(ur. 5 sierpnia 1802 w Finnöy na wyspie niedaleko Stavanger w Norwegii; zm. 6 kwietnia 1829 w Froland w Norwegii)
matematyka.
ojciec Abla, Sören Georg Abel, był luterańskim pastorem, a on sam synem pastora. Był utalentowanym i bardzo ambitnym teologiem, wykształconym na Uniwersytecie Kopenhaskim, który był wówczas jedyną tego typu instytucją w Zjednoczonym Królestwie Danii-Norwegii. Ożenił się z Ane Marie Simonson, córką bogatego kupca i armatora w mieście Risör na południowym wybrzeżu. Finnöy była pierwszą parafią dla pastora Abla; była mała i mozolna, obejmowała kilka wysp. Para miała siedmioro dzieci, sześciu synów i córkę; Niels Henrik był ich drugim dzieckiem.
w 1804 roku Sören Georg Abel został mianowany następcą swojego ojca w parafii Gjerstad koło Risör. Sytuacja polityczna w Norwegii była napięta. Ze względu na sojusz z Danią kraj został wrzucony do wojen napoleońskich po stronie Francji, a Brytyjska blokada wybrzeża wywołała powszechny głód. Pastor Abel był wybitny w ruchu nacjonalistycznym, pracując na rzecz utworzenia oddzielnych instytucji Norweskich—zwłaszcza uniwersytetu i Banku Narodowego—jeśli nie dla całkowitej niezależności. Po zawarciu traktatu pokojowego w Kilonii Dania przekazała Norwegię Szwecji. Norwegowie zbuntowali się i napisali własną konstytucję, ale po krótkiej i daremnej wojnie ze Szwedami pod wodzą Bernadotte zostali zmuszeni do rozejmu. Unia ze Szwecją została zaakceptowana, a ojciec Abla został jednym z członków nadzwyczajnego Stortingu zwołanego jesienią 1814 roku w celu napisania niezbędnej rewizji nowej konstytucji.
Niels Henrik Abel i jego bracia otrzymali pierwsze nauki od ojca, ale w 1815 Abel i jego starszy brat zostali wysłani do szkoły Katedralnej w Christianii (Oslo). Była to stara szkoła, do której wielu urzędników państwowych w prowincji wysyłało swoje dzieci; niektóre stypendia były dostępne. Szkoła Katedralna była doskonała, ale była wtedy na niskim poziomie, ponieważ większość jej dobrych nauczycieli przyjęła stanowiska na nowym uniwersytecie, który rozpoczął naukę w 1813.
Abel miał zaledwie trzynaście lat, gdy opuścił dom i wydaje się prawdopodobne, że pogorszenie życia rodzinnego przyspieszyło jego odejście. W ciągu pierwszych kilku lat jego oceny były tylko zadowalające; potem jakość jego pracy spadła. Jego brat radził sobie jeszcze gorzej; zaczął wykazywać oznaki choroby psychicznej i w końcu musiał zostać odesłany do domu.
w 1817 roku w szkole miało miejsce wydarzenie, które miało zmienić życie Abla. Nauczyciel matematyki źle potraktował jednego z uczniów, który zmarł wkrótce potem, prawdopodobnie w wyniku kary. Nauczyciel został odwołany, a jego miejsce zajął Bernt Michael Holmboe, który był tylko o siedem lat starszy od Abla. Holmboe był również asystentem Christoffera Hansteena, profesora astronomii i czołowego naukowca na Uniwersytecie.
odkrycie niezwykłych zdolności młodego Abla w matematyce nie zajęło Holmboe ’ owi wiele czasu. Zaczął od dawania mu specjalnych problemów i polecania książek poza szkolnym programem nauczania. Następnie zaczęli wspólnie studiować teksty rachunkowe Eulera, a później prace francuskich matematyków, zwłaszcza Lagrange 'a i Laplace’ a. Tak szybki był postęp Abla, że wkrótce stał się prawdziwym nauczycielem. Z notatników zachowanych w Bibliotece Uniwersytetu w Oslo wynika, że już w tych pierwszych dniach szczególnie interesował się teorią równań algebraicznych. Zanim skończył szkołę, był zaznajomiony z większością ważnej literatury matematycznej. Holmboe był tak zachwycony geniuszem matematycznym, że odkrył, że Rektor Szkoły zmusił go do moderowania jego wypowiedzi na temat Abla w Księdze Rekordów. Ale profesorowie na Uniwersytecie byli dobrze poinformowani przez Holmboe o obiecującym młodym człowieku i zapoznali się osobiście. Oprócz Hansteena, który również nauczał matematyki stosowanej, był tylko jeden profesor matematyki. Sören Rasmussen, były nauczyciel w szkole katedralnej. Rasmussen, uprzejmy człowiek, nie był produktywnym uczonym; jego czas był w dużej mierze zajęty zadaniami powierzonymi mu przez rząd, szczególnie na stanowisku administratora nowego banku Norwegii.
podczas ostatniego roku w szkole Abel, z zapałem i nieskromnością młodości, zaatakował problem rozwiązania równania kwintyckiego. Problem ten był wybitny od czasów del Ferro, Tartaglia, Cardano i Ferrari w pierwszej połowie XVI wieku. Abel wierzył, że udało mu się znaleźć formę rozwiązania, ale w Norwegii nie było nikogo, kto mógłby zrozumieć jego argumenty, ani nie było żadnego czasopisma naukowego, w którym można by je opublikować. Hansteen przekazał pracę duńskiemu matematykowi Ferdinandowi Degenowi, żądając jej publikacji przez Akademię duńską.
Degen nie mógł znaleźć żadnego błędu w argumentach, ale zażądał, aby Abel zilustrował swoją metodę za pomocą przykładu. Degen uznał również, że temat jest nieco sterylny i zasugerował Abelowi zwrócenie uwagi na temat ” którego rozwój miałby największe konsekwencje dla analizy i mechaniki. Mam na myśli eliptyczne transcendentale . Poważny badacz z odpowiednimi kwalifikacjami do badań tego rodzaju nie byłby w żadnym razie ograniczony do wielu pięknych właściwości tych najbardziej niezwykłych funkcji, ale mógłby odkryć Cieśninę Magellana prowadzącą do rozległych połaci ogromnego oceanu analitycznego” (list do Hansteena).
Abel zaczął konstruować swoje przykłady rozwiązania równania Piątego stopnia, ale ku swemu przerażeniu odkrył, że jego metoda nie jest poprawna. Podążał również za sugestią Degena dotyczącą eliptycznych transcendentali i jest prawdopodobne, że w ciągu kilku lat w głównej mierze ukończył swoją teorię funkcji eliptycznych.
w 1818 pastor Abel został ponownie wybrany do Stortingu, po nieudanej licytacji w 1816. Jego kariera polityczna zakończyła się jednak tragedią. Złożył brutalne bezpodstawne zarzuty wobec innych przedstawicieli i został zagrożony impeachmentem. To, wraz z jego pijaństwem, uczyniło go dupkiem Prasy. Wrócił do domu w hańbie, człowiek rozczarowany. Zarówno on, jak i jego żona cierpieli na alkoholizm, a warunki na plebanii i w parafii stały się skandaliczne. Był powszechnie uważany za ulgę, gdy zmarł w 1820 roku. Wdowa po nim znalazła się w bardzo trudnej sytuacji, z niewielką emeryturą ledwie wystarczającą na utrzymanie jej i jej wielu dzieci.
Abel bez grosza wstąpił na uniwersytet jesienią 1821 roku. Otrzymał wolny pokój w akademiku uniwersyteckim i otrzymał pozwolenie na dzielenie go z młodszym bratem Pederem. Ale nowa instytucja nie miała funduszy stypendialnych, a niektórzy profesorowie podjęli niezwykłą miarę wspierania młodego matematyka z własnych pensji. Był gościem w ich domach i szczególnie zainteresował się domem Hansteena oraz panią Hansteen i jej siostrami.
pierwszym zadaniem Abela na Uniwersytecie było spełnienie wymagań dotyczących stopnia wstępnego, Candidatus Philosophiae. Po osiągnięciu tego celu, po roku, Abel został całkowicie zdany na studia. Nie było zaawansowanych kursów z matematyki i nauk fizycznych, ale to nie wydaje się być przeszkodą; w liście z Paryża nieco później stwierdził, że przeczytał praktycznie wszystko z matematyki, ważne lub nieistotne.
poświęcił swój czas zaawansowanym badaniom, a jego wysiłki nabrały silnego impetu, gdy Hansteen założył czasopismo naukowe, Magazin for Naturvidenskaben. W 1823 roku w czasopiśmie tym ukazał się pierwszy artykuł Abla, w języku norweskim, a study of functional equations. Matematycznie to nie było ważne. ani jego druga mała Gazeta. Prenumeratorom pisma obiecano jednak popularną recenzję, a Hansteen, prawdopodobnie po krytyce, poczuł się zobowiązany przeprosić za charakter tych prac: „uważam więc, że magazyn oprócz materiałów naukowych powinien również poszerzyć narzędzia służące do ich analizy. Uznamy, że daliśmy uczonym możliwość zapoznania się z pracą pióra tego utalentowanego i zręcznego autora ” (Magazyn, 1). Kolejna praca Abla, ” Opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp of bestemte Integraler „(„rozwiązanie niektórych problemów za pomocą całek określonych”), ma znaczenie w historii matematyki, ponieważ zawiera pierwsze rozwiązanie równania całkowego. Praca, która w tym czasie pozostała niezauważona, częściowo dlatego, że była w języku norweskim, zajmuje się mechanicznym problemem ruchu punktu masy na krzywej pod wpływem grawitacji. Zimą 1822-1823 Abel skomponował również dłuższą pracę nad integracją wyrażeń funkcjonalnych. Referat został przedłożony do Collegium Uniwersytetu w nadziei, że organ ten pomoże w jego publikacji. rękopis zaginął, ale wydaje się prawdopodobne, że niektóre wyniki w nim uzyskane są zawarte w niektórych późniejszych opracowaniach Abla.
wczesnym latem 1823 roku Abel otrzymał od profesora Rasmussena dar 100 dalerów na sfinansowanie podróży do Kopenhagi na spotkanie z Degenem i innymi duńskimi matematykami. Jego listy do Holmboe ujawniają matematyczne inspiracje, które otrzymał. Przebywał w domu swojego wuja i tu poznał swoją przyszłą narzeczoną, Christine Kemp.
po powrocie do Oslo Abel ponownie zajął się kwestią rozwiązania równania kwintyckiego. Tym razem trzymał się odwrotnego punktu widzenia i udało mu się rozwiązać wielowiekowy problem, udowadniając niemożność radykalnej ekspresji, która jest rozwiązaniem ogólnego równania piątego lub wyższego stopnia. Abel był w pełni świadomy znaczenia swojego wyniku, więc opublikował go na własny koszt na lokalnej drukarce. Aby dotrzeć do szerszej publiczności, napisał ją po francusku: „pamiętnik o równaniach algebraicznych lub dowód niemożności rozwiązania ogólnego równania Piątego stopnia”. aby zaoszczędzić na kosztach, Cała broszura została skompresowana do sześciu stron. Wynikająca z tego zwięzłość prawdopodobnie utrudniała zrozumienie; w każdym razie nie było reakcji ze strony żadnego z zagranicznych matematyków-w tym wielkiego C. F. Gaussa,do którego wysłano kopię.
stało się jasne, że Abel nie może już żyć dzięki wsparciu profesorów. Jego problemy finansowe pogłębiły się dzięki jego zaangażowaniu w związek z Christine Kemp. która przyjechała do Norwegii jako guwernantka dla dzieci z rodziny mieszkającej w pobliżu Oslo.
Abel złożył wniosek o dotację na podróż, a po pewnych opóźnieniach rząd zdecydował, że Abel powinien otrzymać małe stypendium na studia językowe na uniwersytecie, aby przygotować go do podróży za granicę. Miał wówczas otrzymać stypendium w wysokości 600 dalerów na dwuletnie studia zagraniczne.
Abel był rozczarowany opóźnieniem, ale sumiennie studiował języki, zwłaszcza francuski, i wykorzystał swój czas, aby przygotować znaczną liczbę prac, które mają być przedstawione zagranicznym matematykom. Latem 1825 roku odszedł wraz z czterema przyjaciółmi. wszyscy z nich zamierzali również przygotować się do przyszłej kariery naukowej: jeden z nich został później profesorem medycyny, a trzej pozostali geologami. Przyjaciele Abla planowali wyjazd do Berlina, podczas gdy Abel, za radą Hansteena, miał spędzić czas w Paryżu, wówczas głównym ośrodku matematyki na świecie. Abel obawiał się jednak samotności i postanowił udać się do Berlina, choć dobrze wiedział, że spotka go niezadowolenie jego Protektora.
zmiana zdania Abla okazała się najszczęśliwszą decyzją. Podczas przejazdu przez Kopenhagę Abel dowiedział się, że Degen zmarł, ale otrzymał list polecający od jednego z pozostałych Duńskich matematyków do tajnego radcy Augusta Leopolda Crelle ’ a. Crelle był bardzo wpływowym inżynierem, intensywnie interesującym się matematyką, chociaż sam nie był silnym matematykiem.
kiedy Abel po raz pierwszy wezwał Crelle ’ a, miał pewne trudności w zrozumieniu siebie. Ale po chwili Crelle rozpoznał niezwykłe cechy swojego młodego gościa. Oboje zostali przyjaciółmi na całe życie. Abel przedstawił mu kopię swojej broszury na temat równania kwintyckiego, ale Crelle wyznał, że było to dla niego niezrozumiałe i zalecił Abelowi stworzenie jego rozszerzonej wersji. Mówili o złym stanie matematyki w Niemczech. W liście do Hansteena, datowanym z Berlina 5 grudnia 1825, Abel napisał:
kiedy wyraziłem zdziwienie faktem, że nie istnieje czasopismo matematyczne, jak we Francji, powiedział, że od dawna zamierzał je Redagować i wkrótce doprowadzi swój plan do realizacji. Ten projekt jest teraz zorganizowany i ku mojej wielkiej radości, ponieważ będę miał miejsce, w którym będę mógł wydrukować niektóre moje artykuły. Przygotowałem już cztery z nich, które pojawią się w pierwszym numerze.
Journal für die reine und angewandte Mathematik, lub Dziennik Crelle ’ a, jak powszechnie wiadomo, był wiodącym niemieckim periodykiem matematycznym w XIX wieku. Pierwszy tom zawiera siedem prac Abla, a kolejne tomy zawierają o wiele więcej, większość z nich ma ogromne znaczenie w historii matematyki. Jednym z pierwszych jest rozszerzona wersja dowodu niemożności rozwiązania ogólnego równania kwintycznego przez rodników. Tutaj Abel rozwija niezbędne tło algebraiczne, w tym omówienie rozszerzeń pól algebraicznych. Abel nie był w tym czasie świadomy, że ma prekursora, włoskiego matematyka Paolo Ruffiniego. Ale w pośmiertnym artykule o równaniach rozwiązywalnych przez rodniki Stanów Abelowych: „Jedynym przede mną, jeśli się nie mylę, który próbował udowodnić niemożność algebraicznego rozwiązania równań ogólnych jest matematyk Ruffini, ale jego praca jest tak skomplikowana, że bardzo trudno jest ocenić poprawność jego argumentów. Wydaje mi się, że nie zawsze jest to zadowalające.”Wynik jest zwykle określany jako twierdzenie Abela-Ruffiniego.
po wyjeździe Abla z Oslo doszło do zdarzenia, które wzbudziło w nim wiele obaw. Rasmussen uznał profesurę matematyki za zbyt uciążliwą w połączeniu z obowiązkami publicznymi. Podał się do dymisji, a wkrótce potem Wydział głosował zalecić, aby Holmboe być mianowany do wypełnienia wakatu. Norwescy przyjaciele Abla uznali akcję za wysoce niesprawiedliwą, a sam Abel prawdopodobnie czuł to samo. Niemniej jednak napisał ciepły list gratulacyjny do swojego byłego nauczyciela, a oni pozostali dobrymi przyjaciółmi. Jest jednak oczywiste, że od tego momentu Abel martwił się o swoją przyszłość i zbliżające się małżeństwo; w jego ojczyźnie nie było dla niego stanowiska naukowego.
podczas zimy w Berlinie Abel napisał dziennik Crelle ’ a; wśród godnych uwagi artykułów są jeden na uogólnienie dwumianu formula_1, a drugi na integrację wyrażeń pierwiastka kwadratowego. Ale jednym z jego głównych problemów matematycznych był brak surowości we współczesnej matematyce. Wielokrotnie wspominał o tym w listach do Holmboe ’ a. W jednym z nich, datowanym na 16 stycznia 1826 r., napisał:
Moje oczy zostały otwarte w najbardziej zaskakujący sposób. Jeśli pominiemy najprostsze przypadki, to w całej matematyce nie ma ani jednego nieskończonego szeregu, którego suma została ściśle określona. Innymi słowy, najważniejsze elementy matematyki stoją bez fundamentów. To prawda, że większość z nich jest ważna, ale jest to bardzo zaskakujące. Staram się znaleźć powód, niezwykle interesujący problem.
rezultatem tej walki była jego klasyczna praca o szeregach mocy, która zawiera wiele ogólnych twierdzeń, a także, jako zastosowanie, rygorystyczne wyznaczanie sumy szeregów dwumianowych dla dowolnych wykładników rzeczywistych lub złożonych.
wczesną wiosną 1826 roku Abel poczuł się zobowiązany do udania się do swojego pierwotnego celu, Paryża. Crelle obiecał mu towarzyszyć, a po drodze zamierzali zatrzymać się w Getyndze, aby odwiedzić Gauss. Niestety presja biznesu uniemożliwiła Crelle ’ owi opuszczenie Berlina. W tym samym czasie norwescy przyjaciele Abla planowali wyprawę geologiczną po Europie Środkowej i ponownie niechętny oddzieleniu się od nich, dołączył do grupy. Podróżowali autokarem przez Czechy, Austrię, północne Włochy i Alpy. Abel dotarł do Paryża dopiero w lipcu, z ograniczonymi funduszami po drogiej podróży.
wizyta w Paryżu miała okazać się rozczarowująca. Wakacje na Uniwersytecie dopiero się zaczęły, kiedy Abel przybył, wrócił, odkrył, że są one odosobnione i trudne do podejścia; tylko mimochodem spotkał Legendre ’ a, którego głównym zainteresowaniem na starość były całki eliptyczne, specjalność Abla. Do prezentacji dla Francuskiej Akademii Nauk Abel zarezerwował pracę, którą uważał za swoje arcydzieło. Zajmował się sumą całek danej funkcji algebraicznej. Twierdzenie Abela mówi, że każda taka suma może być wyrażona jako stała liczba p tych całek, z argumentami całkowitymi, które są funkcjami algebraicznymi argumentów pierwotnych. Minimalna liczba p jest rodzajem funkcji algebraicznej i jest to pierwsze wystąpienie tej podstawowej wielkości. Twierdzenie Abla jest uogólnieniem relacji Eulera dla całek eliptycznych.
Abel spędził pierwsze miesiące w Paryżu, kończąc swój wspaniały pamiętnik; jest to jedna z jego najdłuższych prac i zawiera szeroką teorię z zastosowaniami. Został przedstawiony Akademii Nauk 30 października 1826 pod tytułem „Mémoire sur une propriété générale d’ une classe trés-étendue de fonctions transcendantes.”Cauchy i Legendre zostali mianowani sędziami, Cauchy był przewodniczącym. Wielu młodych mężczyzn szybko zyskało uznanie, gdy ich prace zostały zaakceptowane przez Akademię, a Abel oczekiwał na raport sędziów. Nie było jednak żadnego raportu; w rzeczywistości nie został on wydany, dopóki śmierć Abla nie wymusiła jego pojawienia się. Wydaje się, że to wina Cauchy ’ ego; twierdził później, że rękopis był nieczytelny.
kolejne dwa miesiące Abla w Paryżu były ponure; miał mało pieniędzy i mało znajomych. Dzięki pracy w Akademii sponsorowanej przez Legendre ’ a poznał P. G. L. Dirichleta, młodszego o trzy lata i już znanego matematyka. Innym znajomym był Frédéric Saigey, redaktor „scientific revue Ferrusac 's Bulletin”, dla którego Abel napisał kilka artykułów, szczególnie na temat własnych prac w czasopiśmie Crelle. Po świętach spędził ostatnie środki na opłacenie podróży do Berlina.
krótko po powrocie do Berlina. Abel zachorował; wydaje się, że doznał pierwszego ataku gruźlicy, który później miał odebrać mu życie. Pożyczył trochę pieniędzy od Holmboe ’ a, a Crelle prawdopodobnie mu pomógł. Abel pragnął wrócić do Norwegii, ale czuł się zmuszony pozostać za granicą, dopóki nie upłynie jego okres stypendialny. Crelle próbował zatrzymać go w Berlinie, dopóki nie znalazł dla niego miejsca na niemieckim uniwersytecie; w międzyczasie zaoferował mu redakcję swojego dziennika.
Abel pracował wytrwale nad nową pracą: „Recherches sur les fonctions elliptiques.”jego najobszerniejsza Publikacja (125 stron w „Oeuvres complètes”). W pracy tej radykalnie przekształcił teorię całek eliptycznych w teorię funkcji eliptycznych, wykorzystując ich funkcje odwrotne odpowiadające w najbardziej elementarnym przypadku dualności
funkcje eliptyczne stają się tym samym rozległym i naturalnym uogólnieniem funkcji trygonometrycznych; w wyniku pracy Abla miały one stanowić jeden z ulubionych tematów badawczych w matematyce w XIX wieku. Abel rozwinął większość teorii już jako student w Oslo, dzięki czemu był w stanie przedstawić teorię funkcji eliptycznych z wielkim bogactwem szczegółów, w tym podwójną periodyczność, ekspansje w nieskończonych seriach i produktach oraz twierdzenia dodawania. Teoria doprowadziła do wyrażeń funkcji wielokrotności argumentu z jednoczesnym określeniem równań dla argumentów ułamkowych i ich rozwiązania przez rodniki, znacznie w sposób, w jaki Gauss traktował równania cyklotomiczne: Listy Abla do Holmboe (z Paryża w grudniu 1826 i z Berlina w dniu 4 marca 1827) wskazują, że był szczególnie zafascynowany określeniem warunku lemniscate być podzielne na równe części za pomocą kompasu i linijki, analogiczne do konstrukcji Gaussa regularnych wielokątów. Ostatnia część zajmuje się tzw. teorią mnożenia zespolonego, później tak ważną w algebraicznej teorii liczb.
Abel wrócił do Oslo 20 maja 1827 roku, aby stwierdzić, że sytuacja w domu była tak ponura, jak się obawiał. Nie miał żadnego stanowiska w przyszłości, żadnej społeczności i obfitości długów. Jego wniosek o przedłużenie stypendium został odrzucony przez Departament Finansów, ale Uniwersytet odważnie przyznał mu niewielkie stypendium ze swoich skromnych funduszy. Działanie to zostało skrytykowane przez departament, który zastrzegł sobie prawo do odliczenia kwoty od przyszłej pensji, którą mógłby otrzymać.
narzeczona Abla znalazła nową posadę u przyjaciół rodziny Abla, rodziny właściciela huty żelaza w Froland, niedaleko Arendal. Jesienią Abel zamieszkał w Oslo, gdzie udzielał korepetycji uczniom i prawdopodobnie z pomocą przyjaciół . W Nowym Roku sytuacja stała się jaśniejsza. Hansteen, pionier badań geomagnetycznych, otrzymał dużą dotację na dwa lata na zbadanie ziemskiego pola magnetycznego na niezbadanej Syberii. W międzyczasie Abel został jego zastępcą zarówno na uczelni, jak i w Norweskiej Akademii Wojskowej.
pierwsza część „Recherches” została opublikowana w Dzienniku Crelle ’ a we wrześniu 1827 roku, a Abel dokończył drugą część zimą. Mieszkał w odosobnieniu w Oslo; zimą nie było żadnej paczki pocztowej, a on nie miał pojęcia o zainteresowaniu, jakie jego pamiętnik stworzył wśród europejskich matematyków. Nie wiedział też, że konkurent pojawił się w dziedzinie funkcji eliptycznych aż do początku 1828 roku, kiedy Hansteen pokazał mu wrześniowy numer „Astronomische Nachrichten”. W tym czasopiśmie młody niemiecki matematyk, K. G. J. Jacobi, ogłosił bez dowodów pewne wyniki dotyczące teorii transformacji całek eliptycznych. Abel pospiesznie dodał notatkę do rękopisu drugiej części „Recherches”, pokazując, jak wyniki Jacobiego były konsekwencją jego własnych.
Przerwał dużą pracę na temat teorii równań, która miała zawierać określenie wszystkich równań, które mogą być rozwiązane przez rodników: część, która została opublikowana, zawierała teorię tych równań, które są obecnie znane jako Abelian. Następnie napisał, w szybkim tempie, serię prac na temat funkcji eliptycznych. Pierwszym z nich było „Solution d’ un probleme général concernant la transformation des fonctions elliptiques.”Ta, jego bezpośrednia odpowiedź na Jacobiego, została opublikowana w Astronomische Nachrichten; Pozostałe ukazały się w czasopiśmie Crelle’ a. Ponadto Abel przygotował książkowy pamiętnik „Précis d’ une théorie des fonctions elliptiques”, który został opublikowany po jego śmierci. Jacobi natomiast pisał tylko krótkie notatki, które nie ujawniały jego metod; były one zarezerwowane dla jego książki Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
wiele napisano o wczesnej teorii funkcji eliptycznych. Wydaje się, że nie ma wątpliwości, że Abel był w posiadaniu idei kilka lat przed Jacobim. Z drugiej strony, jest to również ustalony fakt, że Gauss, choć publikowanie nic, odkrył Zasady funkcji eliptycznych długo przed Abel lub Jacobi.
europejscy matematycy z fascynacją obserwowali rywalizację pomiędzy dwoma młodymi matematykami. Legendre zauważył Zapowiedzi Jacobiego i otrzymał od niego list. Na spotkaniu Akademii Francuskiej w listopadzie 1827 pochwalił nową gwiazdę matematyczną; przemówienie zostało powtórzone w gazetach, a Legendre wysłał wycinek do Jacobiego. W swojej odpowiedzi Jacobi, po wyrażeniu podziękowań, wskazał na „Recherches” Abla i jego ogólne wyniki. Legendre odpowiedział: „dzięki tym pracom będziecie umieszczeni w klasie czołowych analityków naszych czasów.”Wyraził również swoje rozczarowanie metodą publikacji Jacobiego i był zirytowany, gdy Jacobi wyznał, że aby uzyskać niektóre z jego wyników, musiał polegać na pracy Abla. Mniej więcej w tym czasie Abel rozpoczął korespondencję z Legendre i przekazał mu swoje pomysły.
wszystko, co europejscy matematycy wiedzieli o stanie Abla w Norwegii, to to, że miał on tylko tymczasową posadę i został ostatnio zmuszony do nauczania uczniów, aby zarabiać na życie. Głównym źródłem ich informacji był Crelle, który nieustannie wykorzystywał swoje wpływy, aby starać się o powołanie Abla do nowego instytutu naukowego, który miał powstać w Berlinie. Postęp był jednak bardzo powolny. We wrześniu 1828 czterech wybitnych członków francuskiej Akademii Nauk podjęło Nadzwyczajny krok, kierując petycję bezpośrednio do Bernadotte ’ a, obecnie Karola XIV z Norwegii—Szwecji, zwracając uwagę na Abla i wzywając do stworzenia dla niego odpowiedniej pozycji naukowej. Na spotkaniu Akademii, 25 lutego 1829 roku, Legendre również złożył hołd Abelowi i jego odkryciom, szczególnie jego rezultatom w teorii równań.
w międzyczasie Abel, mimo pogarszającego się stanu zdrowia, pisał gorączkowo nowe prace. Letnie wakacje 1828 spędził z narzeczoną w majątku Froland. W Boże Narodzenie nalegał, aby odwiedzić ją ponownie, mimo że wymagało to kilkudniowej podróży w intensywnym mrozie. Miał gorączkę, gdy przybył, ale cieszył się rodzinną świętą Bożego Narodzenia. Mógł mieć przeczucie, że jego dni były policzone, a teraz obawiał się, że wielka praca przedłożona Akademii Francuskiej została utracona na zawsze. W związku z tym napisał krótką notatkę „Demonstration d’ une propriété générale d 'une certaine classe de fonctions transcendantes”, w której podał dowód głównego twierdzenia. Wysłał go do Crelle 6 stycznia 1829 roku.
czekając na sanki, które miały go odesłać do Oslo, Abel doznał gwałtownego krwotoku; lekarz zdiagnozował jego chorobę jako gruźlicę i nakazał dłuższe leżenie w łóżku. Zmarł w kwietniu, w wieku dwudziestu sześciu lat, i został pochowany w sąsiednim Froland church podczas zamieci. Na grobie znajduje się pomnik wzniesiony przez jego przyjaciół. Jeden z nich, Baltazar Keilhau, napisał do Christine Kemp, nie widząc jej nigdy, i złożył jej propozycję małżeństwa, którą przyjęła. Dwa dni po śmierci Abla Crelle z radością napisał, że jego nominacja w Berlinie została zabezpieczona.
28 czerwca 1830 roku francuska akademia nauk przyznała swoje Grand Prix Abelowi i Jacobiemu za wybitne odkrycia matematyczne. Po intensywnych poszukiwaniach w Paryżu rękopis Wielkiego pamiętnika Abla został odnaleziony na nowo. Została opublikowana w 1841 roku, piętnaście lat po jej złożeniu. Podczas drukowania ponownie zniknął, aby ponownie pojawić się dopiero w 1952 roku we Florencji.
Crelle napisał obszerną mowę pożegnalną Abla w swoim dzienniku (4 , 402):
wszystkie prace Abla noszą piętno pomysłowości i siły myśli, która jest niezwykła, a czasem zdumiewająca, nawet jeśli młodość autora nie jest brana pod uwagę. Można powiedzieć, że był w stanie przeniknąć wszystkie przeszkody aż do samych podstaw problemów, z siłą, która wydawała się nie do odparcia; atakował problemy z niezwykłą energią; patrzył na nich z góry i był w stanie wznieść się tak wysoko nad ich obecnym stanem, że wszystkie trudności zdawały się znikać pod zwycięskim atakiem jego geniuszu…. Ale to nie tylko jego wielki talent stworzył szacunek dla Abla i uczynił jego stratę nieskończenie godną pożałowania. Wyróżniał się w równym stopniu czystością i szlachetnością swojego charakteru oraz rzadką skromnością, która czyniła jego osobę cenioną w tym samym niezwykłym stopniu, co jego geniusz.
Bibliografia
I. Prace oryginalne. Wszystkie prace Abla zostały opublikowane w dwóch wydaniach: Oeuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, ed. and annotated by B. Holmboe (Oslo, 1839), and Nouvelle édition, M. M. L. Sylow and S. Lie, eds., 2 vols. (Oslo, 1881).
II.Literatura dodatkowa. Materiały na temat życia Abla obejmują Niels Henrik Abel: Mémorial publié à I ’ occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), który zawiera wszystkie listy cytowane w tekście; oraz O. Ore, Niels Henrik Abel; Mathematician Extraordinary (Minneapolis, Minn., 1957).