definicja równania liniowego pierwszego rzędu
równanie różniczkowe typu
\
gdzie \(a\left(x \right)\) i \(f\left(x \right)\) są funkcjami ciągłymi \(x,\) nazywa się liniowym niehomogenicznym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Rozważamy dwie metody rozwiązywania liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
- stosując współczynnik całkowania;
- metoda zmienności stałej.
za pomocą współczynnika całkowania
jeśli liniowe równanie różniczkowe jest zapisane w postaci standardowej:
\
współczynnik całkowania jest zdefiniowany wzorem
\
pomnożenie lewej strony równania przez współczynnik całkowania \(u\left (X \right)\) przekształca lewą stronę w pochodną iloczynu \(y\left (x \right) u\left( x \right).
ogólne rozwiązanie równania różniczkowego wyraża się następująco:
\
gdzie \(c\) jest dowolną stałą.
metoda zmienności stałej
ta metoda jest podobna do poprzedniego podejścia. Najpierw trzeba znaleźć ogólne rozwiązanie równania jednorodnego:
\
ogólne rozwiązanie równania jednorodnego zawiera stałą całkowania \(C.\) zastępujemy stałą \(c\) pewną (wciąż nieznaną) funkcją \(C\left (x \right).\ ) Podstawiając To rozwiązanie do niehomogenicznego równania różniczkowego, możemy wyznaczyć funkcję \(C\left (x \right).
opisany algorytm nazywa się metodą zmienności stałej. Oczywiście obie metody prowadzą do tego samego rozwiązania.
Problem z wartością początkową
jeśli poza równaniem różniczkowym istnieje również warunek początkowy w postaci \(y\left ({{x_0}} \right) = {y_0},\) taki problem nazywa się problemem z wartością początkową (IVP) lub problemem Cauchy ’ ego.
konkretne rozwiązanie dla IVP nie zawiera stałej \(C,\), która jest zdefiniowana przez podstawienie ogólnego rozwiązania do stanu początkowego \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.
rozwiązane problemy
kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.
przykład 1
Rozwiąż równanie \(y ’ – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
przykład 2
Rozwiąż równanie różniczkowe \(xy’ = y + 2{x^3}.\)
przykład 3
Rozwiąż równanie \(y ’- 2y = x.\)
przykład 4
Rozwiąż równanie różniczkowe \({x^2}y’ + xy + 2\) \ (=0.\)
przykład 5
Rozwiąż problem z wartością początkową: \(y ’ – y\tan x \) \ (=\sin x,\) \(y\left( 0 \right) = 1.\)
przykład 6
Rozwiąż równanie różniczkowe (IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y\) \ (={\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) z warunkiem początkowym \(y\left( 1 \right) = 2.\)
przykład 7
Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego \(y = \left ({2{y^4} + 2x} \right) y’.\)
przykład 1.
Rozwiąż równanie \(y ’ – y-x{e^x} \) \ (=0.
przepisujemy to równanie w postaci standardowej:
\
rozwiążemy to równanie używając czynnika całkującego
\
wówczas ogólne rozwiązanie równania liniowego jest podane przez
\
przykład 2.
Rozwiąż równanie różniczkowe \(xy’ = y + 2{x^3}.
rozwiążemy ten problem za pomocą metody zmienności stałej. Najpierw znajdujemy ogólne rozwiązanie równania jednorodnego:
\
które można rozwiązać rozdzielając zmienne:
\
gdzie \(c\) jest dodatnią liczbą rzeczywistą.
teraz zamieniamy \(C\) na pewną (jeszcze nieznaną) funkcję \(C\left (x \right)\) i znajdziemy rozwiązanie oryginalnego niehomogenicznego równania w postaci:
\
następnie pochodna jest dana przez
\^ \ prime } } = { C ’ \ left (x \right)x + c \ left (x \right).}\]
podstawiając to do równania daje:
\ }={ C\left( X \right)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left( X \right){x^2} + \cancel{C\left( x \right)x} }={ \cancel{C\left (x \right) x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’\left (x \right) = 2x.}
\]
po integracji znajdujemy funkcję \({c\left (x \right)}:\)
\
gdzie \({c_1}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą.
tak więc ogólne rozwiązanie danego równania zapisuje się w postaci
\