umysłowa dziwność liczby zero, wyjaśniona

komputer, na którym teraz czytasz ten artykuł, działa na binarnych ciągach zer i jedynek. Bez zera nowoczesna elektronika nie istniałaby. Bez zera nie ma rachunku różniczkowego, co oznacza brak nowoczesnej inżynierii czy automatyzacji. Bez zera wiele z naszego współczesnego świata dosłownie się rozpada.

odkrycie zera przez ludzkość było ” totalnym przełomem… odpowiednik nauki języka w USA”, mówi Andreas Nieder, kognitywista z Uniwersytetu w Tybindze w Niemczech.

ale przez większość naszej historii ludzie nie rozumieli liczby zero. To nie jest wrodzone w nas. Musieliśmy to wymyślić. I musimy dalej uczyć go następnego pokolenia.

inne zwierzęta, takie jak małpy, rozwinęły się, aby zrozumieć podstawowe pojęcie niczego. Naukowcy właśnie donieśli, że nawet małe mózgi pszczół mogą obliczyć zero. Ale tylko ludzie przejęli zero i zamienili je w narzędzie.

więc nie bierzmy zera za pewnik. Nic nie jest fascynujące. Oto dlaczego.

co to jest zero?

Getty Images

nasze zrozumienie zera jest głębokie, jeśli wziąć pod uwagę ten fakt: nie często, a może nawet nigdy, spotykamy zero w naturze.

liczby takie jak jeden, dwa i trzy mają odpowiedniki. Możemy zobaczyć jeden błysk światła. Słyszymy dwa sygnały dźwiękowe z klaksonu samochodowego. Ale zero? Wymaga od nas uznania, że brak czegoś jest rzeczą samą w sobie.

„Zero jest w umyśle, ale nie w świecie zmysłów” – mówi Robert Kaplan, profesor matematyki na Harvardzie i autor książki o zerze. Nawet w pustych zakamarkach kosmosu, jeśli widzisz gwiazdy, to znaczy, że jesteś skąpany w ich promieniowaniu elektromagnetycznym. W najciemniejszej pustce zawsze coś jest. Być może prawdziwe zero — oznaczające absolutną nicość — mogło istnieć w czasach przed Wielkim Wybuchem. Ale nigdy się nie dowiemy.

jednak zero nie musi istnieć, aby było użyteczne. W rzeczywistości, możemy użyć pojęcia zera do wyprowadzenia wszystkich innych liczb we wszechświecie.

Kaplan przeprowadził mnie przez ćwiczenie myśli opisane po raz pierwszy przez matematyka Johna von Neumanna. To zwodniczo proste.

wyobraź sobie pudełko z niczym. Matematycy nazywają to puste pole ” pustym zbiorem.”To fizyczna reprezentacja zera. Co jest w pustym pudełku? Nic.

teraz weź kolejne puste pole i umieść je w pierwszym.

ile rzeczy jest teraz w pierwszym pudełku?

jest w nim jeden obiekt. Następnie umieść kolejne puste pudełko w pierwszych dwóch. Ile obiektów teraz zawiera? Dwa. I w ten sposób „wyciągamy wszystkie liczby z zera … z niczego”, mówi Kaplan. To jest podstawa naszego systemu liczbowego. Zero jest jednocześnie abstrakcją i rzeczywistością. „To nic, co jest”, jak powiedział Kaplan. (W tym momencie historii możesz chcieć ponownie uderzyć w Bonga.)

ujął to w bardziej poetycki sposób. „Zero stoi tak, jak daleki horyzont kusi nas na sposób, w jaki horyzonty robią w obrazach” – mówi. „To jednoczy cały obraz. Jeśli spojrzysz na zero, nic nie zobaczysz. Ale jeśli spojrzysz przez to, zobaczysz świat. To horyzont.”

gdy mamy zero, mamy liczby ujemne. Zero pomaga nam zrozumieć, że możemy używać matematyki do myślenia o rzeczach, które nie mają odpowiednika w fizycznym doświadczeniu; liczby urojone nie istnieją, ale są kluczowe dla zrozumienia systemów elektrycznych. Zero pomaga nam również zrozumieć jego antytezę, nieskończoność, w całej jego ekstremalnej dziwności. (Czy wiesz, że jedna nieskończoność może być większa od drugiej?

dlaczego zero jest tak cholernie przydatne w matematyce

wpływ zera na naszą dzisiejszą matematykę jest dwojaki. Po pierwsze: to ważna cyfra zastępcza w naszym systemie liczbowym. Po drugie: to samo w sobie użyteczna liczba.

pierwsze użycie zera w historii ludzkości sięga około 5000 lat temu, do starożytnej Mezopotamii. Tam był używany do reprezentowania braku cyfry w ciągu liczb.

oto przykład tego, co mam na myśli: pomyśl o liczbie 103. Zero w tym przypadku oznacza „nie ma nic w kolumnie tens.”Jest to Element Zastępczy, który pomaga nam zrozumieć, że ta liczba to sto trzy, a nie 13.

ok, mozesz myslec:”Ale starożytni Rzymianie nie wiedzieli o tym. Pamiętasz, jak Rzymianie spisywali swoje liczby? 103 w cyfrach rzymskich to CIII. Liczba 99 to XCIX. spróbuj dodać CIII + XCIX. to absurd. Notacja zastępcza pozwala nam łatwo dodawać, odejmować i w inny sposób manipulować liczbami. Notacja zastępcza pozwala nam na rozwiązywanie skomplikowanych problemów matematycznych na kartce papieru.

gdyby zero pozostało po prostu cyfrą zastępczą, byłoby samo w sobie głębokim narzędziem. Ale około 1500 lat temu (a może nawet wcześniej), w Indiach, zero stało się liczbą własną, nic nie oznaczającą. Starożytni Majowie, w Ameryce Środkowej, również niezależnie opracowali zero w swoim systemie liczbowym około początku wspólnej ery.

w VII wieku Indyjski matematyk Brahmagupta zapisał to, co uznaje się za pierwszy pisemny opis arytmetyki zera:

gdy zero jest dodawane do liczby lub odejmowane od liczby, liczba pozostaje bez zmian; a liczba pomnożona przez zero staje się zerem.

Zero powoli rozprzestrzenił się na Bliski Wschód, zanim dotarł do Europy, a umysł matematyka Fibonacciego w 1200 roku, który spopularyzował „Arabski” system liczbowy, którego wszyscy używamy dzisiaj.

stamtąd eksplodowała użyteczność zera. Pomyśl o dowolnym wykresie, który wykreśla funkcję matematyczną zaczynającą się od 0,0. Ta obecnie wszechobecna metoda grafowania została wynaleziona dopiero w XVII wieku po tym, jak zero rozprzestrzeniło się na Europę. W tym stuleciu pojawiła się zupełnie nowa dziedzina matematyki, która zależy od zera: rachunek różniczkowy.

możesz sobie przypomnieć z matematyki w liceum lub na studiach, że najprostszą funkcją w rachunku różniczkowym jest wzięcie pochodnej. Pochodna to po prostu nachylenie linii przecinającej się z jednym punktem na wykresie.

aby obliczyć nachylenie pojedynczego punktu, zwykle potrzebujesz punktu porównania: rise over run. Isaac Newton i Gottfried Leibniz odkryli, że obliczanie nachylenia w jednym punkcie wymaga coraz bliższego i bliższego — ale nigdy w rzeczywistości — dzielenia przez zero.

„wszystkie nieskończone procesy obracają się wokół, tańczą wokół, pojęcie zera” – mówi Robert Kaplan. Whoa.

dlaczego zero jest tak głębokie jak ludzka idea?

nie rodzimy się ze zrozumieniem zera. Musimy się tego nauczyć, a to wymaga czasu.

Elizabeth Brannon jest neurologiem na Duke University, który bada, jak ludzie i zwierzęta reprezentują liczby w ich umysłach. Wyjaśnia, że nawet jeśli dzieci w wieku poniżej 6 lat rozumieją, że słowo” zero „oznacza” nic”, nadal mają trudności z opanowaniem podstawowej matematyki. „Kiedy pytasz, która liczba jest mniejsza, zero lub jeden, często myślą o jednej jako o najmniejszej liczbie”, mówi Brannon. „Trudno się nauczyć, że zero jest mniejsze od jedynki.”

w eksperymentach Brannon często gra w grę z 4-latkami. Wystawi parę kart na stole lub ekranie. A każda karta będzie miała na sobie kilka przedmiotów. Na przykład jedna karta będzie miała dwie kropki. Inny będzie miał trzy. Oto przykład tego, co mogą zobaczyć.

trendy w kognitywistyce

po prostu poprosi dzieci o wybranie karty z jak najmniejszą liczbą obiektów. Gdy karta bez niczego zostanie sparowana z kartą z jednym przedmiotem, mniej niż połowa dzieci uzyska właściwą odpowiedź.

trendy w kognitywistyce

więc co się dzieje, aby to wszystko kliknąć?

Andreas Nieder, poznawczy naukowiec z Niemiec, stawia hipotezę, że istnieją cztery psychologiczne kroki, aby zrozumieć zero, a każdy krok jest bardziej skomplikowany poznawczo niż poprzedni.

wiele zwierząt może przejść przez pierwsze trzy kroki. Ale ostatni etap, najtrudniejszy, jest „zarezerwowany dla nas, ludzi” – mówi Nieder.

pierwszy to po prostu proste doświadczenie sensoryczne bodźca, które się włącza i wyłącza. Jest to prosta zdolność do zauważenia migotania i wyłączania światła. Lub hałas włączający i wyłączający.

drugie to zrozumienie behawioralne. Na tym etapie zwierzęta nie tylko mogą rozpoznać brak bodźca, ale mogą na niego zareagować. Kiedy osobie zabraknie jedzenia, wie, aby iść i znaleźć więcej.

trzeci etap polega na rozpoznaniu, że zero lub pusty pojemnik jest wartością mniejszą niż jeden. Jest to trudne, choć zaskakująca liczba zwierząt, w tym pszczoły miodne i małpy, może rozpoznać ten fakt. Rozumie się, że „nic nie ma kategorii ilościowej” – mówi Nieder.

czwarty etap to brak bodźca i traktowanie go jako symbolu i logicznego narzędzia do rozwiązywania problemów. Żadne zwierzę poza ludźmi, mówi, „bez względu na to, jak mądre”, nie rozumie, że zero może być symbolem.

ale nawet dobrze wykształceni ludzie mogą się trochę potknąć, gdy myślą o zerze. Badania wykazały, że dorośli zajmują kilka chwil dłużej, aby rozpoznać liczbę zero w porównaniu do innych cyfr. A kiedy eksperyment Brannona z kartą pick-the-lowest-number-card powtarza się z dorosłymi, trwa to nieco dłużej przy podejmowaniu decyzji między zerem a jedynką, niż przy porównywaniu zera z większą liczbą.

to sugeruje, że zero, nawet dla dorosłych, wymaga dodatkowego wysiłku mocy mózgu, aby przetworzyć.

co innego nic nie rozumie?

Getty Images/EyeEm

możemy nie urodzić się ze zdolnością do zrozumienia zera. Ale nasza zdolność uczenia się tego może mieć głębokie korzenie ewolucyjne, jak pokazuje nam nowa nauka.

czwarty krok w myśleniu o zerze — czyli myślenie o zerze jako symbolu-może być unikalny dla ludzi. Ale zaskakująca liczba zwierząt może przejść do kroku trzeciego: rozpoznanie, że zero jest mniejsze niż jeden.

nawet pszczoły to potrafią.

Scarlett Howard, doktorantka w Royal Melbourne Institute of Technology, niedawno opublikowała eksperyment naukowy, który jest prawie identyczny z tym, który Brannon zrobił z dziećmi. Pszczoły wybierały pustą stronę od 60 do 70% czasu. I byli znacznie lepsi w rozróżnianiu dużej liczby, jak sześć, od zera, niż w rozróżnianiu jednej od zera. Tak jak dzieci.

to jest imponujące, biorąc pod uwagę, że „mamy ten duży mózg ssaków, ale pszczoły mają mózg, który jest tak mały, waży mniej niż miligram”, mówi Howard. Jej grupa badawcza ma nadzieję zrozumieć, jak pszczoły wykonują te obliczenia w swoich umysłach, mając na celu pewnego dnia wykorzystanie tych spostrzeżeń do budowy bardziej wydajnych komputerów.

w podobnych eksperymentach naukowcy wykazali, że małpy potrafią rozpoznać pusty zestaw (i często są w tym lepsi niż Czteroletni ludzie). Ale fakt, że pszczoły mogą to zrobić, jest zdumiewający, biorąc pod uwagę, jak daleko są od nas na ewolucyjnych drzewach życia. „Ostatni wspólny przodek między nami a pszczołami żył około 600 milionów lat temu, co jest wiecznością w czasach ewolucyjnych”, mówi Nieder.

my ludzie mogliśmy zrozumieć zero jako liczbę dopiero 1500 lat temu. Eksperymenty na pszczołach i małpach pokazują nam, że to nie tylko sprawka naszej pomysłowości. Jest to również, być może, kulminacyjne dzieło ewolucji.

nadal istnieją wielkie tajemnice o zerze. Po pierwsze, Nieder mówi „prawie nic nie wiemy” o tym, jak mózg fizycznie go przetwarza. I nie wiemy, jak wiele zwierząt może pojąć ideę niczego jako ilości.

ale to, co matematyka wyraźnie nam pokazała, to to, że kiedy niczego nie badamy, na pewno coś znajdziemy.