Die Mind-Bendy-Verrücktheit der Zahl zero, explained

Der Computer, auf dem Sie diesen Artikel gerade lesen, läuft auf einer Binärdatei — Zeichenfolgen von Nullen und Einsen. Ohne Zero gäbe es die moderne Elektronik nicht. Ohne Null gibt es kein Kalkül, was bedeutet, dass es keine moderne Technik oder Automatisierung gibt. Ohne Null fällt ein Großteil unserer modernen Welt buchstäblich auseinander.

Die Entdeckung der Null durch die Menschheit war „ein totaler Game Changer… äquivalent dazu, dass wir Sprache lernen „, sagt Andreas Nieder, Kognitionswissenschaftler an der Universität Tübingen.

Aber für die überwiegende Mehrheit unserer Geschichte haben die Menschen die Zahl Null nicht verstanden. Es ist uns nicht angeboren. Wir mussten es erfinden. Und wir müssen es der nächsten Generation beibringen.

Andere Tiere, wie Affen, haben sich entwickelt, um das rudimentäre Konzept des Nichts zu verstehen. Und Wissenschaftler haben gerade berichtet, dass selbst winzige Bienenhirne Null berechnen können. Aber es sind nur Menschen, die Zero ergriffen und zu einem Werkzeug geschmiedet haben.

Also nehmen wir Null nicht als selbstverständlich hin. Nichts ist faszinierend. Hier ist der Grund.

Was ist überhaupt Null?

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Unser Verständnis von Null ist tiefgreifend, wenn man diese Tatsache berücksichtigt: Wir begegnen der Null in der Natur nicht oft oder vielleicht nie.

Zahlen wie eins, zwei und drei haben ein Gegenstück. Wir können ein Licht aufblitzen sehen. Wir können zwei Pieptöne von einer Autohupe hören. Aber null? Es erfordert, dass wir erkennen, dass die Abwesenheit von etwas eine Sache an und für sich ist.

„Null ist im Kopf, aber nicht in der Sinneswelt“, sagt Robert Kaplan, ein Harvard-Mathematikprofessor und Autor eines Buches über Null. Selbst in den leeren Bereichen des Weltraums, wenn Sie Sterne sehen können, bedeutet dies, dass Sie in ihrer elektromagnetischen Strahlung gebadet werden. In der dunkelsten Leere gibt es immer etwas. Vielleicht gab es in der Zeit vor dem Urknall eine wahre Null — was absolutes Nichts bedeutet. Aber wir können es nie wissen.

Trotzdem muss Null nicht existieren, um nützlich zu sein. Tatsächlich können wir das Konzept der Null verwenden, um alle anderen Zahlen im Universum abzuleiten.

Kaplan führte mich durch eine Gedankenübung, die zuerst vom Mathematiker John von Neumann beschrieben wurde. Es ist täuschend einfach.

Stellen Sie sich eine Schachtel vor, in der sich nichts befindet. Mathematiker nennen diese leere Box „die leere Menge.“ Es ist eine physikalische Darstellung von Null. Was ist in der leeren Box? Nichts.

Nimm nun ein weiteres leeres Kästchen und lege es in das erste.

Wie viele Dinge sind jetzt in der ersten Box?

Da ist ein Objekt drin. Legen Sie dann eine weitere leere Schachtel in die ersten beiden. Wie viele Objekte enthält es jetzt? Zwei. Und so „leiten wir alle Zählzahlen von Null ab … aus dem Nichts“, sagt Kaplan. Dies ist die Grundlage unseres Zahlensystems. Zero ist Abstraktion und Realität zugleich. „Es ist das Nichts, das ist“, wie Kaplan sagte. (An diesem Punkt in der Geschichte möchten Sie vielleicht einen weiteren Schlag auf Ihre Bong machen.)

Er formulierte es dann poetischer. „Null steht als der ferne Horizont, der uns auf die Art und Weise winkt, wie Horizonte es in Gemälden tun“, sagt er. „Es vereint das ganze Bild. Wenn du auf Null schaust, siehst du nichts. Aber wenn du es durchschaust, siehst du die Welt. Es ist der Horizont.“

Sobald wir Null hatten, haben wir negative Zahlen. Null hilft uns zu verstehen, dass wir Mathematik verwenden können, um über Dinge nachzudenken, die in einer physisch gelebten Erfahrung kein Gegenstück haben; Imaginäre Zahlen existieren nicht, sind aber entscheidend für das Verständnis elektrischer Systeme. Null hilft uns auch, ihre Antithese, die Unendlichkeit, in all ihrer extremen Verrücktheit zu verstehen. (Wussten Sie, dass eine Unendlichkeit größer sein kann als eine andere?)

Warum Null in der Mathematik so verdammt nützlich ist

Nulls Einfluss auf unsere Mathematik heute ist zweifach. Erstens: Es ist eine wichtige Platzhalterziffer in unserem Zahlensystem. Zweitens: Es ist eine nützliche Nummer für sich.

Die ersten Verwendungen von Zero in der Menschheitsgeschichte lassen sich bis vor etwa 5.000 Jahren zurückverfolgen, bis ins alte Mesopotamien. Dort wurde es verwendet, um das Fehlen einer Ziffer in einer Zahlenfolge darzustellen.

Hier ist ein Beispiel, was ich meine: Denken Sie an die Zahl 103. Die Null steht in diesem Fall für „Es gibt nichts in der Zehnerspalte.“ Es ist ein Platzhalter, der uns hilft zu verstehen, dass diese Zahl einhundertdrei und nicht 13 ist.

Okay, Sie denken vielleicht: „Das ist grundlegend.“ Aber die alten Römer wussten das nicht. Erinnern Sie sich, wie die Römer ihre Zahlen aufgeschrieben haben? 103 in römischen Ziffern ist CIII. Die Zahl 99 ist XCIX. Sie versuchen, CIII + XCIX hinzuzufügen. Es ist absurd. Die Platzhalternotation ermöglicht es uns, Zahlen einfach hinzuzufügen, zu subtrahieren und anderweitig zu manipulieren. Die Platzhalternotation ermöglicht es uns, komplizierte mathematische Probleme auf einem Blatt Papier zu lösen.

Wenn Null nur eine Platzhalterziffer geblieben wäre, wäre es ein profundes Werkzeug für sich gewesen. Aber vor etwa 1.500 Jahren (oder vielleicht sogar noch früher) wurde Null in Indien zu einer eigenen Zahl, die nichts bedeutet. Die alten Mayas, in Mittelamerika, entwickelte auch unabhängig Null in ihrem Zahlensystem um den Beginn der gemeinsamen Ära.

Im siebten Jahrhundert schrieb der indische Mathematiker Brahmagupta auf, was als erste schriftliche Beschreibung der Arithmetik von Null anerkannt ist:

Wenn Null zu einer Zahl addiert oder von einer Zahl subtrahiert wird, bleibt die Zahl unverändert; und eine mit Null multiplizierte Zahl wird Null.

Zero verbreitete sich langsam im Nahen Osten, bevor es Europa erreichte, und der Geist des Mathematikers Fibonacci in den 1200er Jahren, der das „arabische“ Zahlensystem populär machte, das wir heute alle verwenden.

Von dort explodierte die Nützlichkeit von Null. Stellen Sie sich einen Graphen vor, der eine mathematische Funktion ab 0,0 darstellt. Diese heute allgegenwärtige Methode der Grafik wurde erst im 17.Jahrhundert erfunden, nachdem sie sich in Europa verbreitet hatte. In diesem Jahrhundert gab es auch ein ganz neues Gebiet der Mathematik, das von Null abhängt: Kalkül.

Sie erinnern sich vielleicht aus der Highschool- oder College-Mathematik, dass die einfachste Funktion in der Infinitesimalrechnung eine Ableitung ist. Eine Ableitung ist einfach die Steigung einer Linie, die sich mit einem einzelnen Punkt in einem Diagramm schneidet.

Um die Steigung eines einzelnen Punktes zu berechnen, benötigen Sie normalerweise einen Vergleichspunkt: Aufstieg über Lauf. Was Isaac Newton und Gottfried Leibniz entdeckten, als sie die Infinitesimalrechnung erfanden, ist, dass die Berechnung dieser Steigung an einem einzigen Punkt bedeutet, noch näher, näher und näher zu kommen — aber niemals tatsächlich — durch Null zu dividieren.

„Alle unendlichen Prozesse drehen sich um den Begriff Null“, sagt Robert Kaplan. Whoa.

Warum ist Null als menschliche Idee so tiefgründig?

Wir werden nicht mit einem Verständnis von Null geboren. Wir müssen es lernen, und es braucht Zeit.

Elizabeth Brannon ist eine Neurowissenschaftlerin an der Duke University, die untersucht, wie sowohl Menschen als auch Tiere Zahlen in ihren Köpfen darstellen. Sie erklärt, dass selbst wenn Kinder unter 6 Jahren verstehen, dass das Wort „Null“ „nichts“ bedeutet, es ihnen immer noch schwer fällt, die zugrunde liegende Mathematik zu verstehen. „Wenn Sie fragen, welche Zahl kleiner ist, Null oder eins, denken sie oft an eins als die kleinste Zahl“, sagt Brannon. „Es ist schwer zu lernen, dass Null kleiner als eins ist.“

In Experimenten spielt Brannon oft ein Spiel mit 4-Jährigen. Sie legt ein Paar Karten auf einen Tisch oder Bildschirm. Und jede Karte wird eine Reihe von Objekten darauf haben. Eine Karte hat zum Beispiel zwei Punkte. Ein anderer wird drei haben. Hier ist ein Beispiel dafür, was sie sehen könnten.

Trends in der Kognitionswissenschaft

Sie bittet die Kinder einfach, die Karte mit der geringsten Anzahl von Objekten auszuwählen. Wenn eine Karte mit nichts darauf mit einer Karte mit einem Objekt darauf gepaart wird, erhalten weniger als die Hälfte der Kinder die richtige Antwort.

Trends in der Kognitionswissenschaft

Was passiert also, damit alles Klick macht?

Andreas Nieder, der Kognitionswissenschaftler aus Deutschland, stellt die Hypothese auf, dass es vier psychologische Schritte gibt, um Zero zu verstehen, und jeder Schritt ist kognitiv komplizierter als der vorherige.

Viele Tiere kommen durch die ersten drei Schritte. Aber die letzte Stufe, die schwierigste, ist „uns Menschen vorbehalten“, sagt Nieder.

Die erste ist eine einfache sensorische Erfahrung von Stimulus, der ein- und ausgeschaltet wird. Dies ist die einfache Fähigkeit, ein flackerndes Licht ein- und auszuschalten. Oder ein Geräusch ein- und ausschalten.

Das zweite ist Verhaltensverständnis. In diesem Stadium können Tiere nicht nur das Fehlen eines Reizes erkennen, sondern auch darauf reagieren. Wenn einer Person die Nahrung ausgegangen ist, wissen sie, dass sie mehr finden muss.

Die dritte Stufe erkennt, dass Null oder ein leerer Behälter ein Wert kleiner als eins ist. Dies ist schwierig, obwohl eine überraschende Anzahl von Tieren, einschließlich Honigbienen und Affen, diese Tatsache erkennen kann. Es ist zu verstehen, „dass nichts eine quantitative Kategorie hat“, sagt Nieder.

Die vierte Stufe nimmt die Abwesenheit eines Reizes und behandelt ihn als Symbol und logisches Werkzeug zur Lösung von Problemen. Kein Tier außerhalb des Menschen, sagt er, „egal wie schlau“, versteht, dass Null ein Symbol sein kann.

Aber selbst gut ausgebildete Menschen können immer noch ein wenig stolpern, wenn sie an Null denken. Studien haben gezeigt, dass Erwachsene einige Momente länger brauchen, um die Zahl Null im Vergleich zu anderen Ziffern zu erkennen. Und wenn Brannons Pick-the-Lowest-Number-Card-Experiment mit Erwachsenen wiederholt wird, dauert es etwas länger, wenn sie sich zwischen Null und eins entscheiden, als wenn sie Null mit einer größeren Zahl vergleichen.

Das deutet darauf hin, dass Zero, selbst für Erwachsene, eine zusätzliche Anstrengung der Gehirnleistung erfordert, um es zu verarbeiten.

Was sonst kann nichts verstehen?

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Wir werden möglicherweise nicht mit der Fähigkeit geboren, Null zu verstehen. Aber unsere Fähigkeit, es zu lernen, kann tiefe evolutionäre Wurzeln haben, wie uns einige neue Wissenschaft zeigt.

Der vierte Schritt beim Denken an Null — das heißt, an Null als Symbol zu denken — kann für den Menschen einzigartig sein. Aber eine überraschende Anzahl von Tieren kann zu Schritt drei gelangen: Erkennen, dass Null weniger als eins ist.

Sogar Bienen können es.

Scarlett Howard, Doktorandin am Royal Melbourne Institute of Technology, veröffentlichte kürzlich ein Experiment in Science, das fast identisch mit dem ist, das Brannon mit Kindern gemacht hat. Die Bienen wählten die leere Seite 60 bis 70 Prozent der Zeit. Und sie waren deutlich besser darin, eine große Zahl, wie sechs, von Null zu unterscheiden, als eine von Null zu unterscheiden. Genau wie die Kinder.

Das ist beeindruckend, wenn man bedenkt, dass „wir dieses große Säugetiergehirn haben, aber Bienen haben ein Gehirn, das so klein ist und weniger als ein Milligramm wiegt“, sagt Howard. Ihre Forschungsgruppe hofft zu verstehen, wie Bienen diese Berechnungen in ihren Köpfen durchführen, mit dem Ziel, diese Erkenntnisse eines Tages zu nutzen, um effizientere Computer zu bauen.

In ähnlichen Experimenten haben Forscher gezeigt, dass Affen die leere Menge erkennen können (und oft besser darin sind als 4-jährige Menschen). Aber die Tatsache, dass Bienen es können, ist erstaunlich, wenn man bedenkt, wie weit sie auf den evolutionären Bäumen des Lebens von uns entfernt sind. „Der letzte gemeinsame Vorfahr zwischen uns und den Bienen lebte vor etwa 600 Millionen Jahren, was in Evolutionszeiten eine Ewigkeit ist“, sagt Nieder.

Wir Menschen haben die Null vielleicht erst vor 1.500 Jahren als Zahl verstanden. Was uns die Experimente an Bienen und Affen zeigen, ist, dass es nicht nur die Arbeit unseres Einfallsreichtums ist. Es ist vielleicht auch das kulminierende Werk der Evolution.

Es gibt immer noch große Geheimnisse über Zero. Zum einen sagt Nieder, „wir wissen kaum etwas“ darüber, wie das Gehirn es physisch verarbeitet. Und wir wissen nicht, wie viele Tiere die Idee von nichts als Quantität begreifen können.

Aber was uns die Mathematik klar gezeigt hat, ist, dass wir, wenn wir nichts untersuchen, etwas finden müssen.