Definition der linearen Gleichung erster Ordnung
Eine Differentialgleichung vom Typ
\
wobei \(a\ left( x \right)\) und \(f\left( x \right)\) stetige Funktionen von \(x,\) sind, wird als lineare nichthomogene Differentialgleichung erster Ordnung bezeichnet. Wir betrachten zwei Methoden zur Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung:
- Verwendung eines integrierenden Faktors;
- Variationsmethode einer Konstanten.
Verwendung eines Integrationsfaktors
Wenn eine lineare Differentialgleichung in der Standardform geschrieben ist:
\
der Integrationsfaktor wird durch die Formel definiert
\
Die Multiplikation der linken Seite der Gleichung mit dem Integrationsfaktor \(u\ left( x \right)\) wandelt die linke Seite in die Ableitung des Produkts \(y\left( x \right) u\left( x \right) um.\)
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung wird wie folgt ausgedrückt:
\
wobei \(C\) eine beliebige Konstante ist.
Methode der Variation einer Konstanten
Diese Methode ähnelt dem vorherigen Ansatz. Zuerst ist es notwendig, die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung zu finden:
\
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung enthält eine Integrationskonstante \(C.\) Wir ersetzen die Konstante \(C\) durch eine bestimmte (noch unbekannte) Funktion \(C\left( x \right).\) Indem wir diese Lösung in die nichthomogene Differentialgleichung einsetzen, können wir die Funktion \(C\left( x \right) .\)
Der beschriebene Algorithmus wird als Variationsmethode einer Konstante bezeichnet. Natürlich führen beide Methoden zur gleichen Lösung.
Anfangswertproblem
Wenn es neben der Differentialgleichung auch eine Anfangsbedingung in Form von \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) gibt, wird ein solches Problem als Anfangswertproblem (IVP) oder Cauchy-Problem bezeichnet.
Eine bestimmte Lösung für ein IVP enthält nicht die Konstante \(C,\), die durch Substitution der allgemeinen Lösung in die Anfangsbedingung \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0} .\)
Gelöste Probleme
Klicken oder tippen Sie auf ein Problem, um die Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Löse die Gleichung \(y‘ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
Beispiel 2
Lösen Sie die Differentialgleichung \(xy‘ = y + 2{x^3}.\)
Beispiel 3
Löse die Gleichung \(y‘ – 2y = x.\)
Beispiel 4
Lösen Sie die Differentialgleichung \({x^2}y‘ + xy + 2 \) \(= 0.\)
Beispiel 5
Lösen Sie das Anfangswertproblem: \(y‘ – y\tan x \) \(= \sin x,\) \(y\left( 0 \right) = 1.\)
Beispiel 6
Lösen Sie die Differentialgleichung (IVP) \(y‘ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y \) \(= {\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\) mit der Anfangsbedingung \(y\left(1 \right) = 2.\)
Beispiel 7
Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \(y = \left( {2{y^4} + 2x} \right)y‘.\)
Beispiel 1.
Löse die Gleichung \(y‘ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
Lösung.
Wir schreiben diese Gleichung in Standardform um:
\
Wir werden diese Gleichung mit dem Integrationsfaktor lösen
\
Dann ist die allgemeine Lösung der linearen Gleichung gegeben durch
\
Beispiel 2.
Lösen Sie die Differentialgleichung \(xy‘ = y + 2{x^3}.\)
Lösung.
Wir werden dieses Problem lösen, indem wir die Variationsmethode einer Konstanten verwenden. Zuerst finden wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
\
was durch Trennen der Variablen gelöst werden kann:
\
wobei \(C\) eine positive reelle Zahl ist.
Jetzt ersetzen wir \(C\) durch eine bestimmte (noch unbekannte) Funktion \(C\left( x \right)\) und finden eine Lösung der ursprünglichen nichthomogenen Gleichung in der Form:
\
Dann ist die Ableitung gegeben durch
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Setzt man dies in die Gleichung ein, erhält man:
\ }={ C\ links ( x \rechts) x + 2{x^3},\;\;}}\ Rightarrow
{{C’\ links( x \rechts) {x^2} + \abbrechen {C\ links( x \rechts)x} }={ \abbrechen{C\ links( x \rechts)x} + 2{x^3},\;\;}}\ Rightarrow
{C’\links( x \rechts) = 2x.}
\]
Bei der Integration finden wir die Funktion \({C\left( x \right)}:\)
\
wobei \({C_1}\) eine beliebige reelle Zahl ist.
Somit wird die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung in der Form geschrieben
\