b. Finnöy, uma ilha perto de Stavanger, na Noruega, de 5 de agosto de 1802; d. Froland, Noruega, 6 de abril de 1829)
matemática.
o pai de Abel, Sören Georg Abel, era um ministro luterano e ele próprio era filho de um ministro. Ele era um teólogo talentoso e altamente ambicioso, educado na Universidade de Copenhague, que era na época a única instituição desse tipo no Reino Unido da Dinamarca-Noruega. Casou-se com Ane Marie Simonson, filha de um rico comerciante e armador na cidade de Risör, na costa sul. Finnöy foi a primeira paróquia do pastor Abel; era pequena e trabalhosa, compreendendo várias ilhas. O casal teve sete filhos, seis filhos e uma filha; Niels Henrik foi seu segundo filho.Em 1804, Sören Georg Abel foi nomeado sucessor de seu pai na Paróquia de Gjerstad, perto de Risör. A situação política na Noruega era tensa. Devido à sua aliança com a Dinamarca, o país tinha sido jogado nas Guerras Napoleônicas ao lado da França, e um bloqueio britânico da Costa criou a fome generalizada. Pastor Abel foi proeminente no movimento nacionalista, trabalhando para a criação de instituições Norueguesas separadas—particularmente uma universidade e um banco nacional—se não para a independência total. Na conclusão do Tratado de paz de Kiel, a Dinamarca cedeu a Noruega à Suécia. Os noruegueses revoltaram-se e escreveram a sua própria Constituição, mas depois de uma guerra breve e fútil contra os suecos sob Bernadotte, eles foram obrigados a procurar um armistício. Uma união com a Suécia foi aceita, e o pai de Abel tornou-se um dos membros do Storting extraordinário chamado no outono de 1814 para escrever a necessária revisão da nova Constituição.Niels Henrik Abel e seus irmãos receberam suas primeiras instruções de seu pai, mas em 1815 Abel e seu irmão mais velho foram enviados para a Escola da Catedral em Christiania (Oslo). Esta era uma velha escola para a qual muitos funcionários públicos na província enviaram seus filhos; algumas bolsas estavam disponíveis. A Escola da Catedral tinha sido excelente, mas estava então em baixo, porque a maioria de seus bons professores tinha aceitado posições na nova universidade, que começou a instrução em 1813.Abel tinha apenas treze anos quando saiu de casa, e parece provável que a deterioração da vida familiar acelerasse a sua partida. Durante os primeiros dois anos suas marcas foram apenas satisfatórias; então a qualidade de seu trabalho diminuiu. Seu irmão ficou ainda pior; ele começou a mostrar sinais de doença mental e finalmente teve que ser enviado para casa.
em 1817 ocorreu um evento na escola que estava destinado a mudar a vida de Abel. O professor de matemática maltratou um dos alunos, que morreu pouco depois, possivelmente como consequência da punição. O professor foi sumariamente demitido e seu lugar foi ocupado por Bernt Michael Holmboe, que era apenas sete anos mais velho que Abel. Holmboe também serviu como assistente de Christoffer Hansteen, professor de astronomia e cientista líder na Universidade.
não demorou muito para Holmboe descobrir a extraordinária capacidade de Abel jovem em matemática. Ele começou por lhe dar problemas especiais e recomendar livros fora do currículo escolar. Os dois então começaram a estudar juntos os textos de cálculo de Euler, e mais tarde as obras dos matemáticos Franceses, particularmente Lagrange e Laplace. Tão rápido foi o progresso de Abel que ele logo se tornou o verdadeiro professor. De notebooks preservados na Biblioteca da Universidade de Oslo se vê que mesmo nestes primeiros dias ele já estava particularmente interessado na teoria das equações algébricas. Quando ele terminou a escola, ele estava familiarizado com a maior parte da literatura matemática importante. Holmboe ficou tão encantado com o gênio matemático que descobriu que o reitor da escola o fez moderar suas declarações sobre Abel no livro de registros. Mas os professores da Universidade foram bem informados por Holmboe sobre o jovem promissor e fizeram seu conhecimento pessoal. Além de Hansteen, que também ensinou matemática aplicada, havia apenas um professor de matemática. Sören Rasmussen, um antigo professor da Escola da Catedral. Rasmussen, um homem gentil, não era um estudioso produtivo.; seu tempo foi ocupado em grande parte por tarefas atribuídas a Ele pelo governo, particularmente em seu posto como administrador do Novo Banco da Noruega.
durante seu último ano na escola Abel, com o vigor e imodéstia da Juventude, atacou o problema da solução da equação quintica. Este problema estava pendente desde os dias de del Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari na primeira metade do século XVI. Abel acreditava que tinha conseguido encontrar a forma da solução, mas na Noruega não havia ninguém capaz de entender seus argumentos, nem havia nenhuma revista científica na qual eles pudessem ser publicados. Hansteen encaminhou o artigo para o matemático Dinamarquês Ferdinand Degen, solicitando sua publicação pela Academia Dinamarquesa.
Degen não conseguiu descobrir qualquer falha nos argumentos, mas solicitou que Abel ilustrasse seu método por um exemplo. Degen também achou o tema um pouco estéril e sugeriu que Abel voltasse sua atenção para um tópico “cujo desenvolvimento teria as maiores consequências para a análise e mecânica. Refiro-me aos transcendentais elípticos . Um investigador sério com qualificações adequadas para este tipo de investigação não se restringiria de forma alguma às muitas propriedades belas destas funções mais notáveis, mas poderia descobrir um estreito de Magalhães que conduz a vastas extensões de um tremendo oceano analítico” (carta a Hansteen).Abel começou a construir seus exemplos para a solução da equação de quinto grau, mas descobriu para seu desânimo que seu método não estava correto. Ele também seguiu Degen sugestão sobre o elī transcendentals, e é provável que dentro de um par de anos que ele tinha nas principais completou sua teoria do elī funções.
em 1818, o pastor Abel foi reeleito para o Storting, após uma tentativa mal sucedida em 1816. Mas a sua carreira política acabou em tragédia. Ele fez acusações violentas infundadas contra outros representantes e foi ameaçado de impeachment. Isto, juntamente com a sua embriaguez, fez dele o alvo da imprensa. Voltou para casa em desgraça, um homem desiludido. Tanto ele como sua esposa sofriam de alcoolismo, e as condições no Vigário e na Paróquia tornaram-se escandalosas. Foi geralmente considerado um alívio quando ele morreu em 1820. Sua viúva foi deixada em circunstâncias muito difíceis, com uma pequena pensão pouco suficiente para apoiá-la e seus muitos filhos.Abel entrou na universidade no outono de 1821. Foi-lhe concedido um quarto gratuito no dormitório da universidade e recebeu permissão para compartilhá-lo com seu irmão mais novo Peder. Mas a nova instituição não tinha fundos de comunhão, e alguns dos professores tomaram a medida incomum de apoiar o jovem matemático a partir de seus próprios salários. Ele era um convidado em suas casas e tornou-se particularmente atraído para a casa Hansteen, e para a Sra. Hansteen e suas irmãs.
a primeira tarefa de Abel na universidade foi satisfazer os requisitos para o grau preliminar, Candidatus Philosophiae. Uma vez que isso foi alcançado, após um ano, Abel estava inteiramente por conta própria em seus estudos. Não havia cursos avançados em matemática e ciências físicas, mas este não parece ter sido uma desvantagem; em uma carta, de Paris, um pouco mais tarde, ele afirmou que tinha lido praticamente tudo em matemática, importante ou sem importância.Ele dedicou seu tempo à Pesquisa Avançada e seus esforços receberam um forte impulso quando Hansteen começou um periódico científico, Magazin for Naturvidenskaben. Em 1823 esta revista publicou o primeiro artigo de Abel, em Norueguês, um estudo de equações funcionais. Matematicamente, não era importante. nem o seu segundo pequeno jornal. Aos assinantes da revista havia sido prometida uma revisão popular, no entanto, e Hansteen, provavelmente depois de críticas, sentiu-se obrigado a pedir desculpas pelo caráter destes artigos: “assim, eu acredito que a revista, além de materiais científicos também deve promover as ferramentas que servem para sua análise. O nosso mérito será o de termos dado ao sábio público a oportunidade de se familiarizar com uma obra da caneta deste talentoso e hábil autor” (Magazin, 1 ). Abel próximo papel, “Opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp de bestemte Integraler” (“a Solução de Alguns Problemas por Meio de Definitivo Integrais”), é de importância na história da matemática, uma vez que contém a primeira solução de uma equação integral. O jornal, que passou despercebido na época, em parte porque estava em Norueguês, lida com o problema mecânico do movimento de um ponto de massa em uma curva sob a influência da gravitação. Durante o inverno de 1822-1823 Abel também compôs um trabalho mais longo sobre a integração de expressões funcionais. O artigo foi apresentado ao university Collegium na esperança de que esse órgão pudesse ajudar na sua publicação. o manuscrito desapareceu, mas parece provável que alguns dos resultados obtidos nele estejam incluídos em alguns dos artigos posteriores de Abel.
no início do verão de 1823 Abel recebeu um presente de 100 daler do Professor Rasmussen para financiar uma viagem a Copenhaga para conhecer Degen e os outros matemáticos dinamarqueses. Suas cartas a Holmboe revelam a inspiração matemática que ele recebeu. Ele ficou na casa de seu tio e aqui fez o conhecimento de sua futura noiva, Christine Kemp.
após o seu regresso a Oslo, Abel retomou novamente a questão da solução da equação quintica. Desta vez, ele teve a visão inversa e conseguiu resolver o problema centenário provando a impossibilidade de uma expressão radical que representa uma solução da equação geral de quinto grau ou superior. Abel percebeu plenamente a importância do seu resultado, por isso mandou publicá-lo, às suas próprias custas, por um impressor local. Para alcançar uma grande audiência, ele escreveu em francês: “tese sobre equações algébricas onde demonstramos a impossibilidade de resolver a equação geral do quinto grau.”Para economizar despesas, todo o panfleto foi comprimido a seis páginas. A brevidade resultante provavelmente tornou difícil de entender; de qualquer forma, não houve reação de nenhum dos matemáticos estrangeiros—incluindo o grande C. F. Gauss, a quem uma cópia foi enviada.Tornou-se claro que Abel não podia mais viver do apoio dos professores. Os seus problemas financeiros foram aumentados pelo seu noivado com Christine Kemp. que tinha vindo para a Noruega como uma governanta para os filhos de uma família que vive perto de Oslo.Abel candidatou-se a um subsídio de viagem e, após alguns atrasos, o governo decidiu que Abel deveria receber uma pequena bolsa para estudar línguas na universidade, a fim de o preparar para viajar para o estrangeiro. Ele recebeu então uma bolsa de 600 daler por dois anos de estudo estrangeiro.
Abel ficou decepcionado com o atraso, mas estudou bem as línguas, particularmente o francês, e usou seu tempo para preparar um número considerável de artigos a serem apresentados a matemáticos estrangeiros. Durante o verão de 1825 ele partiu, juntamente com quatro amigos. todos eles também tinham a intenção de se preparar para futuras carreiras científicas: um deles mais tarde tornou-se professor de Medicina, e os outros três tornaram-se geólogos. Todos os amigos de Abel planejavam ir para Berlim, enquanto Abel, seguindo o conselho de Hansteen, passava seu tempo em Paris, então o principal centro de matemática do mundo. Abel temia ser solitário, no entanto, e também decidiu ir para Berlim, embora ele bem sabia que ele iria incorrer no descontentamento de seu protetor.A mudança de ideias de Abel revelou-se uma decisão muito feliz. Ao passar por Copenhaga, Abel soube que Degen tinha morrido, mas garantiu uma carta de recomendação de um dos outros matemáticos dinamarqueses ao conselheiro privado August Leopold Crelle. Crelle era um engenheiro muito influente, intensamente interessado em matemática, embora não fosse um matemático forte.
quando Abel chamou Crelle pela primeira vez, ele teve alguma dificuldade em fazer-se entender. Mas depois de um tempo Crelle reconheceu as qualidades incomuns de seu jovem visitante. Os dois tornaram-se amigos ao longo da vida. Abel presenteou-o com uma cópia de seu panfleto sobre a equação quintica, mas Crelle confessou que era ininteligível para ele e recomendou que Abel contorcesse uma versão expandida dela. Eles falaram sobre o mau estado da Matemática na Alemanha. Em uma carta a Hansteen, datada de Berlim, 5 de dezembro de 1825, Abel escreveu:
quando eu expressei surpresa sobre o fato de que não existia nenhum diário matemático, como em França, ele disse que tinha a intenção de editar um, e que em breve iria levar seu plano à execução. Este projeto está agora organizado, e que para minha grande alegria, Pois eu terei um lugar onde eu possa obter alguns dos meus artigos impressos. Já preparei quatro deles, que aparecerão no primeiro número.Journal für die reine und angewandte Mathematik, ou jornal de Crelle, como é comumente conhecido, foi o principal periódico matemático alemão durante o século XIX. O primeiro volume contém sete artigos de Abel e os seguintes volumes contêm muitos mais, a maioria deles de importância preeminente na história da matemática. Entre a primeira está a versão expandida da prova da impossibilidade da solução da equação quintica geral por radicais. Aqui Abel desenvolve o fundo algébrico necessário, incluindo uma discussão de extensões algébricas de campo. Abel não sabia que tinha um precursor, o matemático italiano Paolo Ruffini. Mas num artigo póstumo sobre as equações que são solucionáveis pelos radicais Abel states: “O único diante de mim, se não me engano, que tentou provar a impossibilidade da solução algébrica das equações gerais é o matemático Ruffini, mas seu trabalho é tão complicado que é muito difícil julgar sobre a exatidão de seus argumentos. Parece-me que nem sempre é satisfatório.”The result is usually referred to as the Abel-Ruffini theorem.
após a partida de Abel de Oslo, ocorreu um evento que lhe causou muita preocupação. Rasmussen tinha achado seu cargo de professor em matemática muito pesado quando combinado com seus deveres públicos. Ele renunciou, e pouco depois o corpo docente votou para recomendar que Holmboe fosse nomeado para preencher a vaga. Os amigos noruegueses de Abel acharam a ação altamente injusta, e o próprio Abel provavelmente sentiu o mesmo. No entanto, ele escreveu uma calorosa carta de felicitações para seu ex-professor, e eles permaneceram bons amigos. Mas é evidente que a partir deste momento Abel se preocupava com seu futuro e seu casamento iminente; não havia nenhuma posição científica à vista para ele em seu país de origem.Durante o inverno em Berlim, Abel contribuiu para o Jornal de Crelle.; entre os trabalhos notáveis estão um sobre a generalização da fórmula binomial e outro sobre a integração de expressões de raiz quadrada. Mas uma de suas principais preocupações matemáticas foi a falta de rigor na matemática contemporânea. Ele mencionou-o repetidamente em cartas a Holmboe. Num destes, datado de 16 de janeiro de 1826, escreveu::
os meus olhos foram abertos da forma mais surpreendente. Se ignorarmos os casos mais simples, não existe em toda a matemática uma única série infinita cuja soma foi rigorosamente determinada. Em outras palavras, as partes mais importantes da matemática não têm fundamento. É verdade que a maior parte é válida, mas isso é muito surpreendente. Eu luto para encontrar a razão para isso, um problema extremamente interessante.
resultado dessa luta foi seu clássico papel na série de potência, que contém muitos teoremas gerais e, também, como um aplicativo, a rigorosa determinação da soma dos binomial série arbitrária real ou complexo expoentes.Durante o início da primavera de 1826, Abel sentiu-se obrigado a prosseguir para o seu destino original, Paris. Crelle tinha prometido acompanhá-lo, e no caminho eles pretendiam parar em Göttingen para visitar Gauss. Infelizmente, a pressão dos negócios impediu Crelle de deixar Berlim. Ao mesmo tempo, os amigos noruegueses de Abel estavam planejando uma excursão geológica pela Europa central, e, novamente relutante em ser separado deles, ele se juntou ao grupo. Eles viajaram de ônibus através da Boémia, Áustria, Norte da Itália, e os Alpes. Abel não chegou a Paris até Julho, com pouco dinheiro após a viagem cara.A visita a Paris foi decepcionante. As férias da Universidade tinham acabado de começar quando Abel chegou, voltou, ele descobriu que eles eram distantes e difíceis de se aproximar; foi apenas de passagem que ele conheceu Legendre, cujo principal interesse em sua velhice era integrais elípticas, a própria especialidade de Abel. Para apresentação à Academia francesa de Ciências Abel tinha reservado um artigo que ele considerava sua obra-prima. Ele lidou com a soma de Integrais de uma dada função algébrica. O teorema de Abel afirma que qualquer soma deste tipo pode ser expressa como um número fixo p dessas integrais, com argumentos de integração que são funções algébricas dos argumentos originais. O número mínimo p é o gênero da função algébrica, e esta é a primeira ocorrência desta quantidade fundamental. O teorema de Abel é uma vasta generalização da relação de Euler para integrais elípticas.Abel passou seus primeiros meses em Paris completando suas grandes memórias; é um de seus trabalhos mais longos e inclui uma ampla teoria com aplicações. Foi apresentado à academia de Ciências em 30 de outubro de 1826, sob o título “Mémoire sur une propriété générale d’une classe trés-étendue de fonctions transcendantes. Cauchy e Legendre foram nomeados árbitros, Cauchy sendo presidente. Um número de jovens ganhou uma distinção rápida ao ter seus trabalhos aceitos pela Academia, E Abel aguardava o relatório dos árbitros. No entanto, não foi publicado nenhum relatório; na verdade, não foi publicado até que a morte de Abel forçou a sua aparição. Cauchy parece ter sido o culpado; ele alegou mais tarde que o manuscrito era ilegível.Os dois meses seguintes de Abel em Paris foram sombrios; ele tinha pouco dinheiro e poucos conhecidos. Ele conheceu P. G. L. Dirichlet, seu júnior por três anos e já um matemático bem conhecido, através de um artigo na Academia patrocinado por Legendre. Outro conhecido foi Frédéric Saigey, editor do boletim científico revue Ferrusac, para quem Abel escreveu alguns artigos, particularmente sobre seus próprios artigos no Jornal de Crelle. Depois do Natal, gastou os seus últimos recursos para pagar o bilhete para Berlim.
pouco depois de seu retorno a Berlim. Abel adoeceu.; ele parece ter sofrido então o primeiro ataque da tuberculose que foi mais tarde para reivindicar sua vida. Ele pediu dinheiro emprestado a Holmboe, e Crelle provavelmente ajudou-o. Abel ansiava por regressar à Noruega, mas sentiu-se obrigado a permanecer no estrangeiro até que o seu período de comunhão tivesse expirado. Crelle tentou mantê-lo, em Berlim, até que ele pudesse encontrar uma posição para ele em uma universidade alemã; entretanto, ele ofereceu-lhe a redação de seu Jornal.
Abel trabalhou assiduamente em um novo artigo: “Recherches sur les fonctions elliptiques.”his most extensive publication (125 pages in the Oeuvres complètes). Neste trabalho ele transformou radicalmente a teoria de integrais elípticas a teoria dos elī funções usando de suas funções inversas correspondentes a mais elementar caso para a dualidade
elíptica funções, assim, tornar-se uma grande e natural generalização das funções trigonométricas; na sequência de Abel trabalho que constitui um dos favoritos tópicos de investigação em matemática durante o século xix. Abel já havia desenvolvido a maior parte da teoria como um estudante em Oslo, então ele foi capaz de apresentar a teoria das funções elípticas com uma grande riqueza de detalhes, incluindo a dupla periodicidade, Expansões em séries infinitas e produtos, e teoremas de adição. The theory led to the expressions for functions of a multiple of the argument with the concomitante determination of the equations for fractional arguments and their solution by radicals, much in the way that Gauss had treated the cyclotomic equations: As cartas de Abel a Holmboe (de Paris em dezembro de 1826 e de Berlim em 4 de Março de 1827) indicam que ele estava particularmente fascinado pela determinação da condição de um lemniscato ser divisível em partes iguais por meio de bússola e régua, análogo à construção de polígonos regulares de Gauss. A última parte trata da chamada teoria da multiplicação complexa, mais tarde tão importante na teoria algébrica dos números.Abel retornou a Oslo em 20 de Maio de 1827, para descobrir que a situação em casa era tão sombria quanto ele temia. Ele não tinha nenhuma posição em perspectiva, nenhuma comunhão, e uma abundância de dívidas. Sua candidatura para ter sua bolsa prolongada foi recusada pelo Departamento de finanças, mas a Universidade corajosamente concedeu-lhe um pequeno salário a partir de seus escassos fundos. Esta ação foi criticada pelo departamento, que reservou o direito de ter o montante deduzido de qualquer salário futuro que ele possa receber.A noiva de Abel encontrou uma nova posição com amigos da família de Abel, a família do dono de uma fábrica de ferro em Froland, perto de Arendal. Durante o outono Abel teve uma vida em Oslo por tutores escolares e provavelmente com a ajuda de amigos . No ano novo a situação tornou-se mais brilhante. Hansteen, um pioneiro em estudos geomagnéticos, recebeu uma grande bolsa por dois anos para examinar o campo magnético da terra na Sibéria inexplorada. Entretanto, Abel tornou-se seu substituto tanto na universidade como na academia militar Norueguesa.
a primeira parte das “Recherches” foi publicada no Jornal de Crelle em setembro de 1827, e Abel completou a segunda parte durante o inverno. Ele vivia isolado em Oslo.; não havia nenhum pacote de correio durante o inverno, e ele não tinha nenhuma ideia do interesse que suas memórias tinham criado entre os matemáticos europeus. Também não sabia que um competidor tinha aparecido no campo das funções elípticas até o início de 1828, quando Hansteen lhe mostrou a edição de setembro do Astronomische Nachrichten. In this journal a young German mathematician, K. G. J. Jacobi, announced without proof some results concerning the transformation theory of elliptic integrals. Abel apressadamente adicionou uma nota ao manuscrito da segunda parte dos “Recherches”, mostrando como os resultados de Jacobi eram consequência de seus próprios.Abel estava ciente de que uma corrida estava à mão. Ele interrompeu um grande papel na teoria das equações que era para conter a determinação de todas as equações que podem ser resolvidas por radicais: a parte que foi publicado continha a teoria dessas equações que são agora conhecidos como Abelian. Ele então escreveu, em rápida sucessão, uma série de artigos sobre funções elípticas. A primeira foi “Solution d’un probleme général concernant la transformation des fonctions elliptiques”. Isto, sua resposta direta a Jacobi, foi publicado no Astronomische Nachrichten; os outros apareceram no Jornal de Crelle. Além disso, Abel preparou um livro de memórias, “Précis d’une théorie des fonctions elliptiques”, que foi publicado após sua morte. Jacobi, por outro lado, escreveu apenas breves avisos, que não revelam seus métodos; estes eram reservados para seu livro, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
Much has been written about the early theory of elliptic functions. Parece haver pouca dúvida de que Abel estava na posse das ideias vários anos antes de Jacobi. Por outro lado, é também um fato estabelecido que Gauss, apesar de não publicar nada, havia descoberto os princípios das funções elípticas muito antes de Abel ou Jacobi.
os matemáticos europeus assistiram com fascinação a competição entre os dois jovens matemáticos. Legendre notou os anúncios de Jacobi e também recebeu uma carta dele. Em uma reunião da Academia francesa em novembro de 1827, ele elogiou a nova estrela matemática; o discurso foi reproduzido nos jornais e Legendre enviou o recorte para Jacobi. Em sua resposta, Jacobi, depois de expressar seu agradecimento, apontou as “Recherches” de Abel e seus resultados gerais. Legendre respondeu: “através destes trabalhos vocês dois serão colocados na classe dos principais analistas de nossos tempos. Ele também expressou sua decepção sobre o método de publicação de Jacobi e ficou irritado quando Jacobi confessou que, a fim de obter alguns de seus resultados, ele tinha que confiar no artigo de Abel. Mais ou menos nessa época, Abel começou uma correspondência com Legendre e derramou suas idéias para ele.
tudo o que os matemáticos europeus sabiam sobre a condição de Abel na Noruega era que ele tinha apenas uma posição temporária e tinha sido recentemente compelido a ensinar meninos de escola para ganhar a vida. A principal fonte de suas informações foi Crelle, que constantemente usou sua influência para tentar obter uma nomeação para Abel em um novo instituto científico a ser criado em Berlim. No entanto, os progressos foram muito lentos. Em setembro de 1828 quatro membros proeminentes da Academia de Ciências da frança tomou o extraordinário passo de endereçar uma petição diretamente para Bernadotte, agora Charles XIV da Noruega—Suécia, chamando a atenção para Abel e pedindo que uma adequada posição científica de ser criado por ele. Em uma reunião da Academia, em 25 de fevereiro de 1829, Legendre também prestou homenagem a Abel e suas descobertas, particularmente aos seus resultados na teoria das equações.
entretanto Abel, apesar de sua saúde deteriorada, escreveu novos artigos freneticamente. Ele passou as férias de verão de 1828 na propriedade Froland com sua noiva. No Natal, ele insistiu em visitá-la novamente, apesar de ser necessário vários dias de viagem em frio intenso. Ele estava febril quando chegou, mas gostou da festa de Natal da família. Ele pode ter tido uma premonição de que seus dias foram contados, no entanto, e ele agora temia que o grande jornal submetido à Academia Francesa tinha sido perdido para sempre. Escreveu, portanto, uma breve nota, “Demonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendantes”, na qual deu uma prova do teorema principal. Ele enviou para Crelle em 6 de janeiro de 1829.
enquanto esperava pelo trenó que o iria devolver a Oslo, Abel sofreu uma hemorragia violenta; o médico diagnosticou a sua doença como tuberculose e ordenou um repouso prolongado na cama. Ele morreu em abril, aos vinte e seis anos de idade, e foi enterrado na Igreja de Froland vizinha durante uma nevasca. O túmulo é marcado por um monumento erguido por seus amigos. Um deles, Baltazar Keilhau, escreveu a Christine Kemp, sem nunca a ter visto, e fez-lhe uma oferta de casamento que ela aceitou. Dois dias após a morte de Abel, Crelle escreveu jubilosamente para informá-lo que sua nomeação em Berlim tinha sido garantida.
em 28 de junho de 1830, a Academia francesa de Ciências concedeu seu grande prêmio a Abel e Jacobi por suas descobertas matemáticas. Depois de uma pesquisa intensiva em Paris, o manuscrito das grandes memórias de Abel foi redescoberto. Foi publicado em 1841, quinze anos depois de ter sido apresentado. Durante a impressão ela novamente desapareceu, não reaparecendo até 1952 em Florença.
Crelle escreveu um extenso elogio de Abel em seu Diário (4 , 402):
Todos Abel obras de levar a marca de uma ingenuidade e a força do pensamento que é incomum e às vezes surpreendente, mesmo se a juventude do autor, não é levado em consideração. Pode-se dizer que ele foi capaz de penetrar todos os obstáculos para baixo para os fundamentos dos problemas, com uma força que parecia irresistível; ele atacou os problemas com uma energia extraordinária; ele os considerava de cima e era capaz de subir tão alto sobre o seu estado atual que todas as dificuldades pareciam desaparecer sob o vitorioso ataque de seu gênio…. Mas não foi apenas o seu grande talento que criou o respeito por Abel e fez com que a sua perda fosse infinitamente lamentável. Distinguiu-se igualmente pela pureza e nobreza do seu carácter e por uma modéstia rara que fez com que a sua pessoa apreciasse o mesmo grau invulgar que o seu génio.
bibliografia
I. obras originais. As obras completas de Abel são publicadas em duas edições, Oeuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, ed. and annotated by B. Holmboe (Oslo, 1839), and Nouvelle édition, M. M. L. Sylow and S. Lie, eds., 2 vols. (Oslo, 1881).
II. literatura secundária. Materiais Abel vida incluem Niels Henrik Abel: Mémorial publié à I’occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), que compreende todas as letras citadas no texto; e O. Minério, Niels Henrik Abel; Matemático Extraordinário (Minneapolis, Minn., 1957).
Minério De Ostras