Uwagi ogólne
prawdopodobnie najbardziej naturalne podejście do logiki formalnej polega na idei ważności argumentu znanego jako dedukcyjny. Argument dedukcyjny można z grubsza scharakteryzować jako taki, w którym wysuwa się twierdzenie, że pewna propozycja (wniosek) wynika ze ścisłą koniecznością z innej propozycji lub propozycji (przesłanek)—to znaczy, że twierdzenie o przesłankach byłoby niespójne lub sprzeczne ze sobą, ale zaprzeczałoby wnioskowi.
jeśli argument dedukcyjny ma doprowadzić do ustalenia prawdy jego wniosku, należy spełnić dwa dość odrębne warunki: po pierwsze, wniosek musi rzeczywiście wynikać z przesłanek—tzn. odliczenie wniosku z przesłanek musi być logicznie poprawne—i po drugie, same przesłanki muszą być prawdziwe. Argument spełniający oba te warunki nazywany jest dźwiękiem. Z tych dwóch warunków Logik jako taki zajmuje się tylko pierwszym; po drugie, ustalenie prawdy lub fałszu przesłanek, jest zadaniem jakiejś szczególnej dyscypliny lub wspólnej obserwacji odpowiedniej do przedmiotu sporu. Jeżeli wniosek argumentu można prawidłowo wywnioskować z jego lokalu, wnioskowanie z lokalu do wniosku uważa się za (dedukcyjne) ważne, niezależnie od tego, czy lokal jest prawdziwy, czy fałszywy. Inne sposoby wyrażenia faktu, że wnioskowanie jest dedukcyjne, to stwierdzenie, że prawda przesłanek daje (lub daje) absolutną gwarancję prawdy wniosku lub że wiązałoby się z logiczną niespójnością (w odróżnieniu od zwykłego błędu faktów) przypuszczenie, że przesłanki były prawdziwe, ale wniosek fałszywy.
wnioskami dedukcyjnymi, które dotyczą logiki formalnej, są, jak sama nazwa wskazuje, te, dla których ważność zależy nie od jakichkolwiek cech ich przedmiotu, ale od ich formy lub struktury. Stąd te dwa wnioski (1) każdy pies jest ssakiem. Niektóre czworonogi to psy. ∴ Niektóre czworonogi są ssakami. i (2) Każdy anarchista wierzy w wolną miłość. Niektórzy członkowie partii rządzącej są anarchistami. Some niektórzy członkowie partii rządowej są zwolennikami wolnej miłości. różnią się tematyką i dlatego wymagają różnych procedur sprawdzania prawdy lub fałszu swoich przesłanek. Ale ich ważność jest zapewniona przez to, co mają ze sobą wspólnego—mianowicie, że argument w każdym jest postaci(3) Każdy X jest Y. niektóre Z są x. ∴ niektóre Z są y.
linia (3) powyżej może być nazywana formą wnioskowania, a (1) i (2) są wtedy instancjami tej formy wnioskowania. Litery-X, Y i z—w (3) oznaczają miejsca, do których można wstawiać wyrażenia określonego typu. Symbole używane do tego celu nazywane są zmiennymi; ich użycie jest analogiczne do x w algebrze, która oznacza miejsce, w które można wstawić cyfrę. Instancja formy wnioskowania jest wytwarzana przez zastąpienie wszystkich zmiennych w nim przez odpowiednie wyrażenia (tj. te, które mają sens w kontekście) i robi to jednolicie (tj. przez zastąpienie tego samego wyrażenia wszędzie tam, gdzie ta sama zmienna powtarza). Cechą (3), która gwarantuje, że każda jego instancja będzie ważna, jest jej konstrukcja w taki sposób, że każdy jednolity sposób zastępowania jej zmiennych w celu uczynienia przesłanek prawdziwymi automatycznie sprawia, że wniosek jest również prawdziwy, lub innymi słowy, że żadna jego instancja nie może mieć prawdziwych przesłanek, ale fałszywy wniosek. Ze względu na tę cechę, forma (3) jest określana jako prawidłowa forma wnioskowania. W przeciwieństwie do tego, (4) każde X jest Y. niektóre Z są y. ∴ niektóre Z są X. nie jest poprawną formą wnioskowania, ponieważ, chociaż instancje mogą być wytworzone, w których przesłanki i wnioski są prawdziwe,instancje mogą być również wytworzone, w których przesłanki są prawdziwe, ale wniosek jest fałszywy—np. (5) każdy pies jest ssakiem. Niektóre skrzydlate stworzenia są ssakami. ∴ Niektóre skrzydlate stworzenia są psami.
logika Formalna jako nauka dotyczy raczej form wnioskowania niż ich poszczególnych przypadków. Jednym z jego zadań jest rozróżnianie między ważnymi i nieważnymi formami wnioskowania oraz badanie i usystematyzowanie relacji między ważnymi.
Forma propozycji jest wyrażeniem, którego instancje (wytworzone jak wcześniej przez odpowiednie i jednolite zamienniki zmiennych) nie są wnioskami z kilku propozycji do wniosku, ale raczej propozycjami przyjmowanymi indywidualnie, a ważna forma propozycji to taka, dla której wszystkie instancje są prawdziwymi propozycjami. Prostym przykładem jest (6) nic nie jest zarówno X, jak i nie-X. logika Formalna dotyczy zarówno form wnioskowania, jak i form wnioskowania. Badanie formularzy wnioskowania może w rzeczywistości obejmować formularze wnioskowania w następujący sposób: niech przesłanki dowolnej danej formy wnioskowania (razem wzięte) będą skracane przez Alfa (α), a ich wniosek przez beta (β). Następnie warunek podany powyżej dla ważności formy wnioskowania „α, β” oznacza, że żadna instancja formy wnioskowania „α i nie-β” nie jest prawdziwa—tzn. że każda instancja formy wnioskowania(7) nie jest prawdziwa zarówno: α, jak i nie-β—lub że linia (7), oczywiście w pełni zapisana, jest poprawną formą propozycji. Badanie form propozycji nie może jednak być podobnie uwzględniane w badaniu form wnioskowania, dlatego ze względu na kompleksowość, logika formalna jest zwykle traktowana jako badanie form propozycji. Ponieważ logika obsługi formularzy propozycji jest pod wieloma względami analogiczne do matematycznego obsługi formuł numerycznych, systemy, które konstruuje są często nazywane calculi.
wiele prac logika postępuje na bardziej abstrakcyjnym poziomie niż w powyższej dyskusji. Nawet formuła taka jak (3) powyżej, chociaż nie odnosi się do żadnego konkretnego przedmiotu, zawiera wyrażenia takie jak „every” I „is a”, które są uważane za mające określone znaczenie, a zmienne są przeznaczone do oznaczania miejsc dla wyrażeń jednego konkretnego rodzaju (z grubsza, rzeczowniki pospolite lub nazwy klas). Możliwe jest jednak—A dla niektórych jest to niezbędne—studiowanie formuł bez przywiązywania do nich nawet tego stopnia znaczenia. Budowa systemu logicznego w rzeczywistości obejmuje dwa wyróżniające się procesy: pierwsza polega na stworzeniu aparatu symbolicznego-zestawu symboli, zasad łączenia ich w formuły i zasad manipulowania tymi formułami; druga polega na przypisaniu do tych symboli i formuł pewnych znaczeń. Jeśli tylko pierwsze jest zrobione, mówi się, że system jest nieinterpretowany lub czysto formalny; jeśli drugie jest zrobione również, mówi się, że system jest interpretowany. Rozróżnienie to jest ważne, ponieważ systemy logiczne okazują się mieć pewne właściwości zupełnie niezależnie od wszelkich interpretacji, które mogą być na nich umieszczone. Jako przykład można przyjąć aksjomatyczny system logiki-tj. system, w którym pewne niesprawdzone formuły, znane jako aksjomaty, są brane za punkty wyjścia, a dalsze formuły (twierdzenia) są udowodnione na ich sile. Jak się później okaże (patrz Aksjomatyzacja PC), pytanie, czy sekwencja formuł w systemie aksjomatycznym jest dowodem, czy nie, zależy wyłącznie od tego, które formuły są traktowane jako aksjomaty i jakie są zasady wyprowadzania twierdzeń z aksjomatów, a nie od tego, co oznaczają twierdzenia lub aksjomaty. Co więcej, dany system nieinterpretowany może być interpretowany równie dobrze na wiele różnych sposobów; dlatego badając system nieinterpretowany, bada się strukturę wspólną dla różnych systemów interpretowanych. Zwykle Logik, który konstruuje czysto formalny system, ma na myśli szczególną interpretację, a jego motywem do jej skonstruowania jest przekonanie, że kiedy dana jest ta interpretacja, formuły systemu będą w stanie wyrazić prawdziwe zasady w jakiejś dziedzinie myślenia; jednak m.in. z powyższych powodów będzie on zwykle dbał o opisanie formuł i określenie reguł systemu bez odniesienia do interpretacji i wskazanie jako odrębnej kwestii interpretacji, którą ma na myśli.
wiele idei używanych w ekspozycji logiki formalnej, w tym niektóre wymienione powyżej, poruszają problemy, które należą do filozofii, a nie do samej logiki. Przykładami są: jaka jest prawidłowa analiza pojęcia prawdy? Czym jest propozycja i jak jest ona związana ze zdaniem, przez które jest wyrażana? Czy istnieją pewne rodzaje rozumowania dźwiękowego, które nie są ani dedukcyjne, ani indukcyjne? Na szczęście można nauczyć się logiki formalnej bez zadowalających odpowiedzi na takie pytania, podobnie jak można robić matematykę bez odpowiadania na pytania należące do filozofii matematyki, takie jak: czy liczby są rzeczywistymi obiektami czy konstrukcjami umysłowymi?