Definición de Ecuación Lineal de Primer Orden
Una ecuación diferencial de tipo
\
donde \(a \ left(x \right)\) y \(f\left(x \right)\) son funciones continuas de \(x,\) se denomina ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Consideramos dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
- Usando un factor de integración;
- Método de variación de una constante.
Utilizando un factor de integración
Si se escribe una ecuación diferencial lineal en la forma estándar:
\
el factor de integración se define por la fórmula
\
Multiplicar el lado izquierdo de la ecuación por el factor de integración \(u \ left (x \right)\) convierte el lado izquierdo en la derivada del producto \(y\left( x \right) u\left( x \right).\)
La solución general de la ecuación diferencial se expresa de la siguiente manera:
\
donde \(C\) es una constante arbitraria.
Método de variación de una constante
Este método es similar al enfoque anterior. Primero es necesario encontrar la solución general de la ecuación homogénea:
\
La solución general de la ecuación homogénea contiene una constante de integración \(C.\) Reemplazamos la constante \(C\) con una función determinada (aún desconocida) \(C\left( x \right).\ ) Sustituyendo esta solución en la ecuación diferencial no homogénea, podemos determinar la función \(C\left( x \right).\)
El algoritmo descrito se denomina método de variación de una constante. Por supuesto, ambos métodos conducen a la misma solución.
Problema de valor inicial
Si además de la ecuación diferencial, también hay una condición inicial en forma de \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) tal problema se denomina problema de valor inicial (IVP) o problema de Cauchy.
Una solución particular para un IVP no contiene la constante \(C,\) que se define por la sustitución de la solución general en la condición inicial \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
Problemas resueltos
Haga clic o toque en un problema para ver la solución.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación \(y’ – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación diferencial \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación \(y – – 2y = x.\)
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación diferencial \({x^2}y ‘ + xy + 2\) \ (=0.\)
Ejemplo 5
Resuelve el problema del valor inicial: \(y – -y \ tan x\) \ (=\sin x,\) \(y\left( 0 \right) = 1.\)
Ejemplo 6
Resolver la ecuación diferencial (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) con la condición inicial \(y\left( 1 \right) = 2.\)
Ejemplo 7
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial \(y = \left ({2{y^4} + 2x} \right) y’.\)
Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación \(y’ – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
Solución.
Reescribimos esta ecuación en forma estándar:
\
vamos a resolver esta ecuación utilizando el factor de integración
\
Entonces la solución general de la ecuación lineal está dada por
\
Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación diferencial \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
Solución.
Resolveremos este problema utilizando el método de variación de una constante. Primero encontramos la solución general de la ecuación homogénea:
\
que se puede resolver separando las variables:
\
donde \(C\) es un número real positivo.
Ahora vamos a reemplazar \(C\), con una cierta (todavía desconocido) la función \(C\left( x \right)\) y va a encontrar una solución de la original no homogéneas ecuación en la forma:
\
Entonces la derivada está dada por
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Sustituyendo esto en la ecuación da:
\ }={ C\left( x \right)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left( x \right){x^2} + \cancelar{C\left( x \right)x} }={ \cancelar{C\left( x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’\left( x \right) = 2x.}
\]
Tras la integración, encontramos la función \({C \ left( x \ right)}:\)
\
donde \({C_1}\) es un número real arbitrario.
por Lo tanto, la solución general de la ecuación dada se escribe en la forma
\