ciudățenia îndoită de minte a numărului zero, explicată

computerul pe care citiți acest articol rulează acum pe un șir binar de zerouri și unu. Fără zero, electronica modernă nu ar exista. Fără zero, nu există calcul, ceea ce înseamnă că nu există inginerie modernă sau automatizare. Fără zero, o mare parte din lumea noastră modernă se destramă literalmente.

descoperirea lui Zero de către omenire a fost „un schimbător total de jocuri … echivalent cu învățarea limbii americane”, spune Andreas Nieder, om de știință cognitiv la Universitatea din T Oktibbingen din Germania.

dar pentru marea majoritate a istoriei noastre, oamenii nu au înțeles numărul zero. Nu este înnăscut în noi. A trebuit să-l inventăm. Și trebuie să continuăm să-l învățăm generației următoare.

alte animale, cum ar fi maimuțele, au evoluat pentru a înțelege conceptul rudimentar de nimic. Și oamenii de știință tocmai au raportat că chiar și creierele mici de albine pot calcula zero. Dar numai oamenii au confiscat zero și l-au transformat într-o unealtă.

deci, să nu luăm zero de la sine. Nimic nu este fascinant. Uite de ce.

ce este zero, oricum?

Getty Images

înțelegerea noastră despre zero este profundă atunci când luăm în considerare acest fapt: nu întâlnim adesea, sau poate vreodată, zero în natură.

numere ca unu, doi și trei au o contrapartidă. Putem vedea o lumină aprinsă. Putem auzi două bipuri de la un claxon de mașină. Dar zero? Ne cere să recunoaștem că absența a ceva este un lucru în sine.

„Zero este în minte, dar nu în lumea senzorială”, spune Robert Kaplan, profesor de matematică la Harvard și autor al unei cărți despre zero. Chiar și în zonele goale ale spațiului, dacă puteți vedea stele, înseamnă că sunteți scăldați în radiațiile lor electromagnetice. În cel mai întunecat gol, există întotdeauna ceva. Poate că un adevărat zero-adică nimicul absolut-ar fi putut exista în timpul dinaintea Big Bang-ului. Dar nu putem ști niciodată.

cu toate acestea, zero nu trebuie să existe pentru a fi util. De fapt, putem folosi conceptul de zero pentru a obține toate celelalte numere din univers.

Kaplan m-a condus printr-un exercițiu de gândire descris pentru prima dată de matematicianul John von Neumann. Este înșelător de simplu.

Imaginați-vă o cutie cu nimic în ea. Matematicienii numesc această cutie goală ” setul gol.”Este o reprezentare fizică a lui zero. Ce e în cutia goală? Nimic.

acum luați o altă cutie goală și plasați-o în prima.

câte lucruri sunt în prima cutie acum?

există un obiect în el. Apoi, puneți o altă cutie goală în primele două. Câte obiecte conține acum? Doi. Și așa „derivăm toate numerele de numărare de la zero … din nimic”, spune Kaplan. Aceasta este baza sistemului nostru numeric. Zero este o abstracție și o realitate în același timp. „Este nimic care este,” ca Kaplan a spus. (În acest moment al poveștii, poate doriți să faceți o altă lovitură pe bong.)

apoi a pus-o în termeni mai poetici. „Zero stă ca orizontul îndepărtat care ne face semn pe drumul pe care îl fac orizonturile în picturi”, spune el. „Unifică întreaga imagine. Dacă te uiți la zero, nu vezi nimic. Dar dacă te uiți prin ea, vezi lumea. E orizontul.”

odată ce am avut zero, avem numere negative. Zero ne ajută să înțelegem că putem folosi matematica pentru a ne gândi la lucruri care nu au nicio contrapartidă într-o experiență fizică trăită; numerele imaginare nu există, dar sunt cruciale pentru înțelegerea sistemelor electrice. Zero ne ajută, de asemenea, să înțelegem antiteza sa, infinitul, în toată ciudățenia sa extremă. (Știați că o infinitate poate fi mai mare decât alta?)

de ce zero este atât de al naibii de util în matematică

influența lui Zero asupra matematicii noastre de astăzi este dublă. Unu: este o cifră importantă substituent în sistemul nostru de numere. Doi: este un număr util în sine.

primele utilizări ale zero în istoria omenirii pot fi urmărite înapoi la aproximativ 5.000 de ani în urmă, la Mesopotamia antică. Acolo, a fost folosit pentru a reprezenta absența unei cifre într-un șir de numere.

Iată un exemplu la ce mă refer: gândiți-vă la numărul 103. Zero în acest caz înseamnă „nu există nimic în coloana zeci.”Este un substituent, ajutându-ne să înțelegem că acest număr este o sută trei și nu 13.

bine, s-ar putea să vă gândiți: „acest lucru este de bază.”Dar vechii romani nu știau acest lucru. Vă amintiți cum și-au scris romanii numerele? 103 în cifre romane este CIII. Numărul 99 este XCIX. încercați să adăugați CIII + XCIX.este absurd. Notația substituentului este ceea ce ne permite să adăugăm, să scădem și să manipulăm cu ușurință numerele. Notația substituentului este ceea ce ne permite să rezolvăm probleme matematice complicate pe o foaie de hârtie.

dacă zero ar fi rămas pur și simplu o cifră substituent, ar fi fost un instrument profund pe cont propriu. Dar în urmă cu aproximativ 1.500 de ani (sau poate chiar mai devreme), în India, zero a devenit propriul său număr, ceea ce nu înseamnă nimic. Vechii mayași, din America Centrală, au dezvoltat, de asemenea, în mod independent zero în sistemul lor numeric în jurul zorilor erei comune.

în secolul al VII-lea, matematicianul Indian Brahmagupta a scris ceea ce este recunoscut ca prima descriere scrisă a aritmeticii lui zero:

când se adaugă zero la un număr sau se scade dintr-un număr, numărul rămâne neschimbat; iar un număr înmulțit cu zero devine zero.

Zero s-a răspândit încet în Orientul Mijlociu înainte de a ajunge în Europa și mintea matematicianului Fibonacci din anii 1200, care a popularizat sistemul numeric „Arab” pe care îl folosim cu toții astăzi.

de acolo, utilitatea lui zero a explodat. Gândiți-vă la orice grafic care trasează o funcție matematică începând de la 0,0. Această metodă acum omniprezentă de grafică a fost inventată pentru prima dată în secolul al 17-lea, după răspândirea zero în Europa. Acel secol a văzut, de asemenea, un domeniu cu totul nou al matematicii care depinde de zero: calculul.

s-ar putea aminti de la liceu sau colegiu matematica că cea mai simplă funcție în calcul este de a lua un derivat. Un derivat este pur și simplu panta unei linii care se intersectează cu un singur punct pe un grafic.

pentru a calcula panta unui singur punct, de obicei aveți nevoie de un punct de comparație: rise over run. Ceea ce Isaac Newton și Gottfried Leibniz au descoperit atunci când au inventat calculul este că calcularea acelei pante într — un singur punct implică apropierea, apropierea și apropierea — dar niciodată de fapt-împărțirea la zero.

„toate procesele infinite pivotează în jurul, dansează în jurul noțiunii de zero”, spune Robert Kaplan. Whoa.

de ce este zero atât de profund ca o idee umană?

nu ne naștem cu o înțelegere a zero. Trebuie să o învățăm și este nevoie de timp.

Elizabeth Brannon este un neurolog de la Universitatea Duke care studiază modul în care oamenii și animalele reprezintă numerele în mintea lor. Ea explică faptul că, chiar și atunci când copiii mai mici de 6 ani înțeleg că cuvântul „zero” înseamnă „nimic”, ei încă mai au dificultăți în a înțelege matematica de bază. „Când întrebați Care număr este mai mic, zero sau unu, ei se gândesc adesea la unul ca fiind cel mai mic număr”, spune Brannon. „Este greu de învățat că zero este mai mic decât unul.”

în experimente, Brannon va juca adesea un joc cu copii de 4 ani. Va pune o pereche de cărți pe o masă sau pe un ecran. Și fiecare carte va avea un număr de obiecte pe ea. O carte va avea două puncte, de exemplu. Altul va avea trei. Iată un exemplu de ceea ce ar putea vedea.

tendințe în științele Cognitive

pur și simplu le va cere copiilor să aleagă cartea cu cel mai mic număr de obiecte. Atunci când o carte cu nimic pe ea este asociat cu un card cu un obiect pe ea, mai puțin de jumătate copiii vor primi răspunsul corect.

tendințe în știința cognitivă

deci, ce se întâmplă pentru a face totul clic?

Andreas Nieder, omul de știință cognitiv din Germania, presupune că există patru pași psihologici pentru a înțelege zero și fiecare pas este mai complicat cognitiv decât cel dinaintea lui.

multe animale pot trece prin primii trei pași. Dar ultima etapă, cea mai dificilă, este „rezervată pentru noi oamenii”, spune Nieder.

primul este doar o experiență senzorială simplă a stimulului care se desfășoară și se oprește. Aceasta este abilitatea simplă de a observa o lumină pâlpâitoare și oprită. Sau un zgomot care se aprinde și se oprește.

al doilea este înțelegerea comportamentală. În acest stadiu, animalele nu numai că pot recunoaște lipsa unui stimul, ci pot reacționa la acesta. Când o persoană a rămas fără mâncare, știe să meargă și să găsească mai multe.

a treia etapă este recunoașterea faptului că zero, sau un container gol, este o valoare mai mică decât una. Acest lucru este dificil, deși un număr surprinzător de animale, inclusiv albinele și maimuțele, pot recunoaște acest fapt. Este înțelegerea „că nimic nu are o categorie cantitativă”, spune Nieder.

a patra etapă este luarea absenței unui stimul și tratarea acestuia ca un simbol și un instrument logic pentru rezolvarea problemelor. Niciun animal din afara oamenilor, spune el,” oricât de inteligent ar fi”, nu înțelege că zero poate fi un simbol.

dar chiar și oamenii bine educați pot încă să se poticnească puțin când se gândesc la zero. Studiile au arătat că adulții au nevoie de câteva momente mai mult pentru a recunoaște numărul zero în comparație cu alte cifre. Și când experimentul lui Brannon de a alege cel mai mic număr de cărți se repetă cu adulții, acestea durează puțin mai mult atunci când se decide între zero și unu, decât atunci când se compară zero cu un număr mai mare.

asta sugerează că zero, chiar și pentru adulți, necesită un efort suplimentar de putere a creierului pentru a procesa.

ce altceva nu poate înțelege nimic?

Getty Images/EyeEm

s-ar putea să nu ne naștem cu abilitatea de a înțelege zero. Dar capacitatea noastră de a o învăța poate avea rădăcini evolutive profunde, așa cum ne arată o nouă știință.

al patrulea pas în gândirea la zero — adică gândirea la zero ca simbol — poate fi unic pentru oameni. Dar un număr surprinzător de animale pot ajunge la Pasul trei: recunoscând că zero este mai mic decât unul.

chiar și albinele o pot face.

Scarlett Howard, doctorand la Royal Melbourne Institute of Technology, a publicat recent un experiment în știință care este aproape identic cu cel făcut de Brannon cu copiii. Albinele au ales pagina goală 60-70% din timp. Și au fost semnificativ mai buni la discriminarea unui număr mare, cum ar fi șase, de la zero, decât la discriminarea unuia de la zero. La fel ca și copiii.

acest lucru este impresionant, având în vedere că „avem acest creier mare de mamifere, dar albinele au un creier atât de mic, care cântărește mai puțin decât un miligram”, spune Howard. Grupul ei de cercetare speră să înțeleagă modul în care albinele fac aceste calcule în mintea lor, cu scopul de a folosi într-o zi aceste informații pentru a construi computere mai eficiente.

în experimente similare, cercetătorii au arătat că maimuțele pot recunoaște setul gol (și sunt adesea mai bune la el decât oamenii de 4 ani). Dar faptul că albinele o pot face este uimitor, având în vedere cât de departe sunt de noi pe copacii evolutivi ai vieții. „Ultimul strămoș comun dintre noi și albine a trăit acum aproximativ 600 de milioane de ani, ceea ce este o eternitate în vremurile evolutive”, spune Nieder.

noi, oamenii, am ajuns să înțelegem zero ca număr acum 1.500 de ani. Ceea ce ne arată experimentele pe albine și maimuțe este că nu este doar munca ingeniozității noastre. Este, de asemenea, probabil, lucrarea culminantă a evoluției.

există încă mari mistere despre zero. Pentru unul, Nieder spune „cu greu știm nimic” despre modul în care creierul îl procesează fizic. Și nu știm câte animale pot înțelege ideea de nimic ca cantitate.

dar ceea ce matematica ne-a arătat clar este că atunci când investigăm nimic, suntem obligați să găsim ceva.