generelle observationer
sandsynligvis den mest naturlige tilgang til formel logik er gennem ideen om gyldigheden af et argument af den slags kendt som deduktiv. Et deduktivt argument kan groft karakteriseres som et, hvor påstanden fremsættes om, at noget forslag (konklusionen) følger med streng nødvendighed fra et andet forslag eller forslag (præmisserne)—dvs.at det ville være inkonsekvent eller selvmodsigende at hævde lokalerne, men benægte konklusionen.
hvis et deduktivt argument skal lykkes med at fastslå sandheden i dens konklusion, skal to helt forskellige betingelser være opfyldt: for det første skal konklusionen virkelig følge af præmisserne—dvs.fradraget af konklusionen fra præmisserne skal være logisk korrekt—og for det andet skal præmisserne selv være sande. Et argument, der opfylder begge disse betingelser, kaldes lyd. Af disse to betingelser er logikeren som sådan kun bekymret for den første; det andet, bestemmelsen af sandheden eller falskheden i lokalerne, er opgaven med en særlig disciplin eller fælles observation, der passer til argumentets genstand. Når konklusionen af et argument er korrekt fradragsberettiget fra dets lokaler, siges konklusionen fra lokalerne til konklusionen at være (deduktivt) gyldig, uanset om lokalerne er sande eller falske. Andre måder at udtrykke det faktum, at en slutning er deduktivt gyldig, er at sige, at sandheden i præmisserne giver (eller ville give) en absolut garanti for sandheden i konklusionen, eller at det ville indebære en logisk inkonsekvens (adskilt fra en simpel fejltagelse) at antage, at præmisserne var sande, men konklusionen falske.
de deduktive slutninger, som formel logik vedrører, er, som navnet antyder, dem, for hvilke gyldighed ikke afhænger af nogen træk ved deres emne, men af deres form eller struktur. Således er de to slutninger (1) Hver hund er et pattedyr. Nogle firbenede er hunde. Nogle firbenede er pattedyr. og (2) Enhver anarkist er en troende på fri kærlighed. Nogle medlemmer af regeringspartiet er anarkister. Nogle medlemmer af regeringspartiet tror på fri kærlighed. forskellige i emne og kræver derfor forskellige procedurer for at kontrollere sandheden eller falskheden i deres lokaler. Men deres gyldighed er sikret ved, hvad de har til fælles—nemlig at argumentet i hver er af formen(3) hver er en Y. nogle er s. nogle er s.
linje (3) ovenfor kan kaldes en inference form, og (1) og (2) er så forekomster af denne inference form. Bogstaverne-H, Y og å—in (3) markerer de steder, hvor udtryk af en bestemt type kan indsættes. Symboler, der bruges til dette formål, er kendt som variabler; deres anvendelse er analog med den i algebra, som markerer det sted, hvor et tal kan indsættes. En forekomst af en inferensform produceres ved at erstatte alle variablerne i den med passende udtryk (dvs.dem, der giver mening i sammenhængen) og ved at gøre det ensartet (dvs. ved at erstatte det samme udtryk, hvor den samme variabel gentager sig). Funktionen ved (3), der garanterer, at enhver forekomst af den vil være gyldig, er dens konstruktion på en sådan måde, at enhver ensartet måde at erstatte dens variabler for at gøre lokalerne sande automatisk gør konklusionen også sand, eller med andre ord, at ingen forekomst af den kan have sande forudsætninger, men en falsk konklusion. I kraft af denne funktion betegnes formularen (3) en gyldig inferensform. I modsætning hertil er (4) Hver K er en Y. nogle K er Y ‘ er. er ikke en gyldig slutningsform, for selv om der kan frembringes tilfælde af det, hvor lokaler og konklusion alle er sande, kan der også frembringes tilfælde af det, hvor lokalerne er sande, men konklusionen er falsk—f.eks. (5) hver hund er et pattedyr. Nogle vingede væsner er pattedyr. Nogle vingede væsner er hunde.
formel logik som en undersøgelse vedrører inferens former snarere end med bestemte forekomster af dem. En af dens opgaver er at skelne mellem gyldige og ugyldige inferens former og at udforske og systematisere de relationer, der holder blandt gyldige.
nært beslægtet med ideen om en gyldig inferens form er den af en gyldig proposition form. En propositionsform er et udtryk, hvor forekomsterne (produceret som før ved passende og ensartede erstatninger for variabler) ikke er slutninger fra flere propositioner til en konklusion, men snarere propositioner taget individuelt, og en gyldig propositionsform er en, for hvilken alle tilfælde er sande propositioner. Et simpelt eksempel er(6) intet er både en H og en ikke-H. formel logik handler om propositionsformer såvel som med slutningsformer. Undersøgelsen af propositionsformer kan faktisk gøres til at omfatte den af inference former på følgende måde: lad præmisserne for en given inference form (taget sammen) forkortes med alfa (kror) og dens konklusion med beta (kror). Så er den betingelse, der er anført ovenfor for gyldigheden af den følgeslutning form “α, derfor β” som at sige, at ingen instans af proposition form “α og β”, er sandt—dvs, at hver forekomst af den proposition form(7) Ikke begge: α og β er sandt—eller line (7), fuldt beskrevet, selvfølgelig, er en gyldig proposition form. Undersøgelsen af propositionsformer kan imidlertid ikke på lignende måde imødekommes under studiet af inferens former, og af grunde til omfattende er det sædvanligt at betragte formel logik som studiet af propositionsformer. Fordi en logikers håndtering af propositionsformer på mange måder er analog med en matematikers håndtering af numeriske formler, kaldes de systemer, han konstruerer, ofte beregninger.
meget af en logikers arbejde fortsætter på et mere abstrakt niveau end den foregående diskussion. Selv en formel som (3) ovenfor, selvom den ikke henviser til noget specifikt emne, indeholder udtryk som “hver” og “er en”, som anses for at have en bestemt betydning, og variablerne er beregnet til at markere stederne for udtryk af en bestemt art (groft, almindelige navneord eller klassenavne). Det er dog muligt—og til nogle formål er det vigtigt-at studere formler uden at knytte selv denne grad af meningsfuldhed til dem. Opførelsen af et system af logik involverer faktisk to skelnelige processer: den ene består i at oprette et symbolsk apparat—et sæt symboler, regler for strengning af disse sammen i formler og regler for manipulation af disse formler; det andet består i at vedhæfte visse betydninger til disse symboler og formler. Hvis kun førstnævnte er færdig, siges systemet at være ufortolket eller rent formelt; hvis sidstnævnte også gøres, siges systemet at blive fortolket. Denne sondring er vigtig, fordi logiske systemer viser sig at have visse egenskaber helt uafhængigt af eventuelle fortolkninger, der kan placeres på dem. Et aksiomatisk system af logik kan tages som et eksempel – dvs. et system, hvor visse uprøvede formler, kendt som aksiomer, tages som udgangspunkt, og yderligere formler (sætninger) bevises på styrken af disse. Som det vises senere (se nedenfor Aksiomatisering af PC), afhænger spørgsmålet om, hvorvidt en sekvens af formler i et aksiomatisk system er et bevis eller ej, udelukkende af, hvilke formler der tages som aksiomer, og om, hvad reglerne er for at udlede sætninger fra aksiomer, og slet ikke om, hvad teoremerne eller aksiomerne betyder. Desuden er et givet ufortolket system generelt i stand til at blive fortolket lige så godt på en række forskellige måder; derfor studerer man ved at studere et ufortolket system den struktur, der er fælles for en række fortolkede systemer. Normalt har en logiker, der konstruerer et rent formelt system, en særlig fortolkning i tankerne, og hans motiv til at konstruere det er troen på, at når denne fortolkning gives til det, systemets formler vil være i stand til at udtrykke sande principper inden for et eller andet tankefelt; men af de ovennævnte grunde vil han normalt sørge for at beskrive formlerne og angive systemets regler uden henvisning til fortolkning og som en separat sag angive den fortolkning, han har i tankerne.
mange af de ideer, der bruges i redegørelsen for formel logik, herunder nogle, der er nævnt ovenfor, rejser problemer, der hører til filosofi snarere end til selve logikken. Eksempler er: hvad er den korrekte analyse af begrebet sandhed? Hvad er et forslag, og hvordan er det relateret til den sætning, hvormed det udtrykkes? Er der nogle former for sund ræsonnement, der hverken er deduktive eller induktive? Heldigvis er det muligt at lære at gøre formel logik uden at have tilfredsstillende svar på sådanne spørgsmål, ligesom det er muligt at lave matematik uden at besvare spørgsmål, der hører til matematikfilosofien, såsom: er tal reelle objekter eller mentale konstruktioner?