(F. Finn Larsy, en ø nær Stavanger, Norge, 5. August 1802; D.Froland, Norge, 6. April 1829)
matematik.
Abels far, S. Georg Abel, var en luthersk præst og selv søn af en præst. Han var en begavet og meget ambitiøs teolog, uddannet ved Københavns Universitet, som på det tidspunkt var den eneste sådan institution i Det Forenede Kongerige Danmark-Norge. Han havde giftet sig med Ane Marie Simonson, datter af en velhavende købmand og reder i byen ris Urr, på den sydlige kyst. Finn kursy var det første sogn for pastor Abel; det var lille og toilsome, bestående af flere øer. Parret havde syv børn, seks sønner og en datter; Niels Henrik var deres andet barn.
i 1804 blev S. Georg Abel udnævnt til efterfølger for sin far i sognet Gjerstad, nær ris Kurrr. Den politiske situation i Norge var spændt. På grund af sin alliance med Danmark var landet blevet kastet ind i Napoleonskrigene på Frankrigs side, og en britisk blokade af kysten skabte udbredt hungersnød. Pastor Abel var fremtrædende i den nationalistiske bevægelse og arbejdede for oprettelsen af separate norske institutioner—især et universitet og en nationalbank—hvis ikke for direkte uafhængighed. Ved afslutningen af fredstraktaten i Kiel afstod Danmark Norge til Sverige. Nordmændene gjorde oprør og skrev deres egen forfatning, men efter en kort og forgæves krig mod svenskerne under Bernadotte blev de tvunget til at søge våbenstilstand. En union med Sverige blev accepteret, og Abels far blev et af medlemmerne af det ekstraordinære Storting kaldet i efteråret 1814 for at skrive den nødvendige revision af den nye forfatning.
Niels Henrik Abel og hans brødre modtog deres første instruktion fra deres far, men i 1815 blev Abel og hans ældre bror sendt til katedralskolen i Christiania (Oslo). Dette var en gammel skole, som mange offentlige embedsmænd i provinsen sendte deres børn til; nogle stipendier var tilgængelige. Katedralskolen havde været fremragende, men var dengang ved en lav Ebbe, fordi de fleste af dens gode lærere havde accepteret stillinger ved det nye universitet, der begyndte instruktion i 1813.
Abel var kun tretten år gammel, da han forlod hjemmet, og det synes sandsynligt, at forværrede familieliv fremskyndede hans afgang. I løbet af de første par år var hans karakterer kun tilfredsstillende; derefter faldt kvaliteten af hans arbejde. Hans bror klarede sig endnu værre; han begyndte at vise tegn på psykisk sygdom og måtte til sidst sendes hjem.
i 1817 fandt en begivenhed sted på skolen, der var bestemt til at ændre Abels liv. Matematiklæreren mishandlede en af eleverne, der døde kort efter, muligvis som følge af straffen. Læreren blev kort sagt afskediget, og hans plads blev indtaget af Bernt Michael Holmboe, som kun var syv år ældre end Abel. Holmboe fungerede også som assistent for Christoffer Hansteen, professor i astronomi og den førende videnskabsmand ved universitetet.
det tog ikke Holmboe lang tid at opdage unge Abels ekstraordinære evner i matematik. Han begyndte med at give ham særlige problemer og anbefale bøger uden for skolens læseplan. De to begyndte derefter at studere Eulers beregningstekster sammen og senere værkerne fra de franske matematikere, især Lagrange og Laplace. Abels fremgang var så hurtig at han snart blev den virkelige lærer. Fra notesbøger bevaret i biblioteket ved Universitetet i Oslo ser man, at selv i disse tidlige dage var han allerede særlig interesseret i algebraisk ligningsteori. Da han var færdig med skolen, var han bekendt med det meste af den vigtige matematiske litteratur. Holmboe var så glad for den matematiske geni han havde opdaget, at rektor for skolen gjorde ham moderat hans udtalelser om Abel i rekordbogen. Men professorerne på universitetet var godt informeret af Holmboe om den lovende unge mand og gjorde sit personlige bekendtskab. Udover Hansteen, der også underviste i Anvendt matematik, var der kun en professor i matematik. S. S., tidligere lærer ved Domkirkeskolen. Rasmussen, en venlig mand, var ikke en produktiv lærd; hans tid blev stort set taget op af opgaver, som regeringen havde tildelt ham, især i hans stilling som administrator af den nye Bank of Norge.
i løbet af sit sidste år i skolen angreb Abel med ungdommens kraft og usømmelighed problemet med løsningen af den kintiske ligning. Dette problem havde været udestående siden Del Ferro, Tartaglia, Cardano og Ferrari i første halvdel af det sekstende århundrede. Abel mente, at det var lykkedes ham at finde løsningens form, men i Norge var der ingen, der var i stand til at forstå hans argumenter, og der var heller ikke noget videnskabeligt tidsskrift, hvor de kunne offentliggøres. Hansteen videresendte papiret til den danske matematiker Ferdinand Degen og anmodede om offentliggørelse af Det Danske Akademi.
Degen kunne ikke opdage nogen fejl i argumenterne, men anmodede om, at Abel illustrerede sin metode med et eksempel. Degen fandt også emnet noget sterilt og foreslog, at Abel vendte opmærksomheden mod et emne “hvis udvikling ville have de største konsekvenser for analyse og mekanik. Jeg henviser til de elliptiske transcendentaler . En seriøs efterforsker med egnede kvalifikationer til forskning af denne art ville på ingen måde være begrænset til de mange smukke egenskaber ved disse mest bemærkelsesværdige funktioner, men kunne opdage et Magellanstræd, der fører ind i store vidder af et enormt analytisk hav” (brev til Hansteen).
Abel begyndte at konstruere sine eksempler til løsning af den femte graders ligning, men opdagede til sin forfærdelse, at hans metode ikke var korrekt. Han fulgte også Degens forslag om de elliptiske transcendentaler, og det er sandsynligt, at han inden for et par år i hovedsagen havde afsluttet sin teori om de elliptiske funktioner.
i 1818 blev pastor Abel genvalgt til Stortinget efter et mislykket bud i 1816. Men hans politiske karriere sluttede i tragedie. Han fremsatte voldelige ubegrundede anklager mod andre repræsentanter og blev truet med anklagelse. Dette sammen med hans berusethed gjorde ham til pressens Røv. Han vendte hjem i skændsel, en desillusioneret mand. Både han og hans kone led af alkoholisme, og forholdene på præstegården og i sognet blev skandaløse. Det blev generelt betragtet som en lettelse, da han døde i 1820. Hans enke blev efterladt under meget vanskelige omstændigheder, med en lille pension, der næppe var tilstrækkelig til at forsørge hende og hendes mange børn.
den pengeløse Abel kom ind på universitetet i efteråret 1821. Han fik et gratis værelse på universitetets sovesal og fik tilladelse til at dele det med sin yngre bror Peder. Men den nye institution havde ingen stipendiefonde, og nogle af professorerne tog det usædvanlige mål at støtte den unge matematiker ud af deres egne lønninger. Han var gæst i deres huse og blev især tiltrukket af Hansteen-hjemmet og Fru Hansteen og hendes søstre.
Abels første opgave på universitetet var at opfylde kravene til den indledende grad, Candidatus Philosophiae. Når dette var opnået, var Abel efter et år helt alene i sine studier. Der var ingen avancerede kurser i matematik og de fysiske videnskaber, men dette ser ikke ud til at have været et handicap; i et brev fra Paris lidt senere erklærede han, at han praktisk talt havde læst alt i matematik, vigtigt eller uvigtigt.
han viet sin tid til avanceret forskning, og hans indsats fik en stærk drivkraft, da Hansteen startede et videnskabeligt tidsskrift, magasin for Naturvidenskaben. I 1823 offentliggjorde dette tidsskrift Abels første artikel, på norsk, en undersøgelse af funktionelle ligninger. Matematisk var det ikke vigtigt. det var heller ikke hans andet lille papir. Abonnenterne på bladet var blevet lovet en populær anmeldelse, imidlertid, og Hansteen, sandsynligvis efter kritik, følte sig forpligtet til at undskylde for karakteren af disse papirer: “jeg mener således, at magasinet ud over videnskabeligt materiale også skulle fremme de værktøjer, der tjener til deres analyse. Det vil blive regnet for vores kredit, at vi har givet den lærde offentlighed en mulighed for at blive bekendt med et værk fra denne talentfulde og dygtige forfatters pen” (magasin, 1 ). Abels næste papir,” Oplusning afet Par Opgaver ved bjoelp af bestemte Integraler “(“løsning af nogle problemer ved hjælp af bestemte integraler”), er af betydning i matematikens historie, da den indeholder den første løsning af en integreret ligning. Papiret, som gik ubemærket på det tidspunkt, dels fordi det var på norsk, beskæftiger sig med det mekaniske problem med bevægelsen af et massepunkt på en kurve under påvirkning af tyngdekraften. I vinteren 1822-1823 komponerede Abel også et længere arbejde med integration af funktionelle udtryk. Papiret blev forelagt university Collegium i håb om, at dette organ ville hjælpe med offentliggørelsen. manuskriptet er forsvundet, men det forekommer sandsynligt, at nogle af de opnåede resultater er inkluderet i nogle af Abels senere papirer.
tidligt i sommeren 1823 modtog Abel en gave på 100 daler fra Professor Rasmussen til at finansiere en tur til København for at møde Degen og de andre danske matematikere. Hans breve til Holmboe afslører den matematiske inspiration, han modtog. Han blev i sin onkels hus og gjorde her bekendtskab med sin fremtidige forlovede Kriste, Christine Kemp.
da han vendte tilbage til Oslo, tog Abel igen spørgsmålet om løsningen af den kintiske ligning. Denne gang tog han den omvendte opfattelse og lykkedes at løse det århundredgamle problem ved at bevise umuligheden af et radikalt udtryk, der repræsenterer en løsning af den generelle femte eller højere grad ligning. Abel forstod fuldt ud betydningen af sit resultat, så han fik det offentliggjort for egen regning af en lokal printer. For at nå et stort publikum skrev han det på fransk: “afhandling om algebraiske ligninger, hvor vi demonstrerer umuligheden af at løse den generelle ligning i femte grad.”For at spare udgifter blev hele pjecen komprimeret til seks sider. Den resulterende kortfattethed gjorde det sandsynligvis vanskeligt at forstå; i hvert fald var der ingen reaktion fra nogen af de udenlandske matematikere—inklusive den store C. F. Gauss, til hvem en kopi blev sendt.
det var blevet klart, at Abel ikke længere kunne leve på professorernes støtte. Hans økonomiske problemer var blevet øget af hans engagement med Christine Kemp. der var kommet til Norge som guvernør for børnene i en familie, der bor i nærheden af Oslo.
Abel ansøgte om et rejsestipendium, og efter nogle forsinkelser besluttede regeringen, at Abel skulle modtage et lille stipendium til at studere sprog på universitetet for at forberede ham til rejser til udlandet. Han skulle derefter modtage et tilskud på 600 daler til to års udenlandsk undersøgelse.
Abel var skuffet over forsinkelsen, men pligtopfyldende studerede sprog, især fransk, og brugte sin tid til at forberede et betydeligt antal papirer, der skal præsenteres for udenlandske matematikere. I løbet af sommeren 1825 forlod han sammen med fire venner. alle havde også til hensigt at forberede sig på fremtidige videnskabelige karrierer: en af dem blev senere professor i medicin, og de tre andre blev geologer. Abels venner alle planlagt at gå til Berlin, mens Abel, efter Hansteen råd, var at tilbringe sin tid i Paris, så verdens vigtigste centrum for matematik. Abel frygtede imidlertid at være ensom og besluttede også at tage til Berlin, skønt han godt vidste, at han ville pådrage sig sin protektors utilfredshed.
Abels sindskifte viste sig at være en meget heldig beslutning. På passerer gennem København, Abel lært, at Degen var død, men han sikrede et anbefalingsbrev fra en af de andre danske matematikere til Privy byrådsmedlem August Leopold Crelle. Crelle var en meget indflydelsesrig ingeniør, intenst interesseret i matematik, men ikke selv en stærk matematiker.
da Abel først opfordrede Crelle, havde han nogle vanskeligheder med at gøre sig forstået. Men efter et stykke tid anerkendte Crelle de usædvanlige kvaliteter hos sin unge besøgende. De to blev livslange venner. Abel præsenterede ham for en kopi af sin pjece om den kvintiske ligning, men Crelle tilstod, at det var uforståeligt for ham og anbefalede, at Abel vred en udvidet version af den. De talte om den dårlige tilstand af matematik i Tyskland. I et brev til Hansteen, dateret fra Berlin, 5. December 1825, skrev Abel:
da jeg udtrykte overraskelse over, at der ikke eksisterede nogen matematisk tidsskrift, som i Frankrig, sagde han, at han længe havde til hensigt at redigere en, og ville i øjeblikket bringe sin plan til udførelse. Dette projekt er nu organiseret, og det til min store glæde, for jeg vil have et sted, hvor jeg kan få nogle af mine artikler trykt. Jeg har allerede forberedt fire af dem, som vises i det første nummer.
Journal f LR die reine und angandte Mathematik, eller Crelle ‘ s Journal, som det er almindeligt kendt, var den førende tyske matematiske tidsskrift i det nittende århundrede. Det første bind alene indeholder syv papirer af Abel, og de følgende bind indeholder mange flere, de fleste af dem af fremtrædende betydning i matematikens historie. Blandt de første er den udvidede version af beviset for umuligheden af opløsningen af den generelle kintiske ligning af radikaler. Her Udvikler Abel den nødvendige algebraiske baggrund, herunder en diskussion af algebraiske feltudvidelser. Abel var på dette tidspunkt ikke klar over, at han havde en forløber, den italienske matematiker Paolo Ruffini. Men i et posthumt papir om ligningerne, der kan løses af radikaler Abel-stater: “Den eneste foran mig, hvis jeg ikke tager fejl, der har forsøgt at bevise umuligheden af den algebraiske løsning af de generelle ligninger, er matematikeren Ruffini, men hans papir er så kompliceret, at det er meget vanskeligt at bedømme rigtigheden af hans argumenter. Det forekommer mig, at det ikke altid er tilfredsstillende.”Resultatet kaldes normalt Abel-Ruffini-sætningen.
efter Abels afgang fra Oslo fandt en begivenhed sted, der forårsagede ham meget bekymring. Rasmussen havde fundet sit professorat i matematik for byrdefuldt, når det kombineres med hans offentlige opgaver. Han trak sig tilbage, og kort efter stemte fakultetet for at anbefale, at Holmboe udnævnes til at besætte den ledige stilling. Abels norske venner fandt handlingen meget uretfærdig, og Abel selv følte sandsynligvis på samme måde. Ikke desto mindre skrev han et varmt lykønskningsbrev til sin tidligere lærer, og de forblev gode venner. Men det er tydeligt, at Abel fra dette øjeblik bekymrede sig for sin fremtid og sit forestående ægteskab; der var ingen videnskabelig position i syne for ham i sit hjemland.
i løbet af vinteren i Berlin bidrog Abel til Crelle ‘ s Journal; blandt de bemærkelsesværdige papirer er en om generalisering af binomialformlen og en anden om integration af kvadratrodsudtryk. Men en af hans vigtigste matematiske bekymringer var manglen på stringens i moderne matematik. Han nævnte det gentagne gange i breve til Holmboe. I en af disse, dateret 16. januar 1826, skrev han:
Mine øjne er blevet åbnet på den mest overraskende måde. Hvis du ignorerer de meget enkleste tilfælde, er der i al matematik ikke en enkelt uendelig serie, hvis sum er strengt bestemt. Med andre ord står de vigtigste dele af matematik uden fundament. Det er rigtigt, at det meste er gyldigt, men det er meget overraskende. Jeg kæmper for at finde årsagen til det, et meget interessant problem.
et resultat af denne kamp var hans klassiske papir om magtserier, der indeholder mange generelle sætninger og også som en anvendelse den strenge bestemmelse af summen af binomialserien for vilkårlige reelle eller komplekse eksponenter.
i det tidlige forår af 1826 følte Abel sig forpligtet til at gå videre til sin oprindelige destination, Paris. Crelle havde lovet at ledsage ham, og på vejen havde de til hensigt at stoppe i G. Desværre forhindrede presset fra erhvervslivet Crelle i at forlade Berlin. Samtidig planlagde Abels norske venner en geologisk udflugt gennem Centraleuropa, og igen tilbageholdende med at blive adskilt fra dem sluttede han sig til gruppen. De rejste med bus gennem Bøhmen, Østrig, Norditalien og Alperne. Abel nåede ikke Paris før i Juli, lavt på midler efter den dyre tur.
besøget i Paris skulle vise sig skuffende. Universitetsferien var lige begyndt, da Abel ankom, vendte tilbage, han fandt ud af, at de var afsides og vanskelige at nærme sig; det var kun i forbifarten, at han mødte Legendre, hvis største interesse for hans alderdom var elliptiske integraler, Abels egen specialitet. Til præsentation for det franske videnskabsakademi havde Abel reserveret et papir, som han betragtede som sit mesterværk. Det behandlede summen af integraler af en given algebraisk funktion. Abels sætning siger, at en sådan sum kan udtrykkes som et fast tal p af disse integraler med integrationsargumenter, der er algebraiske funktioner i de oprindelige argumenter. Det minimale antal p er slægten for den algebraiske funktion, og dette er den første forekomst af denne grundlæggende mængde. Abels sætning er en stor generalisering af Eulers forhold til elliptiske integraler.
Abel tilbragte sine første måneder i Paris med at færdiggøre sin store erindringsbog; det er et af hans længste papirer og inkluderer en bred teori med applikationer. Det blev præsenteret for Academy of Sciences, på 30 oktober 1826, under titlen “Mémoire sur une propriété générale d’ une classe trés-étendue de funktioner transcendantes.”Cauchy og Legendre blev udnævnt til dommere, hvor Cauchy var formand. En række unge mænd havde fået hurtig skelnen efter at have fået deres værker accepteret af Akademiet, og Abel ventede på dommernes rapport. Der kom dog ingen rapport; faktisk blev den ikke udsendt, før Abels død tvang dens udseende. Cauchy synes at have været skylden; han hævdede senere, at manuskriptet var ulæseligt.
Abels næste to måneder i Paris var dystre; han havde få penge og få bekendte. Han mødte P. G. L. Dirichlet, hans junior med tre år og allerede en velkendt matematiker, gennem et papir i Akademiet sponsoreret af Legendre. En anden bekendt Var fr Kurfric Saigey, redaktør af den videnskabelige Revy Ferrusac ‘s Bulletin, for hvem Abel skrev et par artikler, især om sine egne papirer i Crelle’ s Journal. Efter jul brugte han sine sidste ressourcer til at betale sin billetpris til Berlin.
kort efter hans tilbagevenden til Berlin. Abel blev syg; han ser ud til at have lidt det første angreb af tuberkulosen, der senere skulle kræve hans liv. Han lånte nogle penge af Holmboe, og Crelle hjalp ham sikkert. Abel længtes efter at vende tilbage til Norge, men følte sig tvunget til at forblive i udlandet, indtil hans stipendieperiode var udløbet. Crelle forsøgte at beholde ham i Berlin, indtil han kunne finde en stilling til ham på et tysk universitet; i mellemtiden tilbød han ham redaktionen af sin dagbog.
Abel arbejdede flittigt på et nyt papir: “recherches sur les fonctions elliptik.”hans mest omfattende publikation (125 sider i oeuvres complristtes). I dette arbejde forvandlede han radikalt teorien om elliptiske integraler til teorien om elliptiske funktioner ved at bruge deres inverse funktioner, der i det mest elementære tilfælde svarer til dualiteten
de elliptiske funktioner bliver derved en enorm og naturlig generalisering af de trigonometriske funktioner; i kølvandet på Abels arbejde skulle de udgøre et af de foretrukne forskningsemner i matematik i det nittende århundrede. Abel havde allerede udviklet det meste af teorien som studerende i Oslo, så han var i stand til at præsentere teorien om elliptiske funktioner med en stor detaljeringsrigdom, herunder dobbelt periodicitet, udvidelser i uendelige serier og produkter og tilføjelsesteoremer. Teorien førte til udtryk for funktioner i et multiplum af argumentet med den samtidige bestemmelse af ligningerne for fraktionerede argumenter og deres løsning af radikaler, meget på den måde, som Gauss havde behandlet de cyklotomiske ligninger: Abels breve til Holmboe (fra Paris i December 1826 og fra Berlin den 4.Marts 1827) viser, at han især var fascineret af en bestemmelse af betingelsen for, at et lemniscat kunne deles i lige store dele ved hjælp af kompas og lineal, analogt med Gauss konstruktion af regelmæssige polygoner. Den sidste del omhandler den såkaldte teori om kompleks multiplikation, senere så vigtig i algebraisk talteori.
Abel vendte tilbage til Oslo den 20.maj 1827 for at finde ud af, at situationen derhjemme var så dyster, som han havde frygtet. Han havde ingen stilling i udsigt, intet fællesskab og en overflod af gæld. Hans ansøgning om at få sit stipendium forlænget blev afvist af Finansministeriet, men universitetet tildelte ham modigt et lille stipendium ud af dets magre midler. Denne handling blev kritiseret af afdelingen, som forbeholdt sig retten til at få beløbet fratrukket enhver fremtidig løn, han måtte modtage.
Abels forlovede fandt en ny stilling hos venner af Abels familie, familien til ejeren af et jernværk i Froland, nær Arendal. I løbet af efteråret Abel eked ud en levende i Oslo ved at vejlede skoledrenge og sandsynligvis med hjælp fra venner . På det nye år blev situationen lysere. Hansteen, en pioner inden for geomagnetiske undersøgelser, modtog et stort tilskud i to år til at undersøge jordens magnetfelt i uudforsket Sibirien. I mellemtiden blev Abel hans stedfortræder både på universitetet og på det norske militærakademi.
den første del af “Recherches” blev offentliggjort i Crelle ‘ s Journal i September 1827, og Abel afsluttede anden del om vinteren. Han boede isoleret i Oslo; der var ingen pakke post i løbet af vinteren, og han havde ingen anelse om den interesse hans erindringsbog havde skabt blandt europæiske matematikere. Han vidste heller ikke, at en konkurrent havde optrådt inden for elliptiske funktioner indtil begyndelsen af 1828, da Hansteen viste ham septemberudgaven af Astronomische Nachrichten. I dette tidsskrift annoncerede en ung tysk matematiker, K. G. J. Jacobi, uden bevis nogle resultater vedrørende transformationsteorien om elliptiske integraler. Abel tilføjede hurtigt en note til manuskriptet til anden del af “Recherches”, der viste, hvordan Jacobis resultater var konsekvensen af hans egne.
Abel var meget opmærksom på, at et løb var ved hånden. Han afbrød et stort papir om teorien om ligninger, der skulle indeholde bestemmelsen af alle ligninger, der kan løses af radikaler: den del, der blev offentliggjort, indeholdt teorien om de ligninger, der nu er kendt som Abelian. Derefter skrev han hurtigt efter hinanden en række papirer om elliptiske funktioner. Den første var “løsning d’ un probleme g Kristian Kristian concernant la transformation des fonctions elliptik.”Dette, hans direkte svar til Jacobi, blev offentliggjort i Astronomische Nachrichten; de andre optrådte i Crelle’ s Journal. Ud over, Abel udarbejdede en boglængde memoir, “pr Pricis d’ une TH prisorie des fonctions elliptik,” som blev offentliggjort efter hans død. Jacobi skrev derimod kun korte meddelelser, som ikke afslørede hans metoder; disse var forbeholdt hans bog, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
der er skrevet meget om den tidlige teori om elliptiske funktioner. Der synes ikke at være nogen tvivl om, at Abel var i besiddelse af ideerne flere år før Jacobi. På den anden side er det også en etableret kendsgerning, at Gauss, selvom han ikke offentliggjorde noget, havde opdaget principperne for elliptiske funktioner længe før enten Abel eller Jacobi.
De Europæiske matematikere så med fascination konkurrencen mellem de to unge matematikere. Legendre bemærkede Jacobis meddelelser og modtog også et brev fra ham. På et møde i det franske akademi i November 1827 roste han den nye matematiske stjerne; talen blev gengivet i aviserne, og Legendre sendte klippet til Jacobi. I sit svar påpegede Jacobi, efter at have udtrykt sin tak, Abels” Recherches ” og dens generelle resultater. Legendre svarede: “Gennem disse værker vil i to blive placeret i klassen af de førende analytikere i vores tid.”Han udtrykte også sin skuffelse over Jacobis metode til offentliggørelse og blev irriteret, da Jacobi tilstod, at han for at udlede nogle af sine resultater havde været nødt til at stole på Abels papir. Omkring dette tidspunkt begyndte Abel også en korrespondance med Legendre og hældte sine ideer ud til ham.
alt, hvad de europæiske matematikere vidste om Abels tilstand i Norge, var, at han kun havde en midlertidig stilling og for nylig var blevet tvunget til at undervise skoledrenge for at tjene til livets ophold. Hovedkilden til deres information var Crelle, der konstant brugte sin indflydelse til at forsøge at få en aftale for Abel på et nyt videnskabeligt institut, der skulle oprettes i Berlin. Fremskridtene var dog meget langsomme. I September 1828 tog fire fremtrædende medlemmer af det franske videnskabsakademi det ekstraordinære skridt at adressere et andragende direkte til Bernadotte, nu Charles NIV fra Norge—Sverige, der henledte opmærksomheden på Abel og opfordrede til, at der blev skabt en passende videnskabelig position for ham. På et møde i Akademiet, den 25.februar 1829, hyldede Legendre også Abel og hans opdagelser, især til hans resultater i teorien om ligninger.
i mellemtiden skrev Abel på trods af hans forværrede helbred nye papirer hektisk. Han tilbragte sommerferien i 1828 på Froland-ejendommen med sin forlovede Kriste. Til jul insisterede han på at besøge hende igen, til trods for at det krævede flere dages rejse i intens kulde. Han var feberagtig, da han ankom, men nød familiens julefest. Han kan have haft en forudanelse om, at hans Dage var talte, imidlertid, og han frygtede nu, at det store papir, der blev forelagt Det Franske Akademi, var gået tabt for evigt. Han skrev derfor en kort note,” Demonstration d ‘une proprietar K. K. G. K. K. C. A. C. C. C. classe de fonctions transcendantes”, hvor han gav et bevis på hovedsætningen. Han sendte det til Crelle den 6. januar 1829.
mens han ventede på slæden, der skulle returnere ham til Oslo, LED Abel en voldsom blødning; lægen diagnosticerede sin sygdom som tuberkulose og beordrede langvarig sengeleje. Han døde i April, i en alder af seksogtyve, og blev begravet i den nærliggende Froland kirke under en snestorm. Graven er præget af et monument opført af hans venner. En af dem, Baltasar Keilhau, skrev til Christine Kemp, uden nogensinde at have set hende, og gav hende et tilbud om ægteskab, som hun accepterede. To dage efter Abels død skrev Crelle jublende for at informere ham om, at hans udnævnelse i Berlin var sikret.
den 28.juni 1830 tildelte det franske videnskabsakademi sin store pris til Abel og Jacobi for deres fremragende matematiske opdagelser. Efter en intensiv søgning i Paris blev manuskriptet til Abels store erindringsbog genopdaget. Det blev offentliggjort i 1841, femten år efter at det var blevet indsendt. Under udskrivningen forsvandt den igen for ikke at dukke op igen før i 1952 i Florence.
Crelle skrev en omfattende lovprisning af Abel i sin dagbog (4 , 402):
alle Abels værker bærer præg af en opfindsomhed og tankegang, som er usædvanlig og undertiden forbløffende, selvom forfatterens ungdom ikke tages i betragtning. Man kan sige, at han var i stand til at trænge ind i alle forhindringer ned til selve grundlaget for problemerne med en kraft, der syntes uimodståelig; han angreb problemerne med en ekstraordinær energi; han betragtede dem ovenfra og var i stand til at svæve så højt over deres nuværende tilstand, at alle vanskelighederne syntes at forsvinde under det sejrende angreb af hans geni…. Men det var ikke kun hans store talent, der skabte respekten for Abel og gjorde hans tab uendeligt beklageligt. Han udmærkede sig lige ved renheden og adelen i hans karakter og ved en sjælden beskedenhed, der gjorde hans person værdsat i samme usædvanlige grad som hans geni.
bibliografi
I. originale værker. Abel ‘ s komplette værker er udgivet i to udgaver, oeuvres compllirtes de N. H. Abel, math kurtmaticien, Red. og annoteret af B. Holmboe (Oslo, 1839), og Nouvelle rodition, M. M. L. Sylav og S. Lie, eds., 2 bind. (Oslo, 1881).
II. sekundær litteratur. Materialer om Abels liv inkluderer Niels Henrik Abel: m Prismorial publi pristius i ‘ occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), som omfatter alle breve citeret i teksten; og O. Ore, Niels Henrik Abel; matematiker ekstraordinær (Minneapolis, Minn., 1957).
Oysteinmalm