Observations générales
L’approche la plus naturelle de la logique formelle passe probablement par l’idée de la validité d’un argument du type dit déductif. Un argument déductif peut être à peu près caractérisé comme celui dans lequel l’affirmation est faite qu’une proposition (la conclusion) découle avec une stricte nécessité d’une autre proposition ou propositions (les prémisses) — c’est-à-dire qu’il serait incohérent ou auto-contradictoire d’affirmer les prémisses mais de nier la conclusion.
Pour qu’un argument déductif réussisse à établir la vérité de sa conclusion, deux conditions bien distinctes doivent être remplies: premièrement, la conclusion doit vraiment découler des prémisses — c’est—à-dire que la déduction de la conclusion des prémisses doit être logiquement correcte – et, deuxièmement, les prémisses elles-mêmes doivent être vraies. Un argument répondant à ces deux conditions est appelé son. De ces deux conditions, le logicien en tant que tel ne concerne que la première; la seconde, la détermination de la vérité ou de la fausseté des prémisses, est la tâche d’une discipline spéciale ou d’une observation commune appropriée à l’objet de l’argument. Lorsque la conclusion d’un argument est correctement déductible de ses prémisses, l’inférence des prémisses à la conclusion est dite (déductivement) valable, que les prémisses soient vraies ou fausses. D’autres façons d’exprimer le fait qu’une inférence est déductivement valide sont de dire que la vérité des prémisses donne (ou donnerait) une garantie absolue de la vérité de la conclusion ou qu’il impliquerait une incohérence logique (distincte d’une simple erreur de fait) de supposer que les prémisses étaient vraies mais la conclusion fausse.
Les inférences déductives qui concernent la logique formelle sont, comme leur nom l’indique, celles pour lesquelles la validité ne dépend d’aucune caractéristique de leur objet mais de leur forme ou structure. Ainsi, les deux déductions (1) Chaque chien est un mammifère. Certains quadrupèdes sont des chiens. Some Certains quadrupèdes sont des mammifères. et (2) Tout anarchiste croit en l’amour libre. Certains membres du parti gouvernemental sont anarchistes. Some Certains membres du parti gouvernemental croient en l’amour libre. les sujets diffèrent et nécessitent donc des procédures différentes pour vérifier la vérité ou la fausseté de leurs prémisses. Mais leur validité est assurée par ce qu’ils ont en commun — à savoir que l’argument de chacun est de la forme (3) Chaque X est un Y. Certains Z sont des X. Some Certains Z sont des Y.
La ligne (3) ci-dessus peut être appelée une forme d’inférence, et (1) et (2) sont alors des instances de cette forme d’inférence. Les lettres —X, Y et Z- en (3) marquent les endroits dans lesquels des expressions d’un certain type peuvent être insérées. Les symboles utilisés à cette fin sont appelés variables; leur utilisation est analogue à celle du x en algèbre, qui marque l’endroit dans lequel un chiffre peut être inséré. Une instance d’une forme d’inférence est produite en remplaçant toutes les variables qu’elle contient par des expressions appropriées (c’est-à-dire celles qui ont un sens dans le contexte) et en le faisant uniformément (c’est-à-dire en substituant la même expression partout où la même variable se reproduit). La caractéristique de (3) qui garantit que chaque instance de celui-ci sera valide est sa construction de telle sorte que toute manière uniforme de remplacer ses variables pour rendre les prémisses vraies rend automatiquement la conclusion vraie également, ou, en d’autres termes, qu’aucune instance de celle-ci ne peut avoir de prémisses vraies mais une fausse conclusion. En vertu de cette caractéristique, la forme (3) est appelée forme d’inférence valide. En revanche, (4) Chaque X est un Y. Certains Z sont des Y. Some Certains Z sont des X. n’est pas une forme d’inférence valide, car, bien que des exemples puissent être produits dans lesquels les prémisses et la conclusion sont toutes vraies, des exemples peuvent également être produits dans lesquels les prémisses sont vraies mais la conclusion est fausse — par exemple, (5) Chaque chien est un mammifère. Certaines créatures ailées sont des mammifères. Some Certaines créatures ailées sont des chiens.
La logique formelle en tant qu’étude concerne les formes d’inférence plutôt que leurs instances particulières. L’une de ses tâches est de discriminer entre les formes d’inférence valides et invalides et d’explorer et de systématiser les relations qui existent entre les formes valides.
Étroitement liée à l’idée d’une forme d’inférence valide est celle d’une forme de proposition valide. Une forme de proposition est une expression dont les instances (produites comme précédemment par des remplacements appropriés et uniformes de variables) ne sont pas des déductions de plusieurs propositions à une conclusion mais plutôt des propositions prises individuellement, et une forme de proposition valide est une forme pour laquelle toutes les instances sont de vraies propositions. Un exemple simple est (6) Rien n’est à la fois un X et un non-X. La logique formelle s’intéresse aux formes de proposition ainsi qu’aux formes d’inférence. L’étude des formes de proposition peut, en effet, être faite pour inclure celle des formes d’inférence de la manière suivante: que les prémisses de toute forme d’inférence donnée (prises ensemble) soient abrégées par alpha (α) et sa conclusion par bêta (β). Ensuite, la condition énoncée ci-dessus pour la validité de la forme d’inférence « α, donc β » revient à dire qu’aucune instance de la forme de proposition « α et non -β » n’est vraie — c’est-à—dire que chaque instance de la forme de proposition (7) n’est pas les deux: α et non -β est vraie – ou que la ligne (7), bien entendu, est une forme de proposition valide. L’étude des formes de proposition, cependant, ne peut pas être accommodée de la même manière dans l’étude des formes d’inférence, et donc pour des raisons d’exhaustivité, il est habituel de considérer la logique formelle comme l’étude des formes de proposition. Parce que la gestion des formes de propositions par un logicien est à bien des égards analogue à la gestion des formules numériques par un mathématicien, les systèmes qu’il construit sont souvent appelés calculs.
Une grande partie du travail d’un logicien se déroule à un niveau plus abstrait que celui de la discussion précédente. Même une formule telle que (3) ci-dessus, bien qu’elle ne se réfère à aucun sujet spécifique, contient des expressions comme « tout » et « est un », qui sont considérées comme ayant une signification définie, et les variables sont destinées à marquer les lieux d’expressions d’un type particulier (grosso modo, noms communs ou noms de classes). Il est cependant possible – et à certaines fins, c’est essentiel – d’étudier des formules sans même y attacher ce degré de signification. La construction d’un système de logique implique en fait deux processus distincts: la première consiste à mettre en place un appareil symbolique — un ensemble de symboles, des règles pour les assembler en formules et des règles pour manipuler ces formules; la seconde consiste à attacher certaines significations à ces symboles et formules. Si seulement le premier est fait, le système est dit sans interprétation, ou purement formel; si le second est fait aussi, le système est dit interprété. Cette distinction est importante, car les systèmes de logique s’avèrent avoir certaines propriétés tout à fait indépendamment de toute interprétation qui pourrait leur être imposée. Un système axiomatique de logique peut être pris comme exemple — c’est-à-dire un système dans lequel certaines formules non prouvées, appelées axiomes, sont prises comme points de départ, et d’autres formules (théorèmes) sont prouvées sur la force de celles-ci. Comme cela apparaîtra plus loin (voir ci-dessous Axiomatisation de PC), la question de savoir si une séquence de formules dans un système axiomatique est une preuve ou non dépend uniquement des formules prises comme axiomes et des règles pour dériver des théorèmes à partir d’axiomes, et pas du tout de ce que signifient les théorèmes ou les axiomes. De plus, un système non interprété donné est en général capable d’être interprété aussi bien de différentes manières; par conséquent, en étudiant un système non interprété, on étudie la structure qui est commune à une variété de systèmes interprétés. Normalement, un logicien qui construit un système purement formel a une interprétation particulière à l’esprit, et son motif pour le construire est la croyance que lorsque cette interprétation lui est donnée, les formules du système pourront exprimer de vrais principes dans un domaine de la pensée; mais, pour les raisons ci-dessus entre autres, il prendra généralement soin de décrire les formules et d’énoncer les règles du système sans référence à l’interprétation et d’indiquer à titre distinct l’interprétation qu’il a en tête.
Bon nombre des idées utilisées dans l’exposition de la logique formelle, y compris certaines qui sont mentionnées ci-dessus, soulèvent des problèmes qui appartiennent à la philosophie plutôt qu’à la logique elle-même. Les exemples sont: Quelle est l’analyse correcte de la notion de vérité? Qu’est-ce qu’une proposition, et comment est-elle liée à la phrase par laquelle elle est exprimée ? Existe-t-il des raisonnements solides qui ne sont ni déductifs ni inductifs? Heureusement, il est possible d’apprendre à faire de la logique formelle sans avoir de réponses satisfaisantes à de telles questions, tout comme il est possible de faire des mathématiques sans répondre à des questions appartenant à la philosophie des mathématiques telles que: Les nombres sont-ils des objets réels ou des constructions mentales?