L’étrangeté du nombre zéro, expliquée

L’ordinateur sur lequel vous lisez cet article fonctionne actuellement sur une chaîne binaire de zéros et de uns. Sans zéro, l’électronique moderne n’existerait pas. Sans zéro, il n’y a pas de calcul, ce qui signifie pas d’ingénierie ou d’automatisation moderne. Sans zéro, une grande partie de notre monde moderne s’effondre littéralement.

La découverte de zéro par l’humanité a « totalement changé la donne… équivalent à nous apprendre une langue « , explique Andreas Nieder, chercheur en sciences cognitives à l’Université de Tübingen en Allemagne.

Mais pendant la grande majorité de notre histoire, les humains n’ont pas compris le nombre zéro. Ce n’est pas inné en nous. Nous avons dû l’inventer. Et nous devons continuer à l’enseigner à la prochaine génération.

D’autres animaux, comme les singes, ont évolué pour comprendre le concept rudimentaire de rien. Et les scientifiques viennent de signaler que même de minuscules cerveaux d’abeilles peuvent calculer zéro. Mais ce ne sont que les humains qui ont saisi zéro et l’ont transformé en outil.

Ne prenons donc pas zéro pour acquis. Rien n’est fascinant. Voici pourquoi.

Qu’est-ce que zéro, de toute façon?

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Notre compréhension du zéro est profonde si l’on considère ce fait: Nous ne rencontrons pas souvent, ou peut-être jamais, le zéro dans la nature.

Les nombres comme un, deux et trois ont une contrepartie. Nous pouvons voir une lumière clignoter. Nous pouvons entendre deux bips d’un klaxon de voiture. Mais zéro ? Cela nous oblige à reconnaître que l’absence de quelque chose est une chose en soi.

« Zéro est dans l’esprit, mais pas dans le monde sensoriel », explique Robert Kaplan, professeur de mathématiques à Harvard et auteur d’un livre sur zéro. Même dans les étendues vides de l’espace, si vous pouvez voir des étoiles, cela signifie que vous êtes baigné par leur rayonnement électromagnétique. Dans le vide le plus sombre, il y a toujours quelque chose. Peut—être qu’un vrai zéro — qui signifie le néant absolu – a peut-être existé avant le Big Bang. Mais nous ne pouvons jamais savoir.

Néanmoins, zéro n’a pas besoin d’exister pour être utile. En fait, nous pouvons utiliser le concept de zéro pour dériver tous les autres nombres de l’univers.

Kaplan m’a guidé à travers un exercice de pensée décrit pour la première fois par le mathématicien John von Neumann. C’est trompeusement simple.

Imaginez une boîte sans rien dedans. Les mathématiciens appellent cette boîte vide « l’ensemble vide. » C’est une représentation physique de zéro. Qu’y a-t-il dans la boîte vide? Rien.

Prenez maintenant une autre boîte vide et placez-la dans la première.

Combien de choses sont dans la première boîte maintenant?

Il y a un objet dedans. Ensuite, mettez une autre boîte vide à l’intérieur des deux premiers. Combien d’objets contient-il maintenant ? Deux. Et c’est ainsi que « nous dérivons tous les nombres de comptage de zéro from de rien », explique Kaplan. C’est la base de notre système de numération. Zéro est à la fois une abstraction et une réalité. « C’est le rien qui est », comme l’a dit Kaplan. (À ce stade de l’histoire, vous voudrez peut-être prendre un autre coup sur votre bang.)

Il l’a ensuite mis en termes plus poétiques. « Zéro représente l’horizon lointain qui nous fait signe sur la voie des horizons dans les peintures », dit-il. « Cela unifie l’ensemble du tableau. Si vous regardez zéro, vous ne voyez rien. Mais si vous regardez à travers elle, vous voyez le monde. C’est l’horizon. »

Une fois que nous avons zéro, nous avons des nombres négatifs. Zéro nous aide à comprendre que nous pouvons utiliser les mathématiques pour penser à des choses qui n’ont pas de contrepartie dans une expérience physique vécue; les nombres imaginaires n’existent pas mais sont cruciaux pour comprendre les systèmes électriques. Le zéro nous aide aussi à comprendre son antithèse, l’infini, dans toute sa bizarrerie extrême. (Saviez-vous qu’une infinité peut être plus grande qu’une autre ?)

Pourquoi zéro est si utile en mathématiques

L’influence de zéro sur nos mathématiques aujourd’hui est double. Un: C’est un chiffre d’espace réservé important dans notre système de numération. Deux: C’est un nombre utile en soi.

Les premières utilisations du zéro dans l’histoire de l’humanité remontent à environ 5 000 ans, à l’ancienne Mésopotamie. Là, il a été utilisé pour représenter l’absence d’un chiffre dans une chaîne de nombres.

Voici un exemple de ce que je veux dire: Pensez au nombre 103. Le zéro dans ce cas signifie « il n’y a rien dans la colonne des dizaines. »C’est un espace réservé qui nous aide à comprendre que ce nombre est cent trois et non 13.

D’accord, vous pensez peut-être: « c’est basique. »Mais les anciens Romains ne le savaient pas. Vous rappelez-vous comment les Romains ont écrit leurs chiffres? 103 en chiffres romains est CIII. Le nombre 99 est XCIX. Vous essayez d’ajouter CIII + XCIX. C’est absurde. La notation d’espace réservé est ce qui nous permet d’ajouter, de soustraire et de manipuler facilement des nombres. La notation d’espace réservé est ce qui nous permet de résoudre des problèmes mathématiques compliqués sur une feuille de papier.

Si zéro était resté simplement un chiffre d’espace réservé, il aurait été un outil profond en soi. Mais il y a environ 1500 ans (ou peut-être même plus tôt), en Inde, zéro est devenu son propre nombre, ne signifiant rien. Les anciens Mayas, en Amérique centrale, ont également développé indépendamment le zéro dans leur système de numération à l’aube de l’ère commune.

Au VIIe siècle, le mathématicien indien Brahmagupta a écrit ce qui est reconnu comme la première description écrite de l’arithmétique du zéro:

Lorsque zéro est ajouté à un nombre ou soustrait d’un nombre, le nombre reste inchangé; et un nombre multiplié par zéro devient zéro.

Zéro s’est lentement répandu à travers le Moyen-Orient avant d’atteindre l’Europe, et l’esprit du mathématicien Fibonacci dans les années 1200, qui a popularisé le système de chiffres « arabes » que nous utilisons tous aujourd’hui.

À partir de là, l’utilité de zéro a explosé. Pensez à n’importe quel graphique qui trace une fonction mathématique commençant à 0,0. Cette méthode désormais omniprésente de représentation graphique n’a été inventée qu’au 17ème siècle, après que zéro se soit répandu en Europe. Ce siècle a également vu un tout nouveau domaine des mathématiques qui dépend de zéro: le calcul.

Vous vous souvenez peut-être des mathématiques du lycée ou du collège que la fonction la plus simple en calcul consiste à prendre une dérivée. Une dérivée est simplement la pente d’une droite qui croise un seul point sur un graphique.

Pour calculer la pente d’un seul point, vous avez généralement besoin d’un point de comparaison: rise over run. Ce qu’Isaac Newton et Gottfried Leibniz ont découvert en inventant le calcul, c’est que calculer cette pente en un seul point implique de se rapprocher encore plus, de plus en plus — mais jamais réellement — en divisant par zéro.

« Tous les processus infinis pivotent, dansent, autour de la notion de zéro », dit Robert Kaplan. Ouah.

Pourquoi le zéro est-il si profond qu’une idée humaine?

Nous ne sommes pas nés avec une compréhension de zéro. Nous devons l’apprendre, et cela prend du temps.

Elizabeth Brannon est une neuroscientifique de l’Université Duke qui étudie comment les humains et les animaux représentent les nombres dans leur esprit. Elle explique que même lorsque les enfants de moins de 6 ans comprennent que le mot « zéro » signifie « rien », ils ont toujours du mal à saisir les mathématiques sous-jacentes. « Lorsque vous demandez quel nombre est le plus petit, zéro ou un, ils pensent souvent à un comme le plus petit nombre », explique Brannon. « Il est difficile d’apprendre que zéro est plus petit qu’un. »

Dans les expériences, Brannon jouera souvent à un jeu avec des enfants de 4 ans. Elle va mettre une paire de cartes sur une table ou un écran. Et chaque carte aura un certain nombre d’objets dessus. Une carte aura deux points, par exemple. Un autre en aura trois. Voici un exemple de ce qu’ils pourraient voir.

Tendances en sciences cognitives

Elle demandera simplement aux enfants de choisir la carte avec le moins d’objets. Lorsqu’une carte avec rien dessus est associée à une carte avec un objet dessus, moins de la moitié des enfants obtiendront la bonne réponse.

Tendances en sciences cognitives

Alors qu’arrive-t-il pour que tout clique?

Andreas Nieder, le scientifique cognitif allemand, émet l’hypothèse qu’il existe quatre étapes psychologiques pour comprendre zéro, et chaque étape est plus compliquée sur le plan cognitif que celle qui l’a précédée.

De nombreux animaux peuvent franchir les trois premières étapes. Mais la dernière étape, la plus difficile, est « réservée à nous, les humains », dit Nieder.

Le premier est d’avoir simplement l’expérience sensorielle simple du stimulus qui va et vient. C’est la capacité simple de remarquer une lumière qui scintille et s’éteint. Ou un bruit qui s’allume et s’éteint.

La seconde est la compréhension comportementale. À ce stade, non seulement les animaux peuvent reconnaître un manque de stimulus, mais ils peuvent y réagir. Lorsqu’un individu est à court de nourriture, il sait aller en trouver plus.

La troisième étape consiste à reconnaître que zéro, ou un conteneur vide, est une valeur inférieure à un. C’est délicat, bien qu’un nombre surprenant d’animaux, y compris les abeilles et les singes, puissent reconnaître ce fait. C’est comprendre « que rien n’a une catégorie quantitative », dit Nieder.

La quatrième étape consiste à prendre en compte l’absence de stimulus et à le traiter comme un symbole et un outil logique pour résoudre les problèmes. Aucun animal en dehors des humains, dit-il, « aussi intelligent soit-il », ne comprend que zéro peut être un symbole.

Mais même les humains bien éduqués peuvent encore trébucher un peu en pensant à zéro. Des études ont montré que les adultes prennent quelques instants de plus pour reconnaître le nombre zéro par rapport aux autres chiffres. Et lorsque l’expérience de carte à choisir le plus petit nombre de Brannon est répétée avec des adultes, ils prennent un peu plus de temps lorsqu’ils décident entre zéro et un, que lorsqu’ils comparent zéro à un plus grand nombre.

Cela suggère que zéro, même pour les adultes, demande un effort supplémentaire de puissance cérébrale pour traiter.

Quoi d’autre ne peut rien comprendre?

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Nous ne sommes peut-être pas nés avec la capacité de comprendre zéro. Mais notre capacité à l’apprendre peut avoir des racines évolutives profondes, comme certaines nouvelles sciences nous le montrent.

La quatrième étape dans la pensée de zéro — c’est—à-dire penser à zéro en tant que symbole – peut être unique aux humains. Mais un nombre surprenant d’animaux peut passer à la troisième étape: reconnaître que zéro est inférieur à un.

Même les abeilles peuvent le faire.

Scarlett Howard, doctorante au Royal Melbourne Institute of Technology, a récemment publié une expérience scientifique presque identique à celle que Brannon a faite avec des enfants. Les abeilles choisissaient la page blanche 60 à 70% du temps. Et ils étaient nettement meilleurs pour discriminer un grand nombre, comme six, à partir de zéro, qu’ils ne l’étaient pour discriminer un à partir de zéro. Tout comme les enfants.

C’est impressionnant, étant donné que « nous avons ce gros cerveau de mammifère, mais les abeilles ont un cerveau si petit qui pèse moins d’un milligramme », explique Howard. Son groupe de recherche espère comprendre comment les abeilles font ces calculs dans leur esprit, dans le but d’utiliser un jour ces informations pour construire des ordinateurs plus efficaces.

Dans des expériences similaires, les chercheurs ont montré que les singes peuvent reconnaître l’ensemble vide (et y sont souvent meilleurs que les humains de 4 ans). Mais le fait que les abeilles puissent le faire est assez étonnant, compte tenu de la distance qu’elles sont loin de nous sur les arbres évolutifs de la vie. « Le dernier ancêtre commun entre nous et les abeilles a vécu il y a environ 600 millions d’années, ce qui est une éternité à l’époque de l’évolution », explique Nieder.

Nous, les humains, n’avons peut-être compris zéro qu’il y a 1 500 ans. Ce que les expériences sur les abeilles et les singes nous montrent, c’est que ce n’est pas seulement le travail de notre ingéniosité. C’est aussi, peut-être, le travail culminant de l’évolution.

Il y a encore de grands mystères sur zéro. D’une part, Nieder dit « nous ne savons presque rien » de la façon dont le cerveau le traite physiquement. Et nous ne savons pas combien d’animaux peuvent saisir l’idée de rien comme quantité.

Mais ce que les mathématiques nous ont clairement montré, c’est que lorsque nous n’enquêtons sur rien, nous sommes obligés de trouver quelque chose.