숫자 0 의 마음 유연한 이상한,설명

이 기사를 읽고있는 컴퓨터는 지금 0 과 1 의 이진 문자열에서 실행됩니다. 0 이 없다면 현대 전자 제품은 존재하지 않을 것입니다. 0 이 없으면 미적분학이 없으며,이는 현대 공학이나 자동화가 없음을 의미합니다. 0 이 없으면 현대 세계의 많은 부분이 문자 그대로 무너집니다.

제로의 인류의 발견은”총 게임 체인저… 미국 학습 언어에 해당,”안드레아스 니더 말한다,독일의 티빙겐 대학의인지 과학자.

그러나 우리 역사의 대다수에서 인간은 숫자 0 을 이해하지 못했습니다. 그것은 우리 안에 타고난 것이 아닙니다. 우리는 그것을 발명해야 했다. 다음 세대에게 계속 가르쳐야 합니다.

원숭이와 같은 다른 동물들은 아무 것도 없는 기초적인 개념을 이해하기 위해 진화해 왔다. 그리고 과학자들은 작은 벌의 뇌조차도 0 을 계산할 수 있다고보고했습니다. 그러나 그것은 제로를 압수하고 도구로 위조 한 유일한 인간입니다.

그러니 0 을 당연하게 여기지 말자. 매혹적인 것은 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

어쨌든 0 은 무엇입니까?

게티 이미지

이 사실을 고려할 때 제로에 대한 우리의 이해는 심오합니다.

1,2,3 과 같은 숫자에는 대응 물이 있습니다. 우리는 하나의 빛 플래시를 볼 수 있습니다. 우리는 자동차 경적에서 두 개의 경고음을들을 수 있습니다. 하지만 제로? 그것은 우리가 무언가의 부재가 그 자체로 일이라는 것을 인식 할 것을 요구합니다.

“제로는 마음 속에 있지만 감각 세계에는 없다”고 하버드 수학 교수이자 제로에 관한 책의 저자 인 로버트 카플란은 말한다. 빈 공간에서도 별을 볼 수 있다면,그것은 당신이 그들의 전자기 방사선에 빠져 있다는 것을 의미합니다. 가장 어두운 공허함 속에는 항상 무언가가 있습니다. 아마도 진정한 제로—절대적 무를 의미—는 빅뱅 이전 시대에 존재했을 것입니다. 그러나 우리는 결코 알 수 없습니다.

그럼에도 불구하고 유용하기 위해 0 이 존재할 필요는 없습니다. 사실,우리는 우주의 다른 모든 숫자를 도출하기 위해 0 의 개념을 사용할 수 있습니다.

카플란은 수학자 존 폰 노이만이 처음 설명한 사고 연습을 통해 나를 안내했습니다. 믿을 수 없을 정도로 간단합니다.

아무것도 들어 있지 않은 상자를 상상해 보라. 수학자들은이 빈 상자를”빈 세트”라고 부릅니다.”그것은 0 의 물리적 표현입니다. 빈 상자 안에 무엇이 있습니까? 아무것도.

이제 다른 빈 상자를 가져 와서 첫 번째 상자에 넣으십시오.

첫 번째 상자에 얼마나 많은 것들이 있습니까?

그 안에 하나의 물체가 있습니다. 그런 다음 처음 두 상자 안에 다른 빈 상자를 넣으십시오. 얼마나 많은 개체가 지금 포함되어 있습니까? 두. 그리고 그것이”우리는 모든 계산 숫자를 0 에서 아무것도 아닌 것에서 파생시킵니다.”라고 카플란은 말합니다. 이것은 우리의 번호 시스템의 기초입니다. 0 은 추상화이며 동시에 현실이다. “그것은 아무것도 아니다,”카플란은 말했다. (이야기의 이 시점에서,당신은 당신의 봉에 다른 명중을 가지고 가고 싶을 수도 있다.

그는 그것을 더 시적인 용어로 표현했다. “멀리 지평선 지평선이 그림에서 할 방법에 우리를 손짓으로 제로 스탠드,”그는 말한다. “그것은 전체 그림을 통합합니다. 당신이 0 을 보면 당신은 아무것도 볼 수 없습니다. 그러나 당신이 그것을 통해 보면,당신은 세상을 볼 수 있습니다. 그것은 수평선입니다.”

일단 0 이 있으면 음수가 있습니다. 0 은 우리가 수학을 사용하여 물리적 인 경험에 대응하지 않는 것에 대해 생각할 수 있다는 것을 이해하는 데 도움이됩니다.허수는 존재하지 않지만 전기 시스템을 이해하는 데 중요합니다. 제로는 또한 우리가 그것의 극단적 인 모든 이상한 점에서 그것의 반,무한대를 이해하는 데 도움이됩니다. (하나의 무한대가 다른 무한대보다 클 수 있다는 것을 알고 계셨습니까?(

수학에서 제로가 왜 그렇게 유용한 지

오늘날 우리의 수학에 대한 제로의 영향은 두 가지입니다. 하나:그것은 우리의 숫자 시스템에서 중요한 자리 자리 숫자입니다. 둘째,그것은 그 자체로 유용한 숫자입니다.

인류 역사에서 제로의 첫 번째 사용은 약 5,000 년 전,고대 메소포타미아로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 거기,그것은 숫자의 문자열에 자릿수의 부재를 나타내는 데 사용되었다.

내 말의 예가 있습니다:숫자 103 을 생각해보십시오. 이 경우 0 은”수십 열에 아무것도 없습니다.”그것은 자리 표시 자이며,이 숫자가 13 이 아니라 1 백 3 이라는 것을 이해하는 데 도움이됩니다.

좋아,당신은 생각할 수 있습니다,”이것은 기본입니다. 그러나 고대 로마인들은 이것을 몰랐다. 로마인들이 그들의 숫자를 어떻게 썼는지 기억하십니까? 로마 숫자의 103 은 시입니다. 숫자 99 는 100 입니다. 자리 표시 자 표기법은 우리가 쉽게 추가,빼기,그렇지 않으면 숫자를 조작 할 수 있습니다 것입니다. 자리 표시 자 표기법은 우리가 종이 한 장에 복잡한 수학 문제를 해결할 수 있습니다 것입니다.

0 이 단순히 자리 표시 자 숫자로 남아 있었다면 그 자체로 심오한 도구 였을 것입니다. 그러나 약 1,500 년 전(또는 그 이전)인도에서는 0 이 그 자체의 숫자가되어 아무 것도 의미하지 않았습니다. 중앙 아메리카의 고대 마야인들은 또한 공통 시대의 새벽에 그들의 숫자 체계에서 독립적으로 0 을 개발했습니다.

7 세기에,인도의 수학자 브라마 굽타는 제로의 산술의 첫 번째 서면 설명으로 인식 무엇을 썼다:

숫자에 0 을 더하거나 숫자에서 빼면 숫자는 변경되지 않고 0 을 곱한 숫자는 0 이 됩니다.

제로는 유럽에 도달하기 전에 중동 전역에 천천히 퍼져 나갔고,오늘날 우리 모두가 사용하는”아랍어”숫자 체계를 대중화 한 1200 년대의 수학자 피보나치의 마음.

거기에서 제로의 유용성이 폭발했다. 에서 시작하는 수학 함수를 플롯 어떤 그래프 생각 0,0. 이 현재 유비쿼터스 그래프 방법은 유럽으로 퍼지지 않은 후 17 세기에 처음 발명되었습니다. 그 세기는 또한 0 에 의존하는 완전히 새로운 수학 분야를 보았습니다:미적분학.

고등학교 또는 대학 수학에서 미적분학에서 가장 간단한 함수는 미분을 취하는 것임을 기억할 수 있습니다. 도함수는 단순히 그래프의 단일 점과 교차하는 선의 기울기입니다.

단일 지점의 기울기를 계산하려면 일반적으로 비교 지점이 필요합니다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠가 미적분을 발명했을 때 발견한 것은 한 지점에서 기울기를 계산하는 것은 더 가까이,더 가까이,그리고 더 가까이—그러나 실제로는 결코—0 으로 나누는 것을 포함한다는 것입니다.

로버트 카플란은”모든 무한한 과정은 제로의 개념을 중심으로 회전하고 춤추고 있다”고 말했다. 우와

왜 제로는 인간의 생각만큼 심오한가?

우리는 0 에 대한 이해를 가지고 태어난 것이 아닙니다. 우리는 그것을 배워야하고 시간이 걸립니다.

엘리자베스 브래넌은 듀크 대학의 신경과학자로서 인간과 동물이 어떻게 숫자를 표현하는지 연구한다. 그녀는 6 세 미만의 아이들이”제로”라는 단어가”아무것도”를 의미한다는 것을 이해하더라도 여전히 근본적인 수학을 파악하는 데 어려움을 겪고 있다고 설명합니다. “어떤 숫자가 더 작은지,0 또는 1 인지 물어 보면,그들은 종종 하나를 가장 작은 숫자로 생각합니다.”라고 브래넌은 말합니다. “0 이 1 보다 작다는 것을 배우는 것은 어렵습니다.”

실험에서 브래넌은 종종 4 살짜리 아이들과 게임을 할 것입니다. 그녀는 테이블이나 화면에 카드 한 쌍을 넣어 것입니다. 그리고 각 카드는 개체의 숫자를해야합니다. 하나의 카드는 예를 들어,두 개의 점이있을 것이다. 다른 하나는 3 개를 가질 것입니다. 여기 그들이 볼 수있는 것의 예가 있습니다.

인지 과학 동향

그녀는 단순히 개체의 적은 수의 카드를 선택하는 아이들을 요청합니다. 그것에 아무것도 카드가 그것에 하나의 개체와 카드와 결합 될 때,절반 미만의 아이들은 대답 권리를 얻을 것이다.

인지 과학의 동향

그래서 모든 클릭을 만들기 위해 어떻게됩니까?

독일인인지 과학자 안드레아스 니더는 0 을 이해하는 네 가지 심리적 단계가 있으며 각 단계가 이전보다 더인지 적으로 복잡하다는 가설을 세웠다.

많은 동물이 처음 세 단계를 통과 할 수 있습니다. 그러나 마지막 단계,가장 어려운 단계는”우리 인간을 위해 예약 된 것”이라고 니더는 말한다.

첫 번째는 자극의 단순한 감각적 경험을 가지고 있는 것이다. 이 점멸 및 해제 빛을 알 수있는 간단한 기능입니다. 또는 소음 켜기 및 끄기.

두 번째는 행동 이해입니다. 이 단계에서 동물은 자극의 부족을 인식 할 수있을뿐만 아니라 그것에 반응 할 수 있습니다. 개인이 음식을 다 써 버렸을 때,그들은 가서 더 많은 것을 찾는 것을 알고 있습니다.

세 번째 단계는 0 또는 빈 컨테이너가 1 보다 작은 값임을 인식하는 것입니다. 꿀벌과 원숭이를 포함한 놀라운 수의 동물이이 사실을 인식 할 수 있지만 이것은 까다 롭습니다. 그것은”아무것도 양적 범주를 가지고 있지 않다는 것을 이해하고있다”고 니더는 말한다.

네 번째 단계는 자극의 부재를 문제 해결을 위한 상징이자 논리적 도구로 취급하는 것이다. 인간 이외의 동물은”아무리 똑똑하더라도”0 이 상징이 될 수 있다는 것을 이해하지 못한다.

그러나 잘 교육받은 인간조차도 0 에 대해 생각할 때 여전히 조금 비틀 거릴 수 있습니다. 연구에 따르면 성인은 다른 숫자에 비해 숫자 0 을 인식하는 데 몇 분 더 오래 걸립니다. 그리고 브래넌의 가장 낮은 숫자 카드 선택 실험이 성인들과 반복 될 때,0 과 1 사이를 결정할 때 0 을 더 큰 숫자와 비교할 때보 다 약간 더 오래 걸립니다.

이는 성인의 경우에도 0 이 처리하는 데 뇌의 힘이 더 많이 필요하다는 것을 암시합니다.

아무것도 이해할 수없는 다른 것은 무엇입니까?

게티 이미지/아임

우리는 0 을 이해하는 능력을 가지고 태어나지 않을 수도 있다. 그러나 새로운 과학이 우리에게 보여 주듯이 그것을 배우는 우리의 능력은 깊은 진화론 적 뿌리를 가질 수 있습니다.

0 을 생각하는 네 번째 단계,즉 0 을 상징으로 생각하는 것은 인간에게 고유 할 수 있습니다. 그러나 놀라운 수의 동물이 3 단계로 나아갈 수 있습니다:0 이 1 보다 작다는 것을 인식하십시오.

꿀벌도 할 수 있습니다.

로얄 멜버른 공과 대학의 박사 과정 학생 스칼렛 하워드는 최근 브래넌이 아이들과 함께했던 것과 거의 동일한 과학 실험을 발표했습니다. 꿀벌은 빈 페이지를 선택 60 에 70 시간의 퍼센트. 6 과 같은 큰 숫자를 0 에서 차별하는 것이 1 을 0 에서 차별하는 것보다 훨씬 낫습니다. 그냥 아이들처럼.

이것은 인상적이다,고려”우리는이 큰 포유류의 뇌를 가지고 있지만 꿀벌은 너무 작은 뇌가 밀리그램 미만 무게,”하워드는 말한다. 그녀의 연구 그룹은 꿀벌이보다 효율적인 컴퓨터를 구축하기 위해 그 통찰력을 사용하여 일일 목표로,그들의 마음에 이러한 계산을 수행하는 방법을 이해 기대하고있다.

비슷한 실험에서,연구자들은 원숭이가 빈 세트를 인식 할 수 있음을 보여 주었다(그리고 종종 4 세의 인간보다 더 낫다). 하지만 꿀벌들이 그것을 할 수 있다는 사실은 놀라운 일입니다. “우리와 꿀벌 사이의 마지막 공통 조상은 약 6 억 년 전에 살았으며,이는 진화 시대의 영원입니다.”라고 니더는 말합니다.

우리 인간은 1,500 년 전에 0 을 숫자로 이해했을 것입니다. 꿀벌과 원숭이에 대한 실험이 우리에게 보여주는 것은 그것이 단지 우리의 독창성의 작업이 아니라는 것입니다. 그것은 또한 아마도 진화의 절정 작업 일 것입니다.

여전히 0 에 대한 위대한 신비가 있습니다. 하나 들어,니더는 뇌가 물리적으로 처리하는 방법에 대해”우리는 거의 아무것도 모른다”고 말한다. 그리고 우리는 얼마나 많은 동물이 수량으로 아무것도의 아이디어를 파악할 수 있는지 모른다.

그러나 수학이 우리에게 분명히 보여준 것은 우리가 아무것도 조사하지 않을 때,우리는 무언가를 찾을 수밖에 없다는 것입니다.