレヴュー・フェルサックの紀要の編集者であるフレデリック・サイゲであり、アベルはいくつかの記事、特にクレルのジャーナルに自分の論文について書いた。 クリスマスの後、彼はベルリンへの彼の運賃を支払うために彼の最後のリソースを過ごした。
彼がベルリンに戻った直後。 アベルは病気になった; 彼はその後、彼の人生を主張することだった結核の最初の攻撃に苦しんでいるようです。 彼はホルンボーからお金を借りて、クレルはおそらく彼を助けた。 アベルはノルウェーに戻ることを切望していたが、フェローシップの期間が満了するまで海外に留まることを余儀なくされた。 クレルは、彼がドイツの大学で彼のための位置を見つけることができるまで、ベルリンで彼を維持しようとした;その間に彼は彼に彼の雑誌の編集を提供した。
アベルは新しい論文に熱心に取り組んだ：”Recherches sur les fonctions elliptiques.”彼の最も広範な出版物（Oeuvres complètesの125ページ）。 この作品で彼は根本的に双対性
に最も基本的な場合に対応する逆関数を使用して楕円関数の理論に楕円積分の理論を変換し、楕円関数は、それによって三角関数の広大で自然な一般化になります。 アベルはすでにオスロの学生として理論のほとんどを開発していたので、彼は二重周期性、無限級数と製品の展開、および加算定理を含む詳細の偉大な この理論は、引数の倍数の関数の式につながった分数引数の方程式の付随する決定とラジカルによってその解決策は、ガウスが円分方程式を扱っていた方法では、多くの: アベルのホルンボーへの手紙（1826年12月にパリから、1827年3月4日にベルリンから）は、ガウスの正多角形の構築に似た、コンパスと定規によってレムニスケートが等分に割り切れる条件の決定に特に魅了されたことを示している。 最後の部分は、後に代数的数論において非常に重要な、複素乗算のいわゆる理論を扱っています。
アベルは1827年5月20日にオスロに戻り、自宅の状況は彼が恐れていたほど暗いことを知りました。 彼は見通しのない地位、交わり、そして豊富な借金を持っていませんでした。 彼のフェローシップを長期化させるための彼のアプリケーションは、財務省によって拒否されましたが、大学は勇敢に彼にその貧弱な資金のうち、小さな奨学金を授与しました。 この行動は、彼が受け取る可能性のある将来の給与から控除される金額を持つ権利を留保した部門によって批判された。
アベルの婚約者は、アベルの家族の友人、アレンダール近くのフロランドの鉄工所の所有者の家族と新しい地位を見つけた。 秋の間、アベルは男子生徒を指導し、おそらく友人の助けを借りてオスロでの生活をeked。 新年には状況が明るくなりました。 地磁気研究の先駆者であるハンスティーンは、未踏のシベリアでの地球の磁場を調べるために二年間の大きな助成金を受けました。 その間、アベルは大学とノルウェー陸軍士官学校の両方で彼の代理となった。
“Recherches”の最初の部分は1827年にCrelleのジャーナルに掲載され、アベルは冬の間に第二の部分を完成させました。 彼はオスロで孤立して住んでいた; 冬の間にはパッケージのメールがなかった、と彼は彼の回顧録は、ヨーロッパの数学者の間で作成していた興味のない暗示を持っていた。 また、ハンスティーンは彼にAstronomische Nachrichtenの九月号を示したときに、1828年の初めまで、楕円関数の分野で競合他社が登場していたことを知っていませんでした。 このジャーナルでは、若いドイツの数学者、K.G.J.ヤコビは、楕円積分の変換理論に関するいくつかの結果を証明せずに発表しました。 アベルは急いでヤコビの結果が彼自身の結果であったかを示す、”Recherches”の第二部の原稿にメモを追加しました。
アベルはレースが手元にあることを痛感していた。 彼はラジカルによって解決することができるすべての方程式の決定を含むことだった方程式の理論上の大きな論文を中断：出版された部分は、今アー 彼はその後、急速に連続して、楕円関数に関する一連の論文を書いた。 最初は”Solution d’un probleme général concernant la transformation des fonctions elliptiques”でした。”これは、ヤコビへの彼の直接の応答は、Astronomische Nachrichtenに掲載されました。 さらに、アベルは死後に出版された本の長さの回顧録”Précis d’une théorie des fonctions elliptiques”を準備しました。 一方、ヤコビは、彼の方法を明らかにしなかった唯一の簡単な通知を書いた;これらは彼の本、Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum（1829）のために予約された。
楕円関数の初期の理論について多くのことが書かれています。 アベルがヤコビの数年前にアイデアを所有していたことはほとんど疑いの余地がないようです。 一方、ガウスは何も出版していないが、アーベルやヤコビのいずれかの長い前に楕円関数の原則を発見していたという確立された事実でもある。
ヨーロッパの数学者たちは、二人の若い数学者の間の競争を魅了して見ました。 ルジャンドルはヤコビの発表に気づき、また彼から手紙を受け取った。 1827年11月にフランスのアカデミーの会議で、彼は新しい数学の星を賞賛した;スピーチは新聞で再現され、ルジャンドルはヤコビにクリッピングを送った。 彼の返信でヤコビは、彼の感謝を表明した後、アベルの”Recherches”とその一般的な結果を指摘した。 ルジャンドルは答えた：”これらの作品を通して、あなた二人は私たちの時代の一流のアナリストのクラスに配置されます。”彼はまた、出版のヤコビの方法の上に彼の失望を表明し、ヤコビは彼の結果のいくつかを導出するために、彼はアベルの論文に依存しなければならな この頃、アベルはルジャンドルとの通信を開始し、彼のアイデアを彼に注ぎました。
ヨーロッパの数学者がノルウェーでのアベルの状態について知っていたのは、彼が一時的な地位に過ぎず、最近、生計を立てるために学生の家庭教師を強 彼らの情報の主な情報源は、常にベルリンで作成される新しい科学研究所でアベルのための任命を取得しようとする彼の影響力を使用してクレル しかし、進歩は非常に遅かった。 1828年9月、フランス科学アカデミーの4人の著名なメンバーは、ベルナドット（現在のノルウェー＝スウェーデン王シャルル14世）に直接請願書を提出し、アベルに注意を喚起し、適切な科学的立場を彼のために創設するよう促した。 1829年2月25日のアカデミーの会合では、ルジャンドルはアベルと彼の発見、特に方程式の理論における彼の結果に敬意を表した。
その間、アベルは健康状態が悪化しているにもかかわらず、必死に新しい論文を書いた。 彼は1828年の夏の休暇をフィアンセと一緒にフロランドの地所で過ごした。 クリスマスに彼は彼女を再び訪問することを主張したが、それは激しい寒さの中で数日の旅行を必要としたにもかかわらず。 彼が到着したとき、彼は熱っぽいでしたが、家族のクリスマスのお祝いを楽しんだ。 彼は彼の日が番号が付けられた予感を持っていたかもしれないが、彼は今、フランスアカデミーに提出された偉大な紙が永遠に失われていたことを恐れていた。 したがって、彼は簡単なノートを書いた、”Demonstration d’une propriétégénérale d’une conerse classe de fonctions transcendantes”ここで彼は主定理の証明を与えた。 彼は1829年1月6日にクレルに郵送した。
オスロに戻ろうとしていたそりを待っている間、アベルは激しい出血を起こし、医師は彼の病気を結核と診断し、長期の寝たきりを命じた。 彼は4月に26歳で亡くなり、吹雪の中に隣のフロランド教会に埋葬されました。 墓は彼の友人によって建てられた記念碑によってマークされています。 そのうちの一人、Baltazar Keilhauは、彼女を見たことがなく、Christine Kempに手紙を書き、彼女が受け入れた結婚の申し出をしました。 アベルの死の二日後、クレルはベルリンでの彼の任命が確保されていたことを彼に知らせるために喜んで書いた。
1830年6月28日、フランス科学アカデミーは優れた数学的発見に対してアベルとヤコビにグランプリを授与した。 パリでの集中的な検索の後、アベルの偉大な回顧録の原稿が再発見されました。 それは提出されてから15年後の1841年に出版されました。 印刷の間にそれは再び消え、フィレンツェで1952年まで再表示されませんでした。
クレルは彼のジャーナルにアベルの広範な賛辞を書いた(4 , 402):
アベルの作品のすべては、著者の若さが考慮されていない場合でも、珍しい、時には驚くべき思考の創意工夫と力のインプリントを運びます。 一つは、彼が魅力的な登場した力で、問題の非常に基礎まですべての障害物を貫通することができたと言うかもしれない、彼は特別なエネルギーで問題; 彼は上からそれらを考え、すべての困難は彼の天才の勝利の猛攻撃の下で消えるように見えたことを彼らの現在の状態の上に非常に高く舞い上がる… しかし、アベルを尊敬し、彼の損失を無限に残念にしたのは、彼の偉大な才能だけではありませんでした。 彼は彼の性格の純粋さと高貴さと、彼の天才と同じ珍しい程度に彼の人を大切にしたまれな謙虚さによって、同じように自分自身を区別しました。
参考文献
I.オリジナル作品。 アベルの完全な作品は、二つのエディション、Oeuvres complètes de N.H.Abel、mathématicien、edに出版されています。 そして、B.Holmboe（Oslo、1839）、およびNouvelle édition、M.M.L.SylowおよびS.Lie、edsによって注釈された。、2巻。 （オスロ、1881年）。
II.二次文献。 アベルの生涯に関する資料には、テキストに引用されているすべての文字を含むNiels Henrik Abel:Mémorial publié à I’occasion du centenaire de sa naissance(Oslo,1902)、O.Ore,Niels Henrik Abel;Mathematician Extraordinary(Minneapolis,Minn., 1957).