definiția ecuației liniare de ordinul întâi
o ecuație diferențială de tip
\
unde \(a \ stânga(x \dreapta)\) și \(F\stânga(x \dreapta)\) sunt funcții continue ale \(x,\) se numește ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi. Considerăm două metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi:
- folosind un factor de integrare;
- metoda de variație a unei constante.
folosind un factor de integrare
dacă o ecuație diferențială liniară este scrisă în forma standard:
\
factorul de integrare este definit de formula
\
înmulțirea părții stângi a ecuației cu factorul de integrare\(u \stânga(x\ dreapta)\) convertește partea stângă în derivata produsului\(y \stânga( x\dreapta) u \stânga (x \ dreapta).\)
soluția generală a ecuației diferențiale este exprimată după cum urmează:
\
unde \(C\) este o constantă arbitrară.
metoda de variație a unei constante
această metodă este similară cu abordarea anterioară. Mai întâi este necesar să găsim soluția generală a ecuației omogene:
\
soluția generală a ecuației omogene conține o constantă de integrare \(C.\) înlocuim Constanta\ (C\) cu o anumită funcție (încă necunoscută)\(c \stânga( x \ dreapta).\ ) Înlocuind această soluție în ecuația diferențială neomogenă, putem determina funcția \(c\stânga( x \dreapta).\ )
algoritmul descris se numește metoda de variație a unei constante. Desigur, ambele metode duc la aceeași soluție.
problema valorii inițiale
dacă pe lângă ecuația diferențială, există și o condiție inițială sub forma \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) o astfel de problemă se numește problema valorii inițiale (IVP) sau problema Cauchy.
o soluție particulară pentru un IVP nu conține Constanta \(C,\) care este definită prin substituirea soluției generale în condiția inițială \(y\stânga( {{x_0}} \dreapta) = {y_0}.\ )
probleme rezolvate
Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.
Exemplul 1
rezolvați ecuația \(y ‘ – y-x{e ^ x}\) \ (=0.\)
Exemplul 2
rezolvați ecuația diferențială \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
Exemplul 3
rezolvați ecuația \(y ‘– 2y = x.\)
Exemplul 4
rezolvați ecuația diferențială \({x^2}y’ + xy + 2 \) \(= 0.\)
exemplul 5
rezolvați problema valorii inițiale: \(y’ – y\tan x \) \(= \păcat x,\) \(y\stânga( 0 \dreapta) = 1.\)
exemplul 6
rezolvați ecuația diferențială(IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y\) \ (={\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) cu condiția inițială \(y\stânga (1 \dreapta) = 2.\)
exemplul 7
găsiți soluția generală a ecuației diferențiale \(y = \ stânga ({2{y^4} + 2x} \dreapta)y’.\)
exemplu 1.
rezolvați ecuația \(y ‘ – y-x{e^x}\) \ (=0.\ )
soluție.
rescriem această ecuație în formă standard:
\
vom rezolva această ecuație folosind factorul de integrare
\
apoi, soluția generală a ecuației liniare este dată de
\
exemplu 2.
rezolvați ecuația diferențială \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\ )
soluție.
vom rezolva această problemă folosind metoda de variație a unei constante. Mai întâi găsim soluția generală a ecuației omogene:
\
care pot fi rezolvate prin separarea variabilelor:
\
unde \(C\) este un număr real pozitiv.
acum înlocuim \(C\ ) cu o anumită funcție (încă necunoscută) \(c \stânga (x\ dreapta)\) și vom găsi o soluție a ecuației originale neomogene sub forma:
\
apoi derivata este dată de
\^\prime } }={ c’\stânga( x \dreapta)x + C\stânga( x \dreapta).}\]
înlocuind acest lucru în ecuația dă:
\ }={ c \ stânga (x \dreapta)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{c’\stânga (x \ dreapta){x^2} + \ anula{c \ stânga (x \dreapta)x} } = {\anula{c \ stânga (x \ dreapta) x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{c’\stânga( x \dreapta) = 2x.}
\]
la integrare, găsim funcția \({c \ stânga (x \ dreapta)}:\)
\
unde \({c_1}\) este un număr real arbitrar.
astfel, soluția generală a ecuației date este scrisă sub forma
\