Definição de Equação Linear de Primeira Ordem
Uma equação diferencial do tipo
\
onde \(a\left( x \right)\) e \(f\left( x \right)\) são funções contínuas de \(x\) é chamada de linear nonhomogeneous equação diferencial de primeira ordem. Consideramos dois métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
- utilizando um factor de integração;
- método de variação de uma constante.
Usando um Fator de Integração
Se linear, equação diferencial é escrita na forma padrão:
\
o fator de integração é definida pela fórmula
\
Multiplicando o lado esquerdo da equação pelo fator de integração \(u\left( x \right)\) converte o lado esquerdo para a derivada do produto de \(y\left( x \right) u\left( x \right).\)
A solução geral da equação diferencial é expressa da seguinte forma:
\
onde \(C\) é uma constante arbitrária.
Método de Variação de uma Constante
Este método é semelhante à abordagem anterior. Primeiro, é necessário encontrar a solução geral da equação homogênea:
\
A solução geral da equação homogênea contém uma constante de integração \(C\) Podemos substituir a constante de \(C\) com um certo (ainda desconhecido) função \(C\left( x \right).\ ) Substituindo esta solução na equação diferencial não homogênea, podemos determinar a função \(C\esquerda (x \direita).\)
o algoritmo descrito é chamado de método de variação de uma constante. É claro que ambos os métodos conduzem à mesma solução.
o Problema do Valor Inicial
Se além de equação diferencial, há também uma condição inicial na forma de \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) como um problema é o chamado problema de valor inicial (IVP) ou problema de Cauchy.
uma determinada solução para um IVP não contém a constante \(C,\) que é definida pela substituição da solução geral na condição inicial \(y\esquerda ({x_0}}} \direita) = {y_0}.\ )
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Exemplo 1
Resolver a equação \(y’ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
Exemplo 2
resolver a equação diferencial \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
Exemplo 3
Resolver a equação \(y’ – 2y = x.\)
Exemplo 4
Resolver a equação diferencial \({x^2}y’ + xy + 2 \) \(= 0.\)
exemplo 5
resolver o problema do valor inicial: \(y ‘ – y\tan x \) \ (=\sin x,\) \(y\esquerda( 0 \direita) = 1.\)
Exemplo 6
Resolver a equação diferencial (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) com a condição inicial \(y\left( 1 \right) = 2.\)
exemplo 7
encontrar a solução geral da equação diferencial \(y = \esquerda ({2{y^4} + 2x} \direita)y’.\)
exemplo 1.
resolva a equação \(y – – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
solução.
reescrevemos esta equação em forma normalizada:
\
Vamos resolver esta equação, utilizando o fator de integração
\
em Seguida, a solução geral da equação linear é dada por
\
Exemplo 2.
resolva a equação diferencial \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
solução.Vamos resolver este problema usando o método de variação de uma constante. Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
\
o que pode ser resolvido separando as variáveis:
\
onde \(C\) é um número real positivo.
Agora podemos substituir \(C\) com um certo (ainda desconhecido) função \(C\left( x \right)\) e vai encontrar uma solução original nonhomogeneous equação na forma:
\
Então a derivada é dada por
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Substituindo na equação dá:
\ }={ C\left( x \right)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left( x \right){x^2} + \cancelar{C\left( x \right)x} }={ \cancelar{C\left( x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’\left( x \right) = 2x.}
\]
após a integração, encontramos a função \({C\esquerda (x \direita)}:\)
\
onde o \({C_1}\) é um número real arbitrário.
Assim, a solução geral de uma dada equação é escrita na forma
\