Általános megfigyelések
valószínűleg a formális logika legtermészetesebb megközelítése a deduktív néven ismert érv érvényességének gondolata. A deduktív érv nagyjából úgy jellemezhető, mint amelyben azt az állítást állítják, hogy valamilyen állítás (a következtetés) szigorúan szükségszerűen következik valamilyen más javaslatból vagy javaslatból (a premisszákból)—vagyis hogy következetlen vagy önellentmondásos lenne a premisszákat állítani, de tagadni a következtetést.
ahhoz, hogy egy deduktív érv sikeresen megállapítsa következtetésének igazságát, két teljesen különálló feltételnek kell teljesülnie: először is, a következtetésnek valóban a premisszákból kell következnie—vagyis a következtetésnek a premisszákból való levonásának logikailag helyesnek kell lennie—, másodszor pedig maguknak a premisszáknak igaznak kell lenniük. A mindkét feltételnek megfelelő érvet hangnak nevezzük. E két feltétel közül a logikus mint olyan csak az elsővel foglalkozik; a második, a premisszák igazságának vagy hamisságának meghatározása valamilyen speciális fegyelem vagy az érv tárgyának megfelelő közös megfigyelés feladata. Ha egy érv következtetése helyesen levezethető a premisszáiból, akkor a premisszából a következtetésbe történő következtetést (deduktív módon) érvényesnek kell mondani, függetlenül attól, hogy a premisszák igazak-e vagy hamisak. A következtetés deduktív érvényességének kifejezésének más módjai az, ha azt mondjuk, hogy a premisszák igazsága abszolút garanciát ad (vagy adna) a következtetés igazságára, vagy hogy logikus következetlenséggel járna (a puszta ténybeli tévedéstől eltérően) azt feltételezni, hogy a premisszák igazak, de a következtetés hamis.
a formális logika deduktív következtetései, amint a neve is sugallja, azok, amelyek érvényessége nem a tárgyuk bármely tulajdonságától, hanem formájától vagy szerkezetétől függ. Így a két következtetés (1) minden kutya emlős. Néhány négylábú kutya. Néhány négylábú emlős. 2. minden anarchista hisz a szabad szeretetben. A kormánypárt egyes tagjai anarchisták. A kormánypárt egyes tagjai hisznek a szabad szeretetben. tárgyukban különböznek egymástól, ezért különböző eljárásokat igényelnek helyiségeik igazságának vagy hamisságának ellenőrzésére. De érvényességüket az biztosítja, ami közös bennük-nevezetesen, hogy az egyes argumentumok(3) formájúak, minden X Y. néhány Z X. néhány z y.
a fenti (3) sort következtetési formának nevezhetjük, és az (1) és (2) akkor ennek a következtetési formának a példányai. Az—X, Y és Z-betűk a (3) – ban jelölik azokat a helyeket, amelyekbe egy bizonyos típusú kifejezés beilleszthető. Az erre a célra használt szimbólumokat változóknak nevezzük; használatuk analóg a X ban ben algebra, amely azt a helyet jelöli, amelybe egy szám beilleszthető. A következtetési forma egy példányát úgy állítjuk elő, hogy a benne lévő összes változót megfelelő kifejezésekkel helyettesítjük (azaz olyanokkal, amelyeknek van értelme a kontextusban), és ezt egységesen tesszük (azaz ugyanazt a kifejezést helyettesítjük, ahol ugyanaz a változó megismétlődik). A (3) jellemzője, amely garantálja, hogy minden példánya érvényes lesz, annak felépítése oly módon, hogy a változók helyettesítésének minden egységes módja, hogy a premisszák igazak legyenek, automatikusan a következtetést is igazvá teszi, vagy más szavakkal, hogy egyetlen példányának sem lehet igaz premisszája, csak hamis következtetése. E tulajdonság értelmében a (3) űrlapot érvényes következtetési űrlapnak nevezzük. Ezzel szemben (4) Minden X egy Y. néhány Z Y-je. nem érvényes következtetési forma, mert bár előállíthatók olyan esetek, amelyekben a premisszák és a következtetések mind igazak, előállíthatók olyan példányok is, amelyekben a premisszák igazak, de a következtetés hamis—pl.(5) minden kutya emlős. Néhány szárnyas lény emlős. 6. néhány szárnyas lény kutya.
a formális logika mint tanulmány a következtetési formákkal foglalkozik, nem pedig azok konkrét példányaival. Egyik feladata az érvényes és érvénytelen következtetési formák megkülönböztetése, valamint az érvényes formák közötti kapcsolatok feltárása és rendszerezése.
az érvényes következtetési forma gondolatához szorosan kapcsolódik az érvényes javaslati forma. A propozíciós forma olyan kifejezés, amelynek példányai (amelyeket korábban a változók megfelelő és egységes helyettesítésével állítottak elő) nem következtetések több propozícióból egy következtetésbe, hanem inkább egyénileg vett propozíciók, és egy érvényes propozíciós forma az, amelyre az összes példány igaz propozíció. Egyszerű példa: (6) semmi sem egyszerre X és nem X. A formális logika a propozíciós formákkal, valamint a következtetési formákkal foglalkozik. A propozíciós formák tanulmányozása valójában úgy is elkészíthető, hogy magában foglalja a következtetési formákat a következő módon: hagyja, hogy bármely adott következtetési forma premisszáit (együttesen) rövidítsük alpha-val (xhamsterrel), következtetését pedig beta-val (xhamsterrel). Akkor a feltétel már említettük az érvényességét a következtetési forma “α, ezért β” mennyiségben, hogy azt mondom, hogy nem példányát az ajánlat formája “α a β” igaz—azaz, hogy minden esetben az ajánlat formája(7) Nem mind: α a β igaz, vagy, hogy a vonal (7), teljes mértékben fejtik ki, természetesen egy érvényes ajánlat formájában. A propozíciós formák tanulmányozása, azonban, nem illeszthető hasonlóan a következtetési formák tanulmányozásához, ezért az átfogó okok miatt szokás a formális logikát a propozíciós formák tanulmányozásának tekinteni. Mivel a logikus kezelése proposition formák sok szempontból analóg a matematikus kezelése numerikus képletek, az általa felépített rendszereket gyakran hívják kalkulusok.
egy logikus munkájának nagy része elvontabb szinten halad, mint az előző vita. Még egy olyan képlet is, mint a fenti (3), bár nem utal konkrét tárgyra, tartalmaz olyan kifejezéseket, mint “minden” és “van a”, amelyekről úgy gondolják, hogy határozott jelentéssel bírnak, és a változók arra szolgálnak, hogy megjelöljék az adott típusú kifejezések helyét (durván, közönséges főnevek vagy osztálynevek). Lehetséges azonban—és bizonyos célokra elengedhetetlen-a képletek tanulmányozása anélkül, hogy még ilyen értelmességet is tulajdonítanánk nekik. A logikai rendszer felépítése valójában két megkülönböztethető folyamatot foglal magában: az egyik egy szimbolikus apparátus felállítása—szimbólumok halmaza, szabályok ezeknek a képletekbe való összefűzésére és e képletek manipulálására; a második pedig bizonyos jelentések csatolása ezekhez a szimbólumokhoz és képletekhez. Ha csak az előbbi történik, akkor azt mondják, hogy a rendszer értelmezetlen vagy tisztán formális; ha az utóbbi is megtörténik, akkor a rendszert értelmezik. Ez a megkülönböztetés azért fontos, mert a logikai rendszerekről kiderül, hogy bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek, függetlenül a rájuk helyezett értelmezésektől. Példaként egy axiomatikus logikai rendszert lehet venni—vagyis egy olyan rendszert, amelyben bizonyos bizonyítatlan képleteket, axiómákat veszünk kiindulási pontként, és ezek alapján további képleteket (tételeket) bizonyítunk. Amint az később megjelenik (lásd alább a PC Axiomatizálása), az a kérdés, hogy egy axiomatikus rendszerben a képletek sorozata bizonyíték-e vagy sem, kizárólag attól függ, hogy mely képleteket veszik axiómának, és hogy milyen szabályok vonatkoznak a tételek axiómákból történő levezetésére, és egyáltalán nem attól, hogy mit jelentenek a tételek vagy axiómák. Sőt, egy adott értelmezetlen rendszer általában képes egyformán jól értelmezni számos különböző módon; ezért egy értelmezetlen rendszer tanulmányozása során azt a struktúrát tanulmányozzuk, amely közös a különféle értelmezett rendszerekben. Normális esetben egy tisztán formális rendszert felépítő logikusnak van egy sajátos értelmezése, és ennek felépítésének motívuma az a meggyőződés, hogy amikor ezt az értelmezést megadják neki, a rendszer képletei képesek lesznek valódi elveket kifejezni valamilyen gondolkodási területen; de, többek között a fenti okok miatt, általában gondoskodik arról, hogy leírja a képleteket és megfogalmazza a rendszer szabályait, anélkül, hogy az értelmezésre hivatkozna, és külön kérdésként jelzi az értelmezést, amelyet gondol.
a formális logika kifejtésében használt ötletek közül sok, beleértve a fent említetteket is, olyan problémákat vet fel, amelyek inkább a filozófiához tartoznak, mint magához a logikához. Példák: mi az igazság fogalmának helyes elemzése? Mi a javaslat, és hogyan kapcsolódik a mondathoz, amellyel kifejezik? Vannak-e olyan megalapozott érvelések, amelyek sem deduktívak, sem induktívak? Szerencsére meg lehet tanulni a formális logikát anélkül, hogy kielégítő válaszokat adnánk az ilyen kérdésekre, csakúgy, mint a matematikát a matematika filozófiájához tartozó kérdések megválaszolása nélkül, például: a számok valós tárgyak vagy mentális konstrukciók?