(b. Finnöy, eine Insel in der Nähe von Stavanger, Norwegen, 5. August 1802; d. Froland, Norwegen, 6. April 1829)
Mathematik.
Abels Vater, Sören Georg Abel, war lutherischer Geistlicher und selbst der Sohn eines Geistlichen. Er war ein begabter und sehr ehrgeiziger Theologe, der an der Universität Kopenhagen ausgebildet wurde, die zu dieser Zeit die einzige derartige Einrichtung im Vereinigten Königreich Dänemark-Norwegen war. Er hatte Ane Marie Simonson geheiratet, die Tochter eines wohlhabenden Kaufmanns und Reeders in der Stadt Risör an der Südküste. Finnöy war die erste Pfarrei für Pastor Abel; Es war klein und mühsam und bestand aus mehreren Inseln. Das Paar hatte sieben Kinder, sechs Söhne und eine Tochter; Niels Henrik war ihr zweites Kind.
1804 wurde Sören Georg Abel zum Nachfolger seines Vaters in der Pfarrei Gjerstad bei Risör ernannt. Die politische Lage in Norwegen war angespannt. Wegen seiner Allianz mit Dänemark war das Land in die napoleonischen Kriege auf der Seite Frankreichs geworfen worden, und eine britische Blockade der Küste verursachte eine weit verbreitete Hungersnot. Pastor Abel war in der nationalistischen Bewegung prominent und arbeitete für die Schaffung separater norwegischer Institutionen — insbesondere einer Universität und einer Nationalbank —, wenn nicht für die völlige Unabhängigkeit. Mit Abschluss des Kieler Friedensvertrages trat Dänemark Norwegen an Schweden ab. Die Norweger revoltierten und schrieben ihre eigene Verfassung, Aber nach einem kurzen und vergeblichen Krieg gegen die Schweden unter Bernadotte waren sie gezwungen, einen Waffenstillstand zu suchen. Eine Vereinigung mit Schweden wurde akzeptiert, und Abels Vater wurde eines der Mitglieder des außerordentlichen Storting, das im Herbst 1814 aufgefordert wurde, die notwendige Revision der neuen Verfassung zu schreiben.
Niels Henrik Abel und seine Brüder erhielten ihren ersten Unterricht von ihrem Vater, aber 1815 wurden Abel und sein älterer Bruder auf die Domschule in Christiania (Oslo) geschickt. Dies war eine alte Schule, zu der viele Beamte in der Provinz ihre Kinder schickten; Einige Stipendien standen zur Verfügung. Die Domschule war ausgezeichnet gewesen, befand sich dann aber auf einem Tiefpunkt, da die meisten ihrer guten Lehrer Stellen an der neuen Universität angenommen hatten, die 1813 mit dem Unterricht begann.
Abel war erst dreizehn Jahre alt, als er das Haus verließ, und es scheint wahrscheinlich, dass das sich verschlechternde Familienleben seine Abreise beschleunigte. In den ersten Jahren waren seine Noten nur zufriedenstellend; dann ging die Qualität seiner Arbeit zurück. Seinem Bruder ging es noch schlechter; Er zeigte Anzeichen einer psychischen Erkrankung und musste schließlich nach Hause geschickt werden.
1817 fand in der Schule ein Ereignis statt, das Abels Leben verändern sollte. Der Mathematiklehrer misshandelte einen der Schüler, der kurz darauf starb, möglicherweise als Folge der Bestrafung. Der Lehrer wurde kurzerhand entlassen und sein Platz wurde von Bernt Michael Holmboe eingenommen, der nur sieben Jahre älter war als Abel. Holmboe diente auch als Assistent von Christoffer Hansteen, Professor für Astronomie und der führende Wissenschaftler an der Universität.
Holmboe brauchte nicht lange, um die außerordentlichen mathematischen Fähigkeiten des jungen Abel zu entdecken. Er begann damit, ihm besondere Probleme zu geben und Bücher außerhalb des Lehrplans zu empfehlen. Die beiden begannen dann, gemeinsam die Analysetexte von Euler und später die Werke der französischen Mathematiker, insbesondere Lagrange und Laplace, zu studieren. Abels Fortschritt war so schnell, dass er bald der wahre Lehrer wurde. Aus den in der Bibliothek der Universität Oslo aufbewahrten Notizbüchern geht hervor, dass er sich schon in diesen frühen Tagen besonders für algebraische Gleichungstheorie interessierte. Als er die Schule beendete, war er mit den meisten wichtigen mathematischen Literatur vertraut. Holmboe war so begeistert von dem mathematischen Genie, das er entdeckt hatte, dass der Rektor der Schule machte ihn moderieren seine Aussagen über Abel in der Aufzeichnung Buch. Aber die Professoren der Universität waren von Holmboe über den vielversprechenden jungen Mann gut informiert und machten seine persönliche Bekanntschaft. Neben Hansteen, der auch angewandte Mathematik lehrte, gab es nur einen Professor für Mathematik. Sören Rasmussen, ehemaliger Lehrer an der Domschule. Rasmussen, ein freundlicher Mann, war kein produktiver Gelehrter; seine Zeit wurde weitgehend von Aufgaben übernommen, die ihm von der Regierung übertragen wurden, insbesondere in seiner Funktion als Administrator der neuen Bank of Norway.
Während seines letzten Schuljahres griff Abel mit der Kraft und Unbescheidenheit der Jugend das Problem der Lösung der quintischen Gleichung an. Dieses Problem war seit den Tagen von del Ferro, Tartaglia, Cardano und Ferrari in der ersten Hälfte des sechzehnten Jahrhunderts hervorragend. Abel glaubte, dass es ihm gelungen war, die Form der Lösung zu finden, aber in Norwegen gab es niemanden, der seine Argumente verstehen konnte, noch gab es eine wissenschaftliche Zeitschrift, in der sie veröffentlicht werden konnten. Hansteen weitergeleitet das Papier an den dänischen Mathematiker Ferdinand Degen, anfordernden seiner Veröffentlichung durch die Dänische Akademie.
Degen konnte keinen Fehler in den Argumenten entdecken, bat aber Abel, seine Methode anhand eines Beispiels zu veranschaulichen. Degen fand das Thema auch etwas steril und schlug vor, dass Abel seine Aufmerksamkeit auf ein Thema richte, „dessen Entwicklung die größten Konsequenzen für die Analyse und Mechanik haben würde. Ich beziehe mich auf die elliptischen Transzendentale . Ein ernsthafter Forscher mit geeigneten Qualifikationen für die Forschung dieser Art wäre keineswegs auf die vielen schönen Eigenschaften dieser bemerkenswertesten Funktionen beschränkt, sondern könnte eine Magellanstraße entdecken, die in weite Weiten eines gewaltigen analytischen Ozeans führt “ (Brief an Hansteen).
Abel begann, seine Beispiele für die Lösung der Gleichung fünften Grades zu konstruieren, entdeckte aber zu seiner Bestürzung, dass seine Methode nicht korrekt war. Er folgte auch Degens Vorschlag über die elliptischen Transzendentale, und es ist wahrscheinlich, dass er innerhalb weniger Jahre seine Theorie der elliptischen Funktionen weitgehend abgeschlossen hatte.
1818 wurde Pastor Abel nach einer erfolglosen Bewerbung 1816 wiedergewählt. Aber seine politische Karriere endete in einer Tragödie. Er machte gewalttätige unbegründete Anschuldigungen gegen andere Vertreter und wurde mit Amtsenthebung bedroht. Dies, zusammen mit seiner Trunkenheit, machte ihn zum Hintern der Presse. Er kehrte in Schande nach Hause zurück, ein desillusionierter Mann. Sowohl er als auch seine Frau litten unter Alkoholismus, und die Bedingungen im Pfarrhaus und in der Pfarrei wurden skandalös. Es wurde allgemein als Erleichterung angesehen, als er 1820 starb. Seine Witwe befand sich in sehr schwierigen Verhältnissen, mit einer kleinen Rente, die kaum ausreichte, um sie und ihre vielen Kinder zu ernähren.
Der mittellose Abel trat im Herbst 1821 in die Universität ein. Er erhielt ein freies Zimmer im Studentenwohnheim und erhielt die Erlaubnis, es mit seinem jüngeren Bruder Peder zu teilen. Aber die neue Institution hatte keine fellowship-Fonds, und einige der Professoren nahm die ungewöhnliche Maßnahme der Unterstützung der jungen Mathematiker aus Ihren eigenen Gehältern. Er war Gast in ihren Häusern und fühlte sich besonders vom Haus Hansteen und von Frau Hansteen und ihren Schwestern angezogen.
Abels erste Aufgabe an der Universität war es, die Voraussetzungen für den Vorabschluss Candidatus Philosophiae zu erfüllen. Als dies erreicht war, war Abel nach einem Jahr ganz auf sich allein gestellt. Es gab keine fortgeschrittenen Kurse in Mathematik und Naturwissenschaften, aber dies scheint kein Handicap gewesen zu sein; In einem Brief aus Paris erklärte er wenig später, er habe praktisch alles in Mathematik gelesen, wichtig oder unwichtig.
Er widmete seine Zeit der fortgeschrittenen Forschung und seine Bemühungen erhielten einen starken Impuls, als Hansteen eine wissenschaftliche Zeitschrift, das Magazin for Naturvidenskaben, gründete. 1823 veröffentlichte diese Zeitschrift Abels ersten Artikel auf Norwegisch, a study of functional equations. Mathematisch war das nicht wichtig. es war auch nicht seine zweite kleine Zeitung. Den Abonnenten des Magazins war jedoch eine populäre Rezension versprochen worden, und Hansteen fühlte sich wahrscheinlich nach Kritik verpflichtet, sich für den Charakter dieser Papiere zu entschuldigen: „Daher glaube ich, dass das Magazin neben wissenschaftlichen Materialien auch die Werkzeuge fördern sollte, die ihrer Analyse dienen. Es wird uns zu verdanken sein, dass wir dem gelehrten Publikum die Gelegenheit gegeben haben, ein Werk aus der Feder dieses talentierten und geschickten Autors kennenzulernen“ (Magazin, 1). Abels nächstes Papier, „Opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp of bestemte Integraler“ („Lösung einiger Probleme durch bestimmte Integrale“), ist von Bedeutung in der Geschichte der Mathematik, da es die erste Lösung einer Integralgleichung enthält. Das Papier, das zu dieser Zeit unbemerkt blieb, zum Teil weil es auf Norwegisch war, befasst sich mit dem mechanischen Problem der Bewegung eines Massenpunkts auf einer Kurve unter dem Einfluss der Gravitation. Im Winter 1822-1823 verfasste Abel auch eine längere Arbeit über die Integration funktionaler Ausdrücke. Das Papier wurde dem Universitätskollegium in der Hoffnung vorgelegt, dass dieses Gremium bei seiner Veröffentlichung behilflich sein würde. das Manuskript ist verschwunden, aber es scheint wahrscheinlich, dass einige der darin erzielten Ergebnisse in einigen späteren Arbeiten Abels enthalten sind.
Früh im Sommer 1823 erhielt Abel ein Geschenk von 100 Daler von Professor Rasmussen, um eine Reise nach Kopenhagen zu finanzieren, um Degen und die anderen dänischen Mathematiker zu treffen. Seine Briefe an Holmboe zeigen die mathematische Inspiration, die er erhielt. Er blieb im Haus seines Onkels und machte hier die Bekanntschaft seiner zukünftigen Verlobten Christine Kemp.
Nach seiner Rückkehr nach Oslo nahm Abel erneut die Frage nach der Lösung der quintischen Gleichung auf. This time he took the reverse view and succeeded in solving the centuries-old problem by proving the impossibility of a radical expression that represents a solution of the general fifth-or higher-degree equation. Abel fully realized the importance of his result, so he had it published, at his own expense, by a local printer. To reach a larger audience, he wrote it in French: „Memoiren über algebraische Gleichungen, wo man die Unmöglichkeit der Lösung der Allgemeinen Gleichung des fünften Grades demonstriert.“To save expense the whole pamphlet was compressed to six-seiten. Die daraus resultierende Kürze machte es wahrscheinlich schwer zu verstehen; Jedenfalls gab es keine Reaktion von einem der ausländischen Mathematiker—einschließlich der großen C.F. Gauss, dem eine Kopie geschickt wurde.
Es war klar geworden, dass Abel nicht mehr von der Unterstützung der Professoren leben konnte. Seine finanziellen Probleme waren durch seine Verlobung mit Christine Kemp verstärkt worden. die als Gouvernante für die Kinder einer in der Nähe von Oslo lebenden Familie nach Norwegen gekommen war.
Abel beantragte ein Reisestipendium, und nach einigen Verzögerungen entschied die Regierung, dass Abel ein kleines Stipendium erhalten sollte, um Sprachen an der Universität zu studieren, um ihn auf Auslandsreisen vorzubereiten. Er sollte dann ein Stipendium von 600 Daler für zwei Jahre Auslandsstudium erhalten.
Abel war enttäuscht über die Verzögerung, aber pflichtbewusst studierte Sprachen, insbesondere Französisch, und nutzte seine Zeit zur Vorbereitung einer beträchtlichen Anzahl von Papieren präsentiert werden, um ausländische Mathematiker. Im Sommer 1825 reiste er mit vier Freunden ab. alle wollten sich auch auf zukünftige wissenschaftliche Karrieren vorbereiten: Einer von ihnen wurde später Professor für Medizin, die drei anderen wurden Geologen. Abels Freunde alle geplant, nach Berlin zu gehen, während Abel, auf Hansteen ’s Beratung, war zu verbringen seine Zeit in Paris, dann der weltweit wichtigsten Zentrum der Mathematik. Abel fürchtete jedoch, einsam zu sein, und beschloss auch, nach Berlin zu gehen, obwohl er genau wusste, dass er das Missfallen seines Beschützers erleiden würde.
Abels Sinneswandlung erwies sich als äußerst glückliche Entscheidung. Auf der Durchreise durch Kopenhagen erfuhr Abel, dass Degen gestorben war, aber er sicherte sich ein Empfehlungsschreiben von einem der anderen dänischen Mathematiker an den Geheimrat August Leopold Crelle. Crelle war ein sehr einflussreicher Ingenieur, intensiv interessiert an Mathematik, obwohl nicht selbst ein starker Mathematiker.
Als Abel Crelle zum ersten Mal anrief, hatte er einige Schwierigkeiten, sich verständlich zu machen. Aber nach einer Weile erkannte Crelle die ungewöhnlichen Eigenschaften seines jungen Besuchers. Die beiden wurden lebenslange Freunde. Abel überreichte ihm eine Kopie seiner Broschüre über die quintische Gleichung, aber Crelle gestand, dass es für ihn unverständlich war, und empfahl Abel, eine erweiterte Version davon zu schreiben. Sie sprachen über den schlechten Zustand der Mathematik in Deutschland. In einem Brief an Hansteen, datiert aus Berlin, 5 Dezember 1825, Abel schrieb:
Als ich zum Ausdruck gebracht Überraschung über die Tatsache, dass es keine mathematische Zeitschrift, wie in Frankreich, sagte er, dass er schon lange beabsichtigt, ein zu bearbeiten, und würde derzeit bringen seinen Plan zur Ausführung. Dieses Projekt ist jetzt organisiert, und das zu meiner großen Freude, denn ich werde einen Ort haben, an dem ich einige meiner Artikel drucken lassen kann. Ich habe bereits vier davon vorbereitet, die in der ersten Nummer erscheinen werden.
Journal für die reine und angewandte Mathematik, oder Crelle’s Journal, wie es allgemein bekannt ist, war die führende deutsche mathematische Zeitschrift im neunzehnten Jahrhundert. Der erste Band allein enthält sieben Papiere von Abel und die folgenden Bände enthalten viele weitere, die meisten von ihnen von herausragender Bedeutung in der Geschichte der Mathematik. Zu den ersten gehört die erweiterte Version des Beweises der Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen quintischen Gleichung durch Radikale. Hier entwickelt Abel den notwendigen algebraischen Hintergrund, einschließlich einer Diskussion über algebraische Felderweiterungen. Abel war sich zu diesem Zeitpunkt nicht bewusst, dass er einen Vorläufer hatte, den italienischen Mathematiker Paolo Ruffini. Aber in einem posthumen Papier über die Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind Abel Staaten: „Der einzige vor mir, wenn ich mich nicht irre, der versucht hat, die Unmöglichkeit der algebraischen Lösung der allgemeinen Gleichungen zu beweisen, ist der Mathematiker Ruffini, aber sein Papier ist so kompliziert, dass es sehr schwierig ist, die Richtigkeit seiner Argumente zu beurteilen. Es scheint mir, dass es nicht immer zufriedenstellend ist.“ Das Ergebnis wird normalerweise als Abel-Ruffini-Theorem bezeichnet.
Nach Abels Abreise aus Oslo fand ein Ereignis statt, das ihn sehr beunruhigte. Rasmussen gefunden hatte, seine Professur für Mathematik zu belastend, wenn Sie kombiniert mit seinen öffentlichen Aufgaben. Er trat zurück, und kurz darauf stimmte die Fakultät zu empfehlen, dass Holmboe ernannt werden, um die Vakanz zu füllen. Abels norwegische Freunde fanden die Aktion sehr ungerecht, und Abel selbst fühlte sich wahrscheinlich genauso. Trotzdem schrieb er seinem ehemaligen Lehrer einen herzlichen Glückwunschbrief, und sie blieben gute Freunde. Aber es ist offensichtlich, dass Abel von diesem Moment an um seine Zukunft und seine bevorstehende Ehe besorgt war; In seinem Heimatland war für ihn keine wissenschaftliche Position in Sicht.
Während des Winters in Berlin trug Abel zu Crelles Tagebuch bei; zu den bemerkenswerten Arbeiten gehören eine zur Verallgemeinerung der Binomialformel und eine zur Integration von Quadratwurzelausdrücken. Aber eines seiner wichtigsten mathematischen Anliegen war der Mangel an Stringenz in der zeitgenössischen Mathematik. Er erwähnte es wiederholt in Briefen an Holmboe. In einem von diesen, datiert 16 Januar 1826, er schrieb:
Meine Augen wurden auf überraschendste Weise geöffnet. Wenn Sie die einfachsten Fälle außer Acht lassen, gibt es in der ganzen Mathematik keine einzige unendliche Reihe, deren Summe stringent bestimmt wurde. Mit anderen Worten, die wichtigsten Teile der Mathematik stehen ohne Grundlage. Es ist wahr, dass das meiste davon gültig ist, aber das ist sehr überraschend. Ich kämpfe darum, den Grund dafür zu finden, ein äußerst interessantes Problem.
Ein Ergebnis dieses Kampfes war sein klassisches Papier über Potenzreihen, das viele allgemeine Theoreme enthält und auch als Anwendung die stringente Bestimmung der Summe der Binomialreihen für beliebige reelle oder komplexe Exponenten.
Im Frühjahr 1826 fühlte sich Abel gezwungen, zu seinem ursprünglichen Bestimmungsort Paris zu fahren. Crelle hatte versprochen, ihn zu begleiten, und auf dem Weg wollten sie in Göttingen anhalten, um Gauß zu besuchen. Leider hinderte der Druck der Wirtschaft Crelle daran, Berlin zu verlassen. Zur gleichen Zeit planten Abels norwegische Freunde eine geologische Exkursion durch Mitteleuropa, und da er sich nicht von ihnen trennen wollte, schloss er sich der Gruppe an. Sie reisten mit dem Bus durch Böhmen, Österreich, Norditalien und die Alpen. Abel erreichte Paris erst im Juli, wenig Geld nach der teuren Reise.
Der Besuch in Paris war enttäuschend. Die Universitätsferien hatten gerade erst begonnen, als Abel ankam, zurückkehrte und feststellte, dass sie distanziert und schwer zu erreichen waren; Es war nur im Vorbeigehen, dass er Legendre traf, dessen Hauptinteresse in seinem Alter elliptische Integrale waren, Abels eigene Spezialität. Für die Präsentation vor der Französischen Akademie der Wissenschaften hatte Abel ein Papier reserviert, das er für sein Meisterwerk hielt. Es befasste sich mit der Summe der Integrale einer gegebenen algebraischen Funktion. Der Satz von Abel besagt, dass jede solche Summe als eine feste Anzahl p dieser Integrale ausgedrückt werden kann, mit Integrationsargumenten, die algebraische Funktionen der ursprünglichen Argumente sind. Die minimale Zahl p ist die Gattung der algebraischen Funktion, und dies ist das erste Auftreten dieser Grundgröße. Der Satz von Abel ist eine umfassende Verallgemeinerung der Eulerschen Beziehung für elliptische Integrale.
Abel verbrachte seine ersten Monate in Paris und vollendete seine großen Memoiren; Es ist eines seiner längsten Papiere und enthält eine breite Theorie mit Anwendungen. Es wurde der Akademie der Wissenschaften am 30.Oktober 1826 unter dem Titel „Mémoire sur une propriété générale d’une classe trés-étendue de fonctions transcendantes.“ Cauchy und Legendre wurden zu Schiedsrichtern ernannt, wobei Cauchy Vorsitzender war. Eine Reihe junger Männer hatte sich schnell ausgezeichnet, als ihre Werke von der Akademie akzeptiert worden waren, und Abel wartete auf den Bericht der Schiedsrichter. Es wurde jedoch kein Bericht vorgelegt; Tatsächlich wurde es erst herausgegeben, als Abels Tod sein Erscheinen erzwang. Cauchy scheint schuld gewesen zu sein; Er behauptete später, das Manuskript sei unleserlich.
Abels nächste zwei Monate in Paris waren düster; er hatte wenig Geld und wenige Bekannte. Er traf P.G.L. Dirichlet, seine junior von drei Jahren und bereits ein bekannter Mathematiker, durch ein Papier in der Akademie gesponsert von Legendre. Ein weiterer Bekannter war Frédéric Saigey, Herausgeber des Bulletins der wissenschaftlichen Revue Ferrusac, für den Abel einige Artikel schrieb, insbesondere über seine eigenen Arbeiten in Crelles Zeitschrift. Nach Weihnachten gab er seine letzten Mittel aus, um seinen Fahrpreis nach Berlin zu bezahlen.
Kurz nach seiner Rückkehr nach Berlin. Abel wurde krank; er scheint dann den ersten Anfall der Tuberkulose erlitten zu haben, der später sein Leben fordern sollte. Er lieh sich etwas Geld von Holmboe, und Crelle half ihm wahrscheinlich. Abel sehnte sich danach, nach Norwegen zurückzukehren, fühlte sich aber gezwungen, bis zum Ablauf seiner Fellowship-Laufzeit im Ausland zu bleiben. Crelle versuchte, ihn in Berlin zu halten, bis er eine Stelle für ihn an einer deutschen Universität finden konnte; In der Zwischenzeit bot er ihm die Herausgeberschaft seiner Zeitschrift an.
Abel arbeitete eifrig an einem neuen Papier: „Recherches sur les fonctions elliptiques.“ seine umfangreichste Publikation (125 Seiten in den Oeuvres complètes). In dieser Arbeit verwandelte er radikal die Theorie der elliptischen Integrale in die Theorie der elliptischen Funktionen unter Verwendung ihrer inversen Funktionen, die im elementarsten Fall der Dualität entsprechen
Die elliptischen Funktionen werden dadurch zu einer umfassenden und natürlichen Verallgemeinerung der trigonometrischen Funktionen; Im Gefolge von Abels Arbeit sollten sie eines der beliebtesten Forschungsthemen in der Mathematik im neunzehnten Jahrhundert darstellen. Abel hatte den größten Teil der Theorie bereits als Student in Oslo entwickelt, so dass er die Theorie der elliptischen Funktionen mit einem großen Detailreichtum präsentieren konnte, einschließlich Doppelperiodizität, Erweiterungen in unendlichen Reihen und Produkten sowie Additionssätzen. Die Theorie führte zu den Ausdrücken für Funktionen eines Vielfachen des Arguments mit der damit einhergehenden Bestimmung der Gleichungen für Bruchargumente und ihrer Lösung durch Radikale, ähnlich wie Gauß die zyklotomischen Gleichungen behandelt hatte: Abels Briefe an Holmboe (aus Paris im Dezember 1826 und aus Berlin am 4. März 1827) zeigen, dass er besonders fasziniert war von einer Bestimmung der Bedingung, dass eine Lemniskate mittels Kompass und Lineal in gleiche Teile teilbar ist, analog zu Gauss ‚Konstruktion regelmäßiger Polygone. Der letzte Teil befasst sich mit der sogenannten Theorie der komplexen Multiplikation, die später in der algebraischen Zahlentheorie so wichtig war.
Abel kehrte am 20.Mai 1827 nach Oslo zurück und stellte fest, dass die Situation zu Hause so düster war, wie er befürchtet hatte. Er hatte keine Position in Aussicht, keine Gemeinschaft und eine Fülle von Schulden. Sein Antrag auf Verlängerung seines Stipendiums wurde vom Finanzministerium abgelehnt, aber die Universität verlieh ihm mutig ein kleines Stipendium aus ihren mageren Mitteln. Diese Aktion wurde von der Abteilung kritisiert, die sich das Recht vorbehielt, den Betrag von jedem zukünftigen Gehalt abziehen zu lassen, das er erhalten könnte.
Abels Verlobte fand eine neue Stelle bei Freunden von Abels Familie, der Familie des Besitzers einer Eisenhütte in Froland bei Arendal. Im Herbst lebte Abel in Oslo, indem er Schüler unterrichtete und wahrscheinlich mit Hilfe von Freunden . Im neuen Jahr wurde die Situation heller. Hansteen, ein Pionier in geomagnetischen Studien, erhielt ein großes Stipendium für zwei Jahre, um das Erdmagnetfeld in unerforschtem Sibirien zu untersuchen. In der Zwischenzeit wurde Abel sein Stellvertreter sowohl an der Universität als auch an der norwegischen Militärakademie.
Der erste Teil der „Recherchen“ wurde im September 1827 in Crelles Zeitschrift veröffentlicht, und Abel vollendete den zweiten Teil im Winter. Er lebte isoliert in Oslo; es gab keine Paketpost während des Winters, und er hatte keine Ahnung von dem Interesse seiner Memoiren hatte unter den europäischen Mathematikern erstellt. Er wusste auch nicht, dass ein Konkurrent auf dem Gebiet der elliptischen Funktionen erschienen war, bis Hansteen ihm Anfang 1828 die Septemberausgabe der Astronomischen Nachrichten zeigte. In dieser Zeitschrift kündigte ein junger deutscher Mathematiker, K.G.J. Jacobi, ohne Beweise einige Ergebnisse über die Transformationstheorie elliptischer Integrale an. Abel fügte dem Manuskript des zweiten Teils der „Recherchen“ eilig eine Notiz hinzu, die zeigte, wie Jacobis Ergebnisse die Folge seiner eigenen waren.
Abel war sich sehr bewußt, daß ein Wettlauf bevorstand. Er unterbrach eine große Arbeit über die Theorie der Gleichungen, die die Bestimmung aller Gleichungen enthalten sollte, die durch Radikale gelöst werden können: Der Teil, der veröffentlicht wurde, enthielt die Theorie jener Gleichungen, die jetzt als Abelian bekannt sind. Er schrieb dann, in rascher Folge, eine Reihe von Papieren über elliptische Funktionen. Die erste war „Solution d’un probleme général concernant la transformation des fonctions elliptiques.“ Dies, seine direkte Antwort auf Jacobi, wurde in Astronomischen Nachrichten veröffentlicht; die anderen erschienen in Crelles Zeitschrift. Darüber hinaus bereitete Abel eine buchlange Abhandlung vor, „Précis d’une théorie des fonctions elliptiques“, die nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Jacobi hingegen schrieb nur kurze Notizen, die seine Methoden nicht enthüllten; Diese waren für sein Buch reserviert, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
Es ist viel über die frühe Theorie der elliptischen Funktionen geschrieben worden. Es scheint wenig Zweifel zu geben, dass Abel einige Jahre vor Jacobi im Besitz der Ideen war. Andererseits ist es auch eine feststehende Tatsache, dass Gauß, obwohl er nichts veröffentlichte, die Prinzipien elliptischer Funktionen lange vor Abel oder Jacobi entdeckt hatte.
Die europäischen Mathematiker verfolgten fasziniert den Wettbewerb zwischen den beiden jungen Mathematikern. Legendre bemerkte Jacobis Ankündigungen und erhielt auch einen Brief von ihm. In einem Treffen der Französischen Akademie im November 1827 lobte er die neue mathematische Stern; die Rede wurde in den Zeitungen wiedergegeben und Legendre schickte den Ausschnitt zu Jacobi. In seiner Antwort wies Jacobi, nachdem er seinen Dank zum Ausdruck gebracht hatte, auf Abels „Recherchen“ und seine allgemeinen Ergebnisse hin. Legendre antwortete: „Durch diese Werke werden Sie beide in die Klasse der führenden Analytiker unserer Zeit aufgenommen.“ Er drückte auch seine Enttäuschung über Jacobis Veröffentlichungsmethode aus und war irritiert, als Jacobi gestand, dass er sich zur Ableitung einiger seiner Ergebnisse auf Abels Papier verlassen musste. Um diese Zeit begann auch Abel eine Korrespondenz mit Legendre und goss ihm seine Ideen aus.
Alles, was die europäischen Mathematiker wusste über Abel ’s Zustand in Norwegen war, dass er nur eine vorübergehende Position und hatte vor kurzem gezwungen, Tutor Schuljungen, um Ihren Lebensunterhalt zu verdienen. Die Hauptquelle ihrer Informationen war Crelle, der ständig seinen Einfluss nutzte, um einen Termin für Abel an einem neuen wissenschaftlichen Institut in Berlin zu erhalten. Die Fortschritte waren jedoch sehr langsam. Im September 1828 unternahmen vier prominente Mitglieder der Französischen Akademie der Wissenschaften den außergewöhnlichen Schritt, eine Petition direkt an Bernadotte, den heutigen Karl XIV. In einer Sitzung der Akademie am 25. Februar 1829 würdigte Legendre auch Abel und seine Entdeckungen, insbesondere seine Ergebnisse in der Theorie der Gleichungen.
In der Zwischenzeit schrieb Abel trotz seines sich verschlechternden Gesundheitszustandes hektisch neue Zeitungen. Die Sommerferien 1828 verbrachte er mit seiner Verlobten auf dem Gut Froland. Zu Weihnachten bestand er darauf, sie wieder zu besuchen, obwohl es mehrere Tage Reise in intensiver Kälte erforderte. Er war fiebrig, als er ankam, genoss aber die Weihnachtsfeier der Familie. Er mag eine Vorahnung gehabt haben, dass seine Tage gezählt waren, und er befürchtete nun, dass das große Papier, das der französischen Akademie vorgelegt wurde, für immer verloren gegangen war. Er schrieb daher eine kurze Notiz, „Demonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendantes“, in der er einen Beweis für den Hauptsatz gab. Er schickte es am 6. Januar 1829 nach Crelle.
Während er auf den Schlitten wartete, der ihn nach Oslo zurückbringen sollte, erlitt Abel eine heftige Blutung; Der Arzt diagnostizierte seine Krankheit als Tuberkulose und ordnete eine längere Bettruhe an. Er starb im April, im Alter von sechsundzwanzig, und wurde in der benachbarten Froland Kirche während eines Schneesturms begraben. Das Grab ist durch ein von seinen Freunden errichtetes Denkmal gekennzeichnet. Einer von ihnen, Baltazar Keilhau, schrieb Christine Kemp, ohne sie je gesehen zu haben, und machte ihr ein Heiratsangebot, das sie annahm. Zwei Tage nach Abels Tod schrieb Crelle jubelnd, um ihm mitzuteilen, dass seine Ernennung in Berlin gesichert sei.
Am 28.Juni 1830 verlieh die Französische Akademie der Wissenschaften Abel und Jacobi ihren Grand Prix für ihre herausragenden mathematischen Entdeckungen. Nach intensiver Suche in Paris wurde das Manuskript von Abels großen Memoiren wiederentdeckt. Es wurde 1841 veröffentlicht, fünfzehn Jahre nachdem es eingereicht worden war. Während des Drucks verschwand es wieder, um erst 1952 in Florenz wieder aufzutauchen.
Crelle schrieb in seinem Tagebuch eine ausführliche Laudatio auf Abel (4 , 402):
Alle Werke Abels tragen den Abdruck eines Einfallsreichtums und einer Denkkraft, die ungewöhnlich und manchmal erstaunlich ist, auch wenn die Jugend des Autors nicht berücksichtigt wird. Man kann sagen, dass er in der Lage war, alle Hindernisse bis zu den Grundlagen der Probleme zu durchdringen, mit einer Kraft, die unwiderstehlich erschien; Er griff die Probleme mit einer außergewöhnlichen Energie an; er betrachtete sie von oben und konnte sich so hoch über ihren gegenwärtigen Zustand erheben, dass alle Schwierigkeiten unter dem siegreichen Ansturm seines Genies zu verschwinden schienen…. Aber es war nicht nur sein großes Talent, das den Respekt vor Abel schuf und seinen Verlust unendlich bedauerlich machte. Er zeichnete sich gleichermaßen durch die Reinheit und den Adel seines Charakters und durch eine seltene Bescheidenheit aus, die seine Person in demselben ungewöhnlichen Maße schätzte wie sein Genie.
BIBLIOGRAPHIE
I. Originalwerke. Abels Gesamtwerk erscheint in zwei Ausgaben, Oeuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, Hrsg. und kommentiert von B. Holmboe (Oslo, 1839) und Nouvelle édition, M. M. L. Sylow und S. Lie, Hrsg., 2 Bde. (Oslo, 1881).
II. Sekundärliteratur. Materialien zu Abels Leben umfassen Niels Henrik Abel: Mémorial publié à I’occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), das alle im Text zitierten Buchstaben umfasst; und O. Ore, Niels Henrik Abel; Mathematician Extraordinary (Minneapolis, Minn., 1957).
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