Mielensäpahoittaja outous luku nolla, selitetty

tietokone, josta luet tätä artikkelia juuri nyt, toimii binäärisellä merkkijonolla nollia ja ykkösiä. Ilman Nollaa modernia elektroniikkaa ei olisi olemassa. Ilman nollaa ei ole laskentaa, eli ei modernia tekniikkaa tai automaatiota. Ilman Nollaa suuri osa nykymaailmastamme kirjaimellisesti hajoaa.

ihmiskunnan löytyminen nollasta oli ”totaalinen pelinvaihtaja … vastaa sitä, että me opettelemme kieltä”, sanoo saksalaisen Tübingenin yliopiston kognitiotieteilijä Andreas Nieder.

mutta valtaosan historiastamme ihmiset eivät ymmärtäneet lukua nolla. Se ei ole synnynnäistä meissä. Meidän oli keksittävä se. Meidän on opetettava sitä seuraavalle sukupolvelle.

muut eläimet, kuten apinat, ovat kehittyneet ymmärtämään alkeellista käsitystä tyhjästä. Tutkijat kertoivat juuri, että pienetkin mehiläisen aivot pystyvät laskemaan Nollaa. Mutta vain ihmiset ovat tarttuneet Zeroon ja takoneet sen työkaluksi.

ei siis pidetä Nollaa itsestäänselvyytenä. Mikään ei ole kiehtovaa. Tässä syy.

mikä edes on nolla?

Getty Images

käsityksemme nollasta on syvällinen, kun otetaan huomioon tämä tosiasia: emme usein, tai ehkä koskaan, kohtaa Nollaa luonnossa.

sellaisilla luvuilla kuin yksi, kaksi ja kolme on vastine. Näemme yhden valonvälähdyksen. Auton torvesta kuuluu kaksi piippausta. Mutta nolla? Se vaatii meitä tajuamaan, että jonkin puuttuminen on asia itsessään ja itsestään.

”nolla on mielessä, mutta ei aistimaailmassa”, sanoo Robert Kaplan, Harvardin matematiikan professori ja nollasta kirjan kirjoittanut. Jopa tyhjissä avaruuden kolkissa, jos voi nähdä tähtiä, se tarkoittaa, että kylpee niiden sähkömagneettisessa säteilyssä. Synkimmässä tyhjyydessä on aina jotain. Ehkä todellinen nolla – Eli absoluuttinen olemattomuus-on saattanut olla olemassa jo ennen alkuräjähdystä. Mutta emme voi koskaan tietää.

nollan ei kuitenkaan tarvitse olla olemassa ollakseen hyödyllinen. Itse asiassa, voimme käyttää käsitettä nolla johtaa kaikki muut numerot maailmankaikkeudessa.

Kaplan johdatti minut läpi ajatusharjoituksen, jonka ensimmäisenä kuvasi matemaatikko John von Neumann. Se on petollisen yksinkertaista.

Kuvittele laatikko, jossa ei ole mitään. Matemaatikot kutsuvat tätä tyhjää laatikkoa ” tyhjäksi joukoksi.”Se on fyysinen esitys nolla. Mitä tyhjän laatikon sisällä on? Mitään.

ota nyt toinen tyhjä laatikko ja laita se ensimmäiseen.

kuinka monta asiaa on nyt ensimmäisessä laatikossa?

siinä on yksi esine. Sitten, laita toinen tyhjä laatikko sisään kaksi ensimmäistä. Kuinka monta esinettä se sisältää nyt? Kaksi. Ja niin ”johdamme kaikki laskuluvut nollasta … tyhjästä”, Kaplan sanoo. Tämä on numerojärjestelmämme perusta. Nolla on abstraktio ja todellisuus yhtä aikaa. ”Se ei ole mitään”, kuten Kaplan sanoi. (Tässä vaiheessa tarinaa, saatat haluta ottaa uuden iskun teidän bong.)

hän esitti sen sitten runollisemmin. ”Zero seisoo niin kuin kaukainen horisontti kutsuu meitä samalla tavalla kuin horisontti maalauksissa”, hän sanoo. ”Se yhdistää koko kuvaa. Jos katsot Nollaa, et näe mitään. Mutta jos sitä katsoo läpi, näkee maailman. Se on horisontti.”

kun meillä oli nolla, meillä on negatiiviset luvut. Nolla auttaa meitä ymmärtämään, että voimme matematiikan avulla ajatella asioita, joilla ei ole vastinetta fyysisessä eletyssä kokemuksessa; imaginaarilukuja ei ole olemassa, mutta ne ovat ratkaisevia sähköjärjestelmien ymmärtämisessä. Zero auttaa meitä myös ymmärtämään sen antiteesin, äärettömyyden, kaikessa äärimmäisessä outoudessaan. (Tiesitkö, että yksi ääretön voi olla suurempi kuin toinen?)

miksi nolla on niin pirun hyödyllinen matematiikassa

nollan vaikutus meidän matematiikkaan on nykyään kaksijakoinen. Yksi: se on tärkeä paikkamerkki numerojärjestelmässämme. Kaksi: se on sinänsä hyödyllinen numero.

nollan ensimmäiset käyttökohteet ihmiskunnan historiassa voidaan jäljittää noin 5 000 vuoden taakse, muinaiseen Mesopotamiaan. Siellä sitä käytettiin edustamaan numeron puuttumista numerosarjasta.

tässä on esimerkki siitä, mitä tarkoitan: ajattele numeroa 103. Nolla tässä tapauksessa tarkoittaa ” ei ole mitään kymmenen sarakkeessa.”Se on paikkamerkki, joka auttaa meitä ymmärtämään, että tämä luku on satakolmonen eikä 13.

Okei, voisi ajatella, että ” tämä on perus.”Mutta muinaiset roomalaiset eivät tienneet tätä. Muistatko, miten roomalaiset kirjoittivat numeronsa? 103 roomalaisin numeroin on CIII. Numero 99 on XCIX. jos yrität lisätä CIII + XCIX, se on järjetöntä. Paikkamerkintä on se, minkä avulla voimme helposti lisätä, vähentää ja muuten manipuloida numeroita. Placeholder notation on se, mikä antaa meille mahdollisuuden selvittää monimutkaisia matemaattisia ongelmia paperille.

jos nolla olisi jäänyt pelkäksi paikkamerkinnäksi, se olisi ollut itsessään syvällinen työkalu. Mutta noin 1 500 vuotta sitten (tai ehkä vielä aikaisemmin) Intiassa nollasta tuli oma lukunsa, joka ei merkinnyt mitään. Keski-Amerikan muinaiset Mayat kehittivät myös itsenäisesti nollan lukujärjestelmäänsä ajanlaskun alun tienoilla.

600-luvulla Intialainen matemaatikko Brahmagupta kirjoitti muistiin ensimmäisen kirjallisen kuvauksen nollan aritmetiikasta:

kun numeroon lisätään nolla tai luvusta vähennetään nolla, luku pysyy muuttumattomana, ja nollalla kerrotusta luvusta tulee nolla.

nolla levisi hitaasti Lähi-itään ennen Eurooppaan pääsyä, ja 1200-luvulla matemaatikko Fibonaccin mieli, joka popularisoi ”arabialaisen” Lukujärjestelmän, jota me kaikki nykyään käytämme.

sieltä nollan hyödyllisyys räjähti. Ajattele kaaviota, joka piirtää matemaattisen funktion alkaen 0,0. Tämä nykyisin kaikkialla esiintyvä kuvantamismenetelmä keksittiin vasta 1600-luvulla sen jälkeen, kun zero oli levinnyt Eurooppaan. Tällä vuosisadalla nähtiin myös kokonaan uusi nollasta riippuva matematiikan ala: calculus.

saatat muistaa lukio-tai yliopistomatematiikasta, että yksinkertaisin funktio laskennassa on derivaatta. Derivaatta on yksinkertaisesti sellaisen suoran kulmakerroin, joka leikkaa yhden pisteen kanssa kuvaajassa.

yksittäisen pisteen kaltevuuden laskemiseen tarvitaan yleensä vertailupiste: nousu juoksun yli. Isaac Newton ja Gottfried Leibniz keksivät laskennan aikana, että tuon kaltevuuden laskeminen yhdessä pisteessä merkitsee sitä, että tulee vielä lähemmäksi, lähemmäksi ja lähemmäksi — mutta ei koskaan todellisuudessa — jaettuna nollalla.

”kaikki äärettömät prosessit pyörivät ympäri, tanssivat ympäri, nollan käsite”, Robert Kaplan sanoo. Vau.

miksi nolla on niin syvällinen ihmisen ideana?

meillä ei ole syntyessämme ymmärrystä nollasta. Meidän on opittava se, ja se vie aikaa.

Elizabeth Brannon on Duken yliopiston neurotieteilijä, joka tutkii, miten sekä ihmiset että eläimet edustavat numeroita mielessään. Hän selittää, että vaikka alle 6-vuotiaat lapset ymmärtäisivät, että sana ”nolla” tarkoittaa ”ei mitään”, heidän on silti vaikea ymmärtää taustalla olevaa matematiikkaa. ”Kun kysyy, kumpi luku on pienempi, nolla vai yksi, he ajattelevat usein yhtä pienimpänä lukuna”, Brannon sanoo. ”On vaikea oppia, että nolla on pienempi kuin yksi.”

kokeissa Brannon pelaa usein peliä 4-vuotiaiden kanssa. Hän laittaa pari korttia pöydälle tai näytölle. Ja jokainen kortti on useita esineitä sitä. Yhdellä kortilla on esimerkiksi kaksi pistettä. Toinen ottaa kolme. Tässä on esimerkki siitä, mitä he saattavat nähdä.

kognitiivisen tieteen trendit

hän yksinkertaisesti pyytää lapsia valitsemaan kortin, jossa on vähiten esineitä. Kun kortti, jossa ei ole mitään, yhdistetään korttiin, jossa on yksi esine, alle puolet lapsista saa vastauksen oikein.

kognitiotieteen trendit

joten mikä saa kaiken napsahtamaan?

Saksalainen kognitiotutkija Andreas Nieder arvelee, että nollan ymmärtämiseen on neljä psykologista vaihetta, ja jokainen vaihe on kognitiivisesti monimutkaisempi kuin sitä edeltänyt.

monet eläimet selviävät kolmesta ensimmäisestä vaiheesta. Mutta viimeinen vaihe, vaikein, on ”varattu meille ihmisille”, Nieder sanoo.

ensimmäinen on vain saada yksinkertainen aistikokemus ärsyke käynnissä ja pois. Tämä on yksinkertainen kyky huomata valon välkkyvän päälle ja pois. Tai ääni, joka syttyy ja sammuu.

toinen on käyttäytymisen ymmärtäminen. Tässä vaiheessa eläimet eivät vain voi tunnistaa ärsykkeen puutetta, vaan ne voivat reagoida siihen. Kun yksilöltä on ruoka loppunut, hän tietää lähteä etsimään lisää.

kolmannessa vaiheessa tiedostetaan, että nolla eli tyhjä astia on arvoa pienempi kuin yksi. Tämä on hankalaa, vaikka yllättävän monet eläimet, kuten mehiläiset ja apinat, voivat tunnistaa tämän tosiasian. Se on ymmärrystä,” että millään ei ole määrällistä kategoriaa”, Nieder sanoo.

neljäs vaihe ottaa ärsykkeen puuttumisen ja käsittelee sitä symbolina ja loogisena työkaluna ongelmien ratkaisemiseksi. Mikään eläin ihmisen ulkopuolella ei hänen mukaansa ”vaikka olisi kuinka fiksu”, ymmärrä, että nolla voi olla symboli.

mutta hyväosaisetkin ihmiset voivat vielä hieman kompuroida Nollaa miettiessään. Tutkimukset ovat osoittaneet, että aikuisilla kestää hetken kauemmin tunnistaa numero nolla verrattuna muihin numeroihin. Ja kun brannonin pick-the low-the-low-number-card-kokeilu toistuu aikuisilla, heillä menee hieman kauemmin nollan ja yhden välillä päätettäessä kuin verrattaessa Nollaa suurempaan lukuun.

tämä viittaa siihen, että nollan käsittely vaatii aikuisiltakin ylimääräistä aivovoimaa.

mikä muu ei voi ymmärtää mitään?

Getty Images/EyeEm

meillä ei ehkä ole syntyessään kykyä ymmärtää Nollaa. Mutta kyvyllämme oppia sitä voi olla syvät evolutiiviset juuret, kuten jokin uusi tiede osoittaa meille.

neljäs askel nollan ajattelussa — eli nollan ajatteleminen symbolina — saattaa olla ihmiselle ainutlaatuinen. Yllättävän moni eläin voi kuitenkin päästä kolmanteen vaiheeseen: tunnustaa, että nolla on vähemmän kuin yksi.

jopa mehiläiset pystyvät siihen.

Royal Melbourne Institute of Technologyn tohtoriopiskelija Scarlett Howard julkaisi vastikään tieteen kokeen, joka on lähes identtinen brannonin lasten kanssa tekemän kokeen kanssa. Mehiläiset valitsivat tyhjän sivun 60-70 prosenttia ajasta. Ja he olivat huomattavasti parempia erottamaan suuren joukon, kuten kuusi, nollasta, kuin he erottelivat yhden nollasta. Aivan kuten lapset.

tämä on vaikuttavaa ottaen huomioon, että ”meillä on isot nisäkkäiden aivot, mutta mehiläisillä on niin pienet aivot, jotka painavat alle milligramman”, Howard sanoo. Hänen tutkimusryhmänsä toivoo ymmärtävänsä, miten mehiläiset tekevät nämä laskelmat mielessään, ja tavoitteena on jonain päivänä käyttää näitä oivalluksia tehokkaampien tietokoneiden rakentamiseen.

vastaavissa kokeissa tutkijat ovat osoittaneet, että apinat tunnistavat tyhjän joukon (ja ovat siinä usein parempia kuin 4-vuotiaat ihmiset). Mutta se, että mehiläiset pystyvät siihen, on tavallaan hämmästyttävää, kun ottaa huomioon, kuinka kaukana ne ovat meistä elämän evoluutiopuissa. ”Viimeinen yhteinen esi-isä meidän ja mehiläisten välillä eli noin 600 miljoonaa vuotta sitten, mikä on ikuisuus evolutionaarisessa ajassa”, Nieder sanoo.

me ihmiset saatoimme ymmärtää nollan luvuksi vasta 1 500 vuotta sitten. Mehiläisillä ja apinoilla tehdyt kokeet osoittavat, ettei kyse ole vain kekseliäisyydestämme. Se on ehkä myös evoluution huipentuma.

nollasta on vielä jäljellä suuria mysteerejä. Ensinnäkin Nieder sanoo, että” me tuskin tiedämme mitään ” siitä, miten aivot käsittelevät sitä fyysisesti. Emme tiedä, kuinka moni eläin ymmärtää, ettei mitään ole määrä.

mutta matematiikka on selvästi osoittanut, että kun emme tutki mitään, löydämme väistämättä jotain.