generelle observasjoner
Sannsynligvis Er den mest naturlige tilnærmingen til formell logikk gjennom ideen om gyldigheten av et argument av den typen kjent som deduktiv. Et deduktivt argument kan grovt karakteriseres som et der det hevdes at noen forslag (konklusjonen) følger med streng nødvendighet fra noen andre forslag eller proposisjoner—premissene)-dvs.at det ville være inkonsekvent eller selvmotsigende å hevde premissene, men nekte konklusjonen.
hvis et deduktivt argument skal lykkes i å fastslå sannheten i sin konklusjon, må to ganske distinkte betingelser være oppfylt: for det første må konklusjonen virkelig følge av premissene-det vil si at slutningsavdraget fra premissene må være logisk korrekt-og for det andre må premissene selv være sanne— Et argument som møter begge disse forholdene kalles lyd. Av disse to forholdene er logikeren som sådan bare opptatt av den første; den andre, fastsettelsen av sannheten eller falskheten i lokalene, er oppgaven med en spesiell disiplin eller en felles observasjon som passer til argumentets gjenstand. Når konklusjonen av et argument er riktig deducible fra sine premisser, er slutningen fra premissene til konklusjonen sies å være (deduktivt) gyldig, uavhengig av om premissene er sanne eller usanne. Andre måter å uttrykke det faktum at en slutning er deduktivt gyldig er å si at sannheten i lokalene gir (eller vil gi) en absolutt garanti for sannheten i konklusjonen, eller at det ville innebære en logisk inkonsekvens (til forskjell fra en ren feil i faktum) å anta at lokalene var sanne, men konklusjonen falske.
de deduktive slutninger som formell logikk er opptatt av er, som navnet antyder, de som gyldighet avhenger ikke av noen funksjoner i emnet, men på deres form eller struktur. Dermed er de to avledningene (1) hver hund et pattedyr. Noen quadrupeds er hunder. ∴ Noen firføtte er pattedyr. og (2) hver anarkist er en troende i fri kjærlighet. Noen medlemmer av regjeringspartiet er anarkister. ∴ Noen medlemmer av regjeringspartiet er troende i fri kjærlighet. ulike emner og krever derfor forskjellige prosedyrer for å sjekke sannheten eller falskheten i deres lokaler. Men deres gyldighet er sikret av det de har til felles-nemlig at argumentet i hver er av formen(3) Hver X er En Y. Noen Z er X ‘s. ∴ Noen Z er Y’S.
Linje (3) ovenfor kan kalles en slutningsform, og (1) og (2) er da forekomster av den slutningsformen. Bokstavene-X, Y Og Z-in (3) markerer stedene der uttrykk av en bestemt type kan settes inn. Symboler som brukes til dette formålet er kjent som variabler; deres bruk er analog med den av x i algebra, som markerer stedet der et tall kan settes inn. En forekomst av en slutningsform er produsert ved å erstatte alle variablene i den med passende uttrykk (dvs. de som gir mening i konteksten) og ved å gjøre det jevnt (dvs. ved å erstatte det samme uttrykket hvor den samme variabelen kommer tilbake). Egenskapen til (3) som garanterer at hver forekomst av den vil være gyldig, er dens konstruksjon på en slik måte at hver ensartet måte å erstatte variablene for å gjøre premissene sanne automatisk gjør konklusjonen sann også, eller med andre ord at ingen forekomst av den kan ha sanne premisser, men en falsk konklusjon. I kraft av denne funksjonen kalles skjemaet (3) en gyldig slutningsform. I kontrast er(4) Hver X en Y. Noen Z er Y ‘s. ∴ Noen Z er X’ s. er ikke en gyldig slutningsform, for selv om forekomster av det kan produseres der premisser og konklusjon er sanne, kan forekomster av det også produseres der premissene er sanne, men konklusjonen er falsk-f. eks. (5) hver hund er et pattedyr. Noen bevingede skapninger er pattedyr. ∴ Noen bevingede skapninger er hunder.
Formell logikk som en studie er opptatt av slutningsformer i stedet for med bestemte forekomster av dem. En av oppgavene er å diskriminere mellom gyldige og ugyldige inferanseformer og å utforske og systematisere relasjonene som holder mellom gyldige.
Nært knyttet til ideen om en gyldig slutningsskjema er at av en gyldig proposition skjema. En proposisjonsform er et uttrykk som forekomstene (produsert som før ved passende og ensartede erstatninger for variabler) ikke er slutninger fra flere proposisjoner til en konklusjon, men snarere proposisjoner tatt individuelt, og en gyldig proposisjonsform er en som alle forekomstene er sanne proposisjoner. Et enkelt eksempel er(6) Ingenting er Både En X og en ikke-X. Formell logikk er opptatt av proposisjonsformer så vel som med slutningsformer. Studien av proposisjonsskjemaer kan faktisk gjøres for å inkludere inferanseskjemaer på følgende måte: la premissene til en gitt inferanseskjema (samlet) forkortes av alpha (α) og konklusjonen av beta (β). Så tilstand som nevnt ovenfor for gyldigheten av den slutning form «α, derfor β» beløp for å si at ingen forekomst av proposisjonen form «α og β» er sann, dvs. at hver forekomst av proposisjonen form(7) Ikke begge deler: α og β er sant—eller som linje (7), fullt stavet ut, selvfølgelig, er et gyldig alternativ form. Studiet av proposisjonsformer, derimot, kan ikke bli tilsvarende innkvartert under studiet av slutningsformer, og så av hensyn til helhet er det vanlig å betrakte formell logikk som studiet av proposisjonsformer. Fordi en logiker håndtering av proposisjonsformer er på mange måter analog med en matematiker håndtering av numeriske formler, blir systemene han konstruerer ofte kalt calculi.
Mye av arbeidet til en logiker fortsetter på et mer abstrakt nivå enn den foregående diskusjonen. Selv en formel som (3) ovenfor, men ikke refererer til et bestemt emne, inneholder uttrykk som «hver» og «er en», som antas å ha en bestemt betydning ,og variablene er ment å markere stedene for uttrykk av en bestemt type (grovt, vanlige substantiver eller klassenavn). Det er imidlertid mulig-og for noen formål er det viktig-å studere formler uten å feste selv denne graden av meningsfylthet til dem. Konstruksjonen av et system av logikk innebærer faktisk to skillebare prosesser: den ene består i å sette opp et symbolsk apparat – et sett med symboler, regler for å sette disse sammen til formler og regler for å manipulere disse formlene; den andre består i å knytte visse betydninger til disse symbolene og formlene. Hvis bare førstnevnte er gjort, sies systemet å være uinteressert, eller rent formelt; hvis sistnevnte også er gjort, sies systemet å tolkes. Dette skillet er viktig, fordi systemer av logikk viser seg å ha visse egenskaper helt uavhengig av eventuelle tolkninger som kan plasseres på dem. Et aksiomatisk system av logikk kan tas som et eksempel-det vil si et system der visse ubeviste formler, kjent som aksiomer, tas som utgangspunkt, og ytterligere formler (teoremer) er bevist på styrken av disse. Som det vil vises senere (se Nedenfor Aksiomatisering AV PC), spørsmålet om en sekvens av formler i et aksiomatisk system er et bevis eller ikke, avhenger bare av hvilke formler som tas som aksiomer og hva reglene er for å utlede teoremer fra aksiomer, og ikke i det hele tatt på hva teoremene eller aksiomene betyr. Videre er et gitt uinterpretert system generelt i stand til å tolkes like godt på en rekke forskjellige måter; derfor studerer man i å studere et uinterpretert system strukturen som er felles for en rekke tolkede systemer. Normalt en logiker som konstruerer et rent formelt system har en bestemt tolkning i tankene, og hans motiv for å bygge det er troen på at når denne tolkningen er gitt til det, formlene i systemet vil være i stand til å uttrykke sanne prinsipper i noen felt av tanken; men av de ovennevnte grunnene vil han vanligvis passe på å beskrive formlene og angi systemets regler uten henvisning til tolkning og å indikere som en egen sak tolkningen han har i tankene.
mange av ideene som brukes i utstillingen av formell logikk, inkludert noen som er nevnt ovenfor, reiser problemer som tilhører filosofien i stedet for logikken selv. Eksempler er: Hva er riktig analyse av begrepet sannhet? Hva er et forslag, og hvordan er det relatert til setningen som det uttrykkes for? Er det noen slags lyd resonnement som ikke er deduktiv eller induktiv? Heldigvis er det mulig å lære å gjøre formell logikk uten å ha tilfredsstillende svar på slike spørsmål, akkurat som det er mulig å gjøre matematikk uten å svare på spørsmål som tilhører matematikkens filosofi som: er tall virkelige objekter eller mentale konstruksjoner?