Cuerpo negro

Curvas de radiación de cuerpo negro a diferentes temperaturas: 3000 K, 4000 K y 5000 K. A medida que disminuye la temperatura, el pico de la curva de radiación de cuerpo negro se mueve a intensidades más bajas y longitudes de onda más largas. El gráfico de radiación de cuerpo negro también se compara con el modelo clásico de Rayleigh y Jeans.

En física, un cuerpo negro (en un sentido ideal) es un objeto que absorbe toda la radiación electromagnética que cae sobre él, sin que la radiación pase a través de él o sea reflejada por él. Debido a que no refleja ni transmite luz visible, el objeto aparece negro cuando hace frío.

Cuando se calienta, el cuerpo negro se convierte en una fuente ideal de radiación térmica, que se denomina radiación de cuerpo negro. Si un cuerpo negro perfecto a una temperatura determinada está rodeado de otros objetos en equilibrio a la misma temperatura, en promedio emitirá exactamente lo que absorbe, a las mismas longitudes de onda e intensidades de radiación que había absorbido.

La temperatura del objeto está directamente relacionada con las longitudes de onda de la luz que emite. A temperatura ambiente, los cuerpos negros emiten luz infrarroja, pero a medida que la temperatura aumenta más allá de unos pocos cientos de grados centígrados, los cuerpos negros comienzan a emitir en longitudes de onda visibles, de rojo a naranja, amarillo y blanco antes de terminar en azul, más allá de lo cual la emisión incluye cantidades crecientes de radiación ultravioleta.

El color (cromaticidad) de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro. El lugar geométrico de tales colores (que se muestra aquí en el espacio CIE 1931 x,y) se conoce como el lugar geométrico de Planck.

Los cuerpos negros se han utilizado para probar las propiedades del equilibrio térmico porque emiten radiación que se distribuye térmicamente. En física clásica, cada modo de Fourier diferente en equilibrio térmico debe tener la misma energía, lo que lleva a la teoría de la catástrofe ultravioleta de que habría una cantidad infinita de energía en cualquier campo continuo. Los estudios de la radiación de cuerpo negro llevaron al revolucionario campo de la mecánica cuántica. Además, las leyes del cuerpo negro se han utilizado para determinar las temperaturas del cuerpo negro de los planetas.

Vista general

Si se abre una ventana pequeña en un horno, cualquier luz que entre en la ventana tiene una probabilidad muy baja de salir sin ser absorbida. Por el contrario, el orificio actúa como un radiador de cuerpo negro casi ideal. Esto hace que las mirillas en los hornos sean buenas fuentes de radiación de cuerpo negro, y algunas personas lo llaman radiación de cavidad por esta razón.

En el laboratorio, la radiación de cuerpo negro se aproxima a la radiación de una entrada de orificio pequeño a una cavidad grande, un hohlraum. Cualquier luz que entre en el agujero tendría que reflejarse en las paredes de la cavidad varias veces antes de que escapara, en cuyo proceso es casi seguro que será absorbida. Esto ocurre independientemente de la longitud de onda de la radiación que entra (siempre que sea pequeña en comparación con el orificio). El agujero, entonces, es una aproximación cercana a un cuerpo negro teórico y, si la cavidad se calienta, el espectro de radiación del agujero (es decir, la cantidad de luz emitida por el agujero en cada longitud de onda) será continuo, y no dependerá del material en la cavidad (compare con el espectro de emisión). Por un teorema demostrado por Gustav Kirchhoff, esta curva depende solo de la temperatura de las paredes de la cavidad. Kirchhoff introdujo el término «cuerpo negro» en 1860.

Calcular esta curva fue un gran desafío en la física teórica a finales del siglo XIX. El problema fue finalmente resuelto en 1901 por Max Planck como la ley de Planck de la radiación de cuerpo negro. Al hacer cambios en la Ley de Radiación de Viena (que no debe confundirse con la ley de desplazamiento de Viena) consistentes con la termodinámica y el electromagnetismo, encontró una fórmula matemática que se ajustaba a los datos experimentales de una manera satisfactoria. Para encontrar una interpretación física de esta fórmula, Planck tuvo que asumir que la energía de los osciladores en la cavidad estaba cuantizada (es decir, múltiplos enteros de alguna cantidad). Einstein se basó en esta idea y propuso la cuantización de la radiación electromagnética en 1905 para explicar el efecto fotoeléctrico.

Estos avances teóricos finalmente resultaron en la sustitución del electromagnetismo clásico por la electrodinámica cuántica. Hoy en día, estos cuantos se llaman fotones y se puede pensar que la cavidad del cuerpo negro contiene un gas de fotones. Además, condujo al desarrollo de distribuciones cuánticas de probabilidad, llamadas estadísticas de Fermi-Dirac y estadísticas de Bose-Einstein, cada una aplicable a una clase diferente de partícula, que se utilizan en la mecánica cuántica en lugar de las distribuciones clásicas.

La temperatura de un flujo de lava Pāhoehoe se puede estimar observando su color. El resultado concuerda bien con las temperaturas medidas de los flujos de lava en aproximadamente 1,000 a 1,200 °C.

La longitud de onda en la que la radiación es más fuerte está dada por la ley de desplazamiento de Wien, y la potencia total emitida por unidad de área está dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Por lo tanto, a medida que aumenta la temperatura, el color del resplandor cambia de rojo a amarillo, blanco a azul. Incluso a medida que la longitud de onda máxima se mueve hacia el ultravioleta, se sigue emitiendo suficiente radiación en las longitudes de onda azules para que el cuerpo continúe apareciendo azul. Nunca se volverá invisible, de hecho, la radiación de luz visible aumenta monótonamente con la temperatura.

El resplandor o la intensidad observada no es una función de la dirección. Por lo tanto, un cuerpo negro es un radiador lambertiano perfecto.

Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros completamente ideales, y en su lugar, la radiación emitida a una frecuencia dada es una fracción de lo que sería la emisión ideal. La emisividad de un material especifica qué tan bien irradia energía un cuerpo real en comparación con un cuerpo negro. Esta emisividad depende de factores como la temperatura, el ángulo de emisión y la longitud de onda. Sin embargo, es típico en ingeniería asumir que la emisividad espectral y la absortividad de una superficie no dependen de la longitud de onda, por lo que la emisividad es una constante. Esto se conoce como la asunción del cuerpo gris.

Aunque la fórmula de Planck predice que un cuerpo negro irradia energía a todas las frecuencias, la fórmula solo es aplicable cuando se miden muchos fotones. Por ejemplo, un cuerpo negro a temperatura ambiente (300 K) con un metro cuadrado de superficie emitirá un fotón en el rango visible una vez cada mil años, lo que significa que para la mayoría de los propósitos prácticos, el cuerpo negro no emite en el rango visible.

Cuando se trata de superficies no negras, las desviaciones del comportamiento ideal del cuerpo negro están determinadas por la estructura geométrica y la composición química, y siguen la Ley de Kirchhoff: la emisividad es igual a la absorción, de modo que un objeto que no absorbe toda la luz incidente también emitirá menos radiación que un cuerpo negro ideal.

Imagen WMAP de la anisotropía de radiación de fondo cósmico de microondas. Tiene el espectro de emisión térmica más preciso conocido y corresponde a una temperatura de 2,725 kelvin (K) con un pico de emisión a 160,2 GHz.

En astronomía, objetos como las estrellas son frecuentemente considerados como cuerpos negros, aunque esto es a menudo una mala aproximación. Un espectro de cuerpo negro casi perfecto es exhibido por la radiación de fondo cósmico de microondas. La radiación de Hawking es radiación de cuerpo negro emitida por agujeros negros.

Simuladores de cuerpo negro

Aunque un cuerpo negro es un objeto teórico, (es decir, emisividad (e) = 1.0), las aplicaciones comunes definen una fuente de radiación infrarroja como un cuerpo negro cuando el objeto se acerca a una emisividad de 1.0, (típicamente e = .99 o superior). Una fuente de radiación infrarroja menor que .99 se conoce como un cuerpo gris. Las aplicaciones para simuladores de cuerpo negro suelen incluir la prueba y calibración de sistemas infrarrojos y equipos de sensores infrarrojos.

Radiación emitida por el cuerpo humano

Gran parte de la energía de una persona se irradia en forma de energía infrarroja. Algunos materiales son transparentes a la luz infrarroja, mientras que opacos a la luz visible (tenga en cuenta la bolsa de plástico). Otros materiales son transparentes a la luz visible, mientras que opacos o reflectantes a los infrarrojos (fíjese en las gafas del hombre).

Las leyes del cuerpo negro se pueden aplicar a los seres humanos. Por ejemplo, parte de la energía de una persona se irradia en forma de radiación electromagnética, la mayoría de la cual es infrarroja.

La potencia neta irradiada es la diferencia entre la potencia emitida y la potencia absorbida:

P n e t = P e m i t − P a b s o r b . {\displaystyle P_ {net} = P_ {emitir} – P_{absorber}.}

Aplicando la ley de Stefan–Boltzmann,

P n e t = A σ σ ( T 4 − T 0 4 ) {\displaystyle P_{net}=A\sigma \epsilon \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right)\,}.

La superficie total de un adulto es de aproximadamente 2 m2, y la emisividad del infrarrojo medio y lejano de la piel y la mayoría de la ropa está cerca de la unidad, como lo está para la mayoría de las superficies no metálicas. La temperatura de la piel es de aproximadamente 33°C, pero la ropa reduce la temperatura de la superficie a aproximadamente 28°C cuando la temperatura ambiente es de 20°C. Por lo tanto, la pérdida neta de calor radiativo es de aproximadamente

P n e t = 100 W {\displaystyle P_{net}=100\ \mathrm {W}\,}.

La energía total irradiada en un día es de aproximadamente 9 MJ (Mega julios), o 2000 kcal (calorías de los alimentos). La tasa metabólica basal para un varón de 40 años es de aproximadamente 35 kcal/(m2•h), lo que equivale a 1700 kcal por día suponiendo la misma superficie de 2 m2. Sin embargo, la tasa metabólica media de los adultos sedentarios es aproximadamente de 50 a 70 por ciento mayor que su tasa basal.

Existen otros mecanismos importantes de pérdida térmica, como la convección y la evaporación. La conducción es insignificante ya que el número de Nusselt es mucho mayor que la unidad. La evaporación (transpiración) solo es necesaria si la radiación y la convección son insuficientes para mantener una temperatura de estado estable. Las tasas de convección libre son comparables, aunque algo más bajas, que las tasas radiativas. Por lo tanto, la radiación representa aproximadamente 2/3 de la pérdida de energía térmica en aire fresco y quieto. Dada la naturaleza aproximada de muchos de los supuestos, esto solo puede tomarse como una estimación aproximada. El movimiento del aire ambiente, que causa convección forzada o evaporación, reduce la importancia relativa de la radiación como mecanismo de pérdida térmica.

Además, aplicando la Ley de Wien a los seres humanos, se encuentra que la longitud de onda máxima de la luz emitida por una persona es

λ p e a k = 2.898 × 10 6 K ⋅ n m 305 K = 9500 n m {\displaystyle \lambda _{peak}={\frac {2.898\times 10^{6}\ \mathrm {K} \cdot \mathrm {nm} }{305\ \mathrm {K} }}=9500\ \mathrm {nm} \,}.

Esta es la razón por la que los dispositivos de imágenes térmicas diseñados para seres humanos son más sensibles a una longitud de onda de 7 a 14 micrómetros.

Ecuaciones que rigen el cuerpo negro

Planck de la ley de radiación del cuerpo negro

I ( ν , T ) d ν = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν k T − 1 d ν {\displaystyle I(\nu ,T)d\nu ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }

donde

• I ( ν , T ) d ν {\displaystyle I(\nu ,T)d\nu \,} es la cantidad de energía por unidad de área de superficie por unidad de tiempo y por unidad de ángulo sólido que se emite en rango de frecuencia entre ν y ν+dv por un cuerpo negro a temperatura T;
• h {\displaystyle h\,} es la constante de Planck;
• c {\displaystyle c\,} es la velocidad de la luz; y
• k {\displaystyle k\,} es la constante de Boltzmann.

Ley de desplazamiento de Wien

La relación entre la temperatura T de un cuerpo negro, y la longitud de onda λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} en la que la intensidad de la radiación que produce es máxima es

• T λ m a x = 2.898… × 10 6 n m K . {\displaystyle T \ lambda _ {\mathrm {max} }=2.898…\times 10^{6}\ \ mathrm {nm \ K} .\ ,}

El nanómetro es una unidad de medida conveniente para longitudes de onda ópticas. Tenga en cuenta que 1 nanómetro equivale a 10-9 metros.

Ley de Stefan–Boltzmann

La energía total irradiada por unidad de área por unidad de tiempo j ⋆ {\displaystyle j^{\star }} (en vatios por metro cuadrado) por un cuerpo negro está relacionada con su temperatura T (en kelvin) y la constante de Stefan–Boltzmann σ {\displaystyle \sigma } como sigue:

j ⋆ = σ T 4 . {\displaystyle j^{\star} = \ sigma T^{4}.\ ,}

Relación de temperatura entre un planeta y su estrella

Aquí está una aplicación de las leyes del cuerpo negro para determinar la temperatura del cuerpo negro de un planeta. La superficie puede ser más cálida debido al efecto invernadero.Factores

Intensidad de radiación térmica de onda larga de la Tierra, de nubes, atmósfera y tierra

La temperatura de un planeta depende de algunos factores:

• Radiación incidente (del Sol, por ejemplo)
• Radiación emitida (por ejemplo)
• El efecto albedo (la fracción de luz que refleja un planeta)
• El efecto invernadero (para planetas con atmósfera)
• Energía generada internamente por el propio planeta (debido a la desintegración radiactiva, el calentamiento de las mareas y la contracción adiabática debido al enfriamiento).

Para los planetas interiores, la radiación incidente y emitida tiene el impacto más significativo en la temperatura. Esta derivación se refiere principalmente a eso.

Supuestos

Si asumimos lo siguiente:

1. El Sol y la Tierra irradian como cuerpos negros esféricos.
2. La Tierra está en equilibrio térmico.

entonces podemos derivar una fórmula para la relación entre la temperatura de la Tierra y la temperatura de la superficie del Sol.

Derivación

Para comenzar, utilizamos la ley de Stefan–Boltzmann para encontrar la potencia total (energía/segundo) que emite el Sol:

La Tierra solo tiene un área absorbente igual a un círculo bidimensional, en lugar de la superficie de una esfera.

P S e m t = ( σ T S 4 ) ( 4 π R S 2 ) ( 1 ) {\displaystyle P_{Semt}=\left(\sigma T_{S}^{4}\derecho)\left(4\pi R_{S}^{2}\right)\qquad \qquad (1)}donde σ {\displaystyle \sigma \,}es la constante de Stefan–Boltzmann, T S {\displaystyle T_{S}\,}es la temperatura de la superficie del Sol, y R S {\displaystyle R_{S}\,}es el radio del Sol.

El Sol emite esa energía por igual en todas las direcciones. Debido a esto, la Tierra es golpeada con solo una pequeña fracción de ella. Este es el poder del Sol que la Tierra absorbe:

P E a b s = P S e m t ( 1 − α ) ( π R E 2 4 π D 2 ) ( 2 ) {\displaystyle P_{Los}=P_{Semt}(1-\alpha )\left({\frac {\pi R_{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)\qquad \qquad (2)}donde R E {\displaystyle R_{E}\,}es el radio de la Tierra y D {\displaystyle D\,}es la distancia entre el Sol y la Tierra. α {\displaystyle \alpha \ }es el albedo de la Tierra.

aunque la tierra sólo absorbe como un área circular π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} , emite igualmente en todas las direcciones como una esfera:

P E E m t = ( σ T E 4 ) ( 4 π R E 2 ) ( 3 ) {\displaystyle P_{Eemt}=\left(\sigma T_{E}^{4}\derecho)\left(4\pi R_{E}^{2}\right)\qquad \qquad (3)}donde T E {\displaystyle T_{E}}es el cuerpo negro a la temperatura de la tierra.

Ahora, nuestra segunda hipótesis es que la tierra está en equilibrio térmico, por lo que la potencia absorbida debe ser igual a la potencia emitida:

P E a b s = P E E m t {\displaystyle P_{Los}=P_{Eemt}\,}enchufe de Modo que en las ecuaciones 1, 2, y 3 en esto y obtenemos ( σ T S 4 ) ( 4 π R S 2 ) ( 1 − α ) ( π R E 2 4 π D 2 ) = ( σ T E 4 ) ( 4 π R E 2 ) . {\displaystyle \left(\sigma T_{S}^{4}\derecho)\left(4\pi R_{S}^{2}\right)(1-\alpha )\left({\frac {\pi R_{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)=\left(\sigma T_{E}^{4}\derecho)\left(4\pi R_{E}^{2}\right).\,}

Muchos factores se cancelan desde ambos lados y esta ecuación se puede simplificar en gran medida.

resultado

Después de la cancelación de los factores, el resultado final es

T S 1 − α R S 2 D = T E {\displaystyle T_{S}{\sqrt {\frac {{\sqrt {1-\alpha }}R_{S}}{2D}}}=T_{E}}

donde

T S {\displaystyle T_{S}\,} es la temperatura de la superficie del Sol,

R S {\displaystyle R_{S}\,} es el radio del Sol,

D {\displaystyle D\,} es la distancia entre el Sol y la Tierra,

α {\displaystyle \alpha } es el albedo de la Tierra, y

T E {\displaystyle T_{E}\,} es el cuerpo negro a la temperatura de la Tierra.

En otras palabras, dadas las suposiciones hechas, la temperatura de la Tierra depende solo de la temperatura de la superficie del Sol, el radio del Sol, la distancia entre la Tierra y el Sol y el albedo de la Tierra.

Temperatura de la Tierra

Si sustituimos en los valores medidos por el Sol,

T S = 5778 K , {\displaystyle T_{S}=5778\ \mathrm {K} ,}S R = 6.96 × 10 8 m , {\displaystyle R_{S}=6.96\times 10^{8}\ \mathrm {m} ,}D = 1.5 × 10 11 m , {\displaystyle D=1.5\times 10^{11}\ \mathrm {m} ,}α = 0.3 {\displaystyle \alpha =0.3\ }

encontraremos que la temperatura efectiva de la Tierra es

T E = 255 K . {\displaystyle T_{E} = 255 \ \ mathrm {K} .}

Esta es la temperatura del cuerpo negro medida desde el espacio, mientras que la temperatura de la superficie es mayor debido al efecto invernadero

Efecto Doppler para un cuerpo negro en movimiento

El efecto Doppler es el fenómeno bien conocido que describe cómo las frecuencias de luz observadas se «desplazan» cuando una fuente de luz se mueve en relación con el observador. Si f es la frecuencia emitida de una fuente de luz monocromática, que aparecerán con frecuencia f «si es en movimiento con respecto al observador :

f’ = f 1 1 − v 2 / c 2 ( 1 − v c cos ⁡ θ ) {\displaystyle f’=f{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}(1-{\frac {v}{c}}\cos \theta )}

donde v es la velocidad de la fuente en el observador del marco del resto, θ es el ángulo entre el vector velocidad y el observador-dirección de la fuente, y c es la velocidad de la luz. Esta es la fórmula completamente relativista, y se puede simplificar para los casos especiales de objetos que se mueven directamente hacia ( θ = π) o lejos ( θ = 0) del observador, y para velocidades mucho menores que c.

Para calcular el espectro de un cuerpo negro en movimiento, entonces, parece sencillo simplemente aplicar esta fórmula a cada frecuencia del espectro de cuerpo negro. Sin embargo, simplemente escalar cada frecuencia de esta manera no es suficiente. También tenemos que tener en cuenta el tamaño finito de la abertura de visión, porque el ángulo sólido que recibe la luz también sufre una transformación de Lorentz. (Posteriormente podemos permitir que la apertura sea arbitrariamente pequeña, y la fuente arbitrariamente lejana, pero esto no se puede ignorar al principio.) Cuando se incluye este efecto, se encuentra que un cuerpo negro a temperatura T que está retrocediendo con velocidad v parece tener un espectro idéntico a un cuerpo negro estacionario a temperatura T’, dado por:

T ‘= T 1 1 − v 2 / c 2 ( 1 − v c cos ⁡ θ ) {\displaystyle T’=T{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}(1-{\frac {v}{c}}\cos \theta )}

Para el caso de una fuente se mueve directamente hacia o lejos del observador, esto se reduce a

T ‘= T − c-v c + v {\displaystyle T’=T{\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}}

Aquí v > 0 indica un retroceso en la fuente, y v < 0 indica que se aproxima un origen.

Este es un efecto importante en astronomía, donde las velocidades de estrellas y galaxias pueden alcanzar fracciones significativas de c. Un ejemplo se encuentra en la radiación de fondo cósmico de microondas, que exhibe una anisotropía dipolar del movimiento de la Tierra en relación con este campo de radiación de cuerpo negro.

Ver también

• Color
• Radiación electromagnética
• Luz
• Fotón
• Temperatura
• Termómetro
• Ultravioleta

Notas

• Cole, George H. A., Michael M. Woolfson. Ciencia Planetaria: La Ciencia de los Planetas Alrededor de las Estrellas. Bristol, Reino Unido: Institute of Physics Publishing, 2002. ISBN 075030815X
• Gill, T. P. El Efecto Doppler. Londres, Reino Unido: Logos Press, 1965.
• Harris, J. y F. Benedict. Un Estudio Biométrico del Metabolismo Basal Humano. Proc Natl Acad Sci USA 4(12) (1918): 370-373.
• Huang, Kerson. Mecánica Estadística. Nueva York, NY: John Wiley & Sons, 1967.
• Kroemer, Herbert y Charles Kittel. Física térmica, 2ª ed. W. H. Freeman Company, 1980. ISBN 0716710889
• Landau, L. D., and E. M. Lifshitz. Física Estadística, 3ª Edición, Parte 1. Oxford, UK: Butterworth-Heinemann, 1996 (original 1958).
• Tipler, Paul y Ralph Llewellyn. Modern Physics, 4th ed. W. H. Freeman, 2002. ISBN 0716743450

Todos los enlaces recuperados el 11 de junio de 2016.

• Calculadora interactiva de Radiación de Cuerpo Negro con Efecto Doppler. Incluye la mayoría de los sistemas de unidades.
• Mecanismos de enfriamiento para el Cuerpo Humano-De la Hiperfísica.
• Applet de emisión de cuerpo negro.
• «Blackbody Spectrum» por Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project.