일반 관찰
아마도 형식 논리에 대한 가장 자연스러운 접근은 연역적이라고 알려진 종류의 논증의 타당성에 대한 아이디어를 통해서이다. 연역적 논쟁은 대략 어떤 명제(결론)가 다른 명제 또는 명제(전제)로부터 엄격한 필요성을 따르는 것으로 주장되는 것으로 특징 지어 질 수 있습니다—즉,전제를 주장하지만 결론을 부정하는 것은 일관성이 없거나 자기 모순이 될 것입니다.
연역적 논증이 그 결론의 진실을 확립하는데 성공하려면,두 가지 아주 뚜렷한 조건이 충족되어야 한다:첫째,결론은 전제로부터 실제로 따라야 한다—즉,전제로부터 결론을 추론하는 것은 논리적으로 정확해야 한다-그리고 둘째,전제들 자체가 사실이어야 한다. 이 두 조건을 모두 충족하는 인수를 소리라고합니다. 이 두 가지 조건 중 논리학자는 첫 번째 조건에만 관심이 있습니다; 둘째,전제의 진실 또는 거짓의 결정은 어떤 특별한 규율 또는 논쟁의 주제에 적합한 일반적인 관찰의 임무입니다. 논쟁의 결론이 그 전제에서 정확하게 추론 할 수있을 때,전제에서 결론까지의 추론은 전제가 참인지 거짓인지에 관계없이(연역적으로)유효하다고합니다. 추론이 연역적으로 유효하다는 사실을 표현하는 다른 방법은 전제의 진실이 결론의 진실에 대한 절대적인 보증을 제공하거나(또는)줄 것이라고 말하거나,전제가 사실이지만 결론이 거짓이라고 가정하는 논리적 불일치(사실의 단순한 실수와는 별개)를 포함 할 것입니다.
형식 논리와 관련된 연역적 추론은 이름에서 알 수 있듯이 타당성이 주제의 어떤 특징이 아니라 형식이나 구조에 달려있는 추론입니다. 따라서 두 가지 추론(1)모든 개는 포유류입니다. 일부 네발 동물은 개입니다. ∴일부 네발은유한다는 것을 명심해야 합니다. (2)모든 무정부주의자는 자유로운 사랑을 믿는 자이다. 정부 당의 일부 구성원은 아나키스트입니다. 정부 당의 일부 구성원은 자유로운 사랑을 믿는 사람들입니다. 주제에 차이가 따라서 자신의 건물의 진실 또는 허위를 확인하기 위해 다른 절차가 필요합니다. 그러나 그들의 타당성은 그들이 공통적으로 가지고있는 것에 의해 보장된다-즉,각각의 인수는 형식이다(3)모든 엑스 이다 와이. 문자-엑스,와이,및 지-에(3)특정 유형의 표현식이 삽입 될 수있는 장소를 표시합니다. 이 목적을 위해 사용되는 기호를 변수라고 합니다; 그들의 사용은 유사하다 엑스 에 대수학,어떤 숫자를 삽입 할 수있는 장소를 표시합니다. 유추 형식의 인스턴스는 그 안에있는 모든 변수를 적절한 표현식(즉,컨텍스트에서 이해되는 표현식)으로 대체하고 균일하게(즉,동일한 변수가 반복되는 곳마다 동일한 표현식을 대체하여)생성됩니다. 그것의 모든 인스턴스가 유효하다는 것을 보장하는(3)의 특징은 그 변수를 대체하여 전제를 진실하게 만드는 모든 균일 한 방법이 자동으로 결론을 또한 진실하게 만들거나,다른 말로하면,그것의 어떤 인스턴스도 진정한 전제를 가질 수 있지만 잘못된 결론을 가질 수 없다는 것입니다. 이 기능 덕분에 양식(3)을 유효한 추론 형식이라고합니다. (4)모든 엑스 는 와이. 유효한 추론 형태는 아니다,에 대한,그것의 인스턴스가 생산 될 수 있지만 어떤 전제와 결론이 모두 사실,그것의 인스턴스는 또한 생산 될 수있는 전제는 사실이지만 결론은 거짓-예를 들어,(5)모든 개는 포유류이다. 일부 날개 달린 생물은 포유류입니다. 일부 날개 달린 생물은 개입니다.
연구로서의 형식 논리는 특정 사례보다는 추론 형태에 관한 것이다. 그 임무 중 하나는 유효한 추론 형태와 유효하지 않은 추론 형태를 구별하고 유효한 추론 형태 간의 관계를 탐색하고 체계화하는 것입니다.
유효한 추론 형태의 아이디어와 밀접한 관련이있는 것은 유효한 제안 형태의 것입니다. 명제 양식은 인스턴스(변수에 대한 적절하고 균일 한 대체물에 의해 이전과 같이 생성 됨)가 여러 명제에서 결론으로 추론하는 것이 아니라 개별적으로 취해진 명제이며 유효한 명제 양식은 모든 인스턴스가 진정한 명제이다. 형식 논리는 추론 양식뿐만 아니라 명제 형태와 관련이 있습니다. 명제 형태의 연구는,사실,다음과 같은 방법으로 추론 형태의 것을 포함하도록 할 수있다:주어진 추론 형태의 전제를 보자(함께 찍은)알파에 의해 축약 될(2009)베타(2009)에 의해 결론. 다음 조건이 위에 명시된 유효성에 대한 추론의 양식”α,따라서 β”양을 말하는 것 인스턴스의 제안 형태로”α 지-β”진실—즉,모든 인스턴스의 제안을 양식(7)둘:α 지-β 사실 또는 해당 라인(7),완벽한 철자는 물론,유효한 제안 형태입니다. 그러나 명제 형태의 연구는 추론 형태의 연구 하에서 유사하게 수용 될 수 없으므로 포괄 성의 이유로 형식 논리를 명제 형태의 연구로 간주하는 것이 일반적입니다. 논리학자가 명제 형태를 다루는 것은 여러면에서 수학자가 수치 공식을 다루는 것과 유사하기 때문에 그가 구성하는 시스템을 종종 미적분학이라고합니다.
논리학자의 많은 작업은 앞서 언급한 논의의 작업보다 더 추상적 수준으로 진행된다. 위의(3)과 같은 공식조차도 특정 주제를 언급하지는 않지만”모든 것”과”이다”와 같은 표현을 포함하며,이는 명확한 의미를 갖는 것으로 생각되며 변수는 특정 종류의 표현을위한 장소를 표시하기위한 것입니다(대략 일반적인 명사 또는 클래스 이름). 그러나,—그리고 어떤 목적을 위해 그것은 필수적—그들에 게 의미의이 정도 연결 하지 않고 수식을 공부 하는 것이 가능 하다. 사실 논리 시스템의 구성에는 두 가지 구별 가능한 프로세스가 포함됩니다: 하나는 기호 장치—기호 집합,이들을 수식으로 묶기 위한 규칙,이러한 수식을 조작하기 위한 규칙-를 설정하는 것으로 구성되며,두 번째는 이러한 기호와 수식에 특정 의미를 첨부하는 것으로 구성됩니다. 단지 전자가 수행 된 경우,시스템은 해석되지 않은,또는 순수하게 형식적이라고;후자뿐만 아니라 수행하는 경우,시스템은 해석 될 수 있다고한다. 이 구별은 논리 시스템이 그 위에 배치 될 수있는 해석과 상당히 독립적으로 특정 속성을 갖는 것으로 판명되기 때문에 중요합니다. 공리 논리 시스템은 예를 들어,즉 공리로 알려진 특정 검증되지 않은 수식이 시작점으로 간주되는 시스템으로 간주 될 수 있으며 추가 수식(정리)이 이들의 강도에 대해 입증됩니다. 공리 체계에서 수식의 시퀀스가 증명인지 아닌지에 대한 질문은 공리로 간주되는 수식과 공리에서 정리를 도출하기위한 규칙이 무엇인지에 달려 있습니다. 더욱이,주어진 해석되지 않은 시스템은 일반적으로 여러 가지 방법으로 똑같이 잘 해석 될 수 있으며,따라서 해석되지 않은 시스템을 연구 할 때 다양한 해석 시스템에 공통적 인 구조를 연구합니다. 일반적으로 순수하게 형식적인 시스템을 구성하는 논리학자는 마음에 특정 해석을 가지고 있으며,이 해석이 주어지면 시스템의 공식이 생각의 일부 분야에서 진정한 원칙을 표현할 수 있다는 신념입니다; 그러나,다른 사람의 사이에서 위의 이유로,그는 일반적으로 공식을 설명하고 해석에 대한 참조없이 시스템의 규칙을 명시하고 별도의 문제로 그가 마음에있는 해석을 나타 내기 위해주의를 취할 것입니다.
위에서 언급한 몇 가지를 포함하여 형식논리 설명에서 사용된 많은 사상들은 논리 그 자체보다는 철학에 속하는 문제들을 제기한다. 보기는:진실의 관념의 정확한 분석은 무엇인가? 명제 란 무엇이며,그것이 표현되는 문장과 어떻게 관련이 있습니까? 연역적이거나 귀납적이지 않은 어떤 종류의 건전한 추론이 있습니까? 다행히,그것은 같은 수학의 철학에 속하는 질문에 대답하지 않고 수학을 할 수있는 것처럼,이러한 질문에 만족스러운 답변을하지 않고 형식적인 논리를 배울 수있다:숫자는 실제 개체 또는 정신 구조입니까?