tulpina este o măsură a deformării reprezentând deplasarea dintre particulele din corp în raport cu o lungime de referință.
o deformare generală a unui corp poate fi exprimată sub forma x = F(X) unde X este poziția de referință a punctelor materiale din corp. O astfel de măsură nu face distincția între mișcările rigide ale corpului (traduceri și rotații) și modificările formei (și dimensiunii) corpului. O deformare are unități de lungime.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Prin urmare, tulpinile sunt adimensionale și sunt de obicei exprimate ca o fracție zecimală, un procent sau în părți-pe notație. Tulpinile măsoară cât de mult o anumită deformare diferă local de o deformare a corpului rigid.
o tulpină este, în general, o cantitate de tensor. O perspectivă fizică asupra tulpinilor poate fi obținută observând că o anumită tulpină poate fi descompusă în componente normale și de forfecare. Cantitatea de întindere sau compresie de-a lungul elementelor sau fibrelor liniei materiale este tulpina normală, iar cantitatea de distorsiune asociată cu alunecarea straturilor plane una peste cealaltă este tulpina de forfecare, într-un corp deformant. Acest lucru ar putea fi aplicat prin alungire, scurtare sau modificări de volum sau distorsiuni unghiulare.
starea tulpinii la un punct material al unui corp continuum este definită ca totalitatea tuturor modificărilor de lungime ale liniilor sau fibrelor materiale, tulpina normală, care trec prin acel punct și, de asemenea, totalitatea tuturor modificărilor unghiului dintre perechi de linii inițial perpendiculare între ele, tulpina de forfecare, care radiază din acest punct. Cu toate acestea, este suficient să cunoaștem componentele normale și de forfecare ale tensiunii pe un set de trei direcții reciproc perpendiculare.
dacă există o creștere a lungimii liniei de material, tulpina normală se numește tulpină de tracțiune, altfel, dacă există o reducere sau compresie în lungimea liniei de material, se numește tulpină de compresiune.
măsurarea Tulpiniiedit
în funcție de cantitatea de tulpină sau deformare locală, analiza deformării este împărțită în trei teorii de deformare:
- teoria tulpinilor Finite, numită și teoria tulpinilor mari, teoria deformării mari, se ocupă de deformări în care atât rotațiile, cât și tulpinile sunt arbitrar de mari. În acest caz, configurațiile nedeformate și deformate ale continuumului sunt semnificativ diferite și trebuie făcută o distincție clară între ele. Acesta este în mod obișnuit cazul elastomerilor, materialelor care deformează plastic și altor fluide și țesuturilor moi biologice.
- teoria tulpinii infinitezimale, numită și teoria tulpinii mici, teoria deformării mici, teoria deplasării mici sau teoria gradientului de deplasare mică, unde tulpinile și rotațiile sunt ambele mici. În acest caz, configurațiile nedeformate și deformate ale corpului pot fi presupuse identice. Teoria tulpinii infinitezimale este utilizată în analiza deformărilor materialelor care prezintă un comportament elastic, cum ar fi materialele găsite în aplicații mecanice și de Inginerie Civilă, de ex.beton și oțel.
- teoria deplasării mari sau a rotației mari, care presupune tulpini mici, dar rotații și deplasări mari.
în fiecare dintre aceste teorii tulpina este apoi definită diferit. Tulpina de inginerie este cea mai comună definiție aplicată materialelor utilizate în ingineria mecanică și structurală, care sunt supuse unor deformări foarte mici. Pe de altă parte, pentru unele materiale, de exemplu elastomeri și polimeri, supuse unor deformări mari, definiția tehnică a tulpinii nu este aplicabilă, de exemplu tulpini tipice de inginerie mai mari de 1%, astfel sunt necesare alte definiții mai complexe ale tulpinii, cum ar fi întinderea, tulpina logaritmică, tulpina verde și tulpina Almansi.
tulpina inginerească
tulpina Cauchy sau tulpina inginerească este exprimată ca raportul dintre deformarea totală și dimensiunea inițială a corpului material în care sunt aplicate forțele. Tulpina normală de inginerie sau tulpina extensională de inginerie sau tulpina nominală e a unui element de linie de material sau a unei fibre încărcate axial este exprimată ca modificarea lungimii OQULTL pe unitate a lungimii inițiale L a elementului de linie sau a fibrelor. Tulpina normală este pozitivă dacă fibrele materiale sunt întinse și negative dacă sunt comprimate. Astfel, avem
E = L − L L = L-L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}
unde e este tulpina normală de inginerie, L este lungimea inițială a fibrei și l este lungimea finală a fibrei. Măsurile de tulpină sunt adesea exprimate în părți pe milion sau microstrain.
tulpina de forfecare adevărată este definită ca schimbarea unghiului (în radiani) între două elemente de linie de material inițial perpendiculare între ele în configurația nedeformată sau inițială. Tulpina de forfecare inginerească este definită ca tangenta acelui unghi și este egală cu lungimea deformării la maxim împărțită la lungimea perpendiculară în planul aplicării forței, ceea ce uneori facilitează calcularea.
raportul de întindere
raportul de întindere sau raportul de extensie este o măsură a tensiunii extensionale sau normale a unui element de linie diferențială, care poate fi definit fie la configurația nedeformată, fie la configurația deformată. Este definit ca raportul dintre lungimea finală l și lungimea inițială L a liniei de material.
L = L L {\displaystyle \ \lambda ={\frac {l}{l}}}
raportul de extensie este aproximativ legat de tulpina de inginerie de
e = L − L L = 1 {\displaystyle \ e = {\frac {l-L}{L}} = \ lambda -1}
această ecuație implică faptul că tulpina normală este zero, astfel încât nu există deformare atunci când întinderea este egală cu unitatea.
raportul de întindere este utilizat în analiza materialelor care prezintă deformări mari, cum ar fi elastomerii, care pot susține rapoarte de întindere de 3 sau 4 înainte de a eșua. Pe de altă parte, materialele tradiționale de inginerie, cum ar fi betonul sau oțelul, nu reușesc la raporturi de întindere mult mai mici.
true strainEdit
tulpina logaritmică, numită și tulpina adevărată sau tulpina Hencky. Luând în considerare o tulpină incrementală (Ludwik)
(l) (l) {\displaystyle \ \ Delta \varepsilon = {\frac {\Delta L} {l}}}
tulpina logaritmică se obține prin integrarea acestei tulpini incrementale:
∫ δ ε = ∫ L L δ l l ε = ln ( l l ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aliniat}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\in \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aliniate}}}
unde e este tulpina de inginerie. Tulpina logaritmică asigură măsurarea corectă a tulpinii finale atunci când deformarea are loc într-o serie de trepte, ținând cont de influența căii de tulpină.
tulpina Verdeedit
tulpina verde este definită ca:
G = 1 2 ( L 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( L 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{g} = {\tfrac {1}{2}} \ stânga ({\frac {l^{2} – L^{2}}{L ^ {2}}}\dreapta)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
tulpina Euler-Almansi este definită ca
e = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{e}={\tfrac {1}{2}}\stânga({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\dreapta)={\tfrac {1}{2}}\stânga(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\dreapta)}
tensiune normală și forfecarămodificare
tulpinile sunt clasificate fie ca normale, fie ca forfecare. O tulpină normală este perpendiculară pe fața unui element, iar o tulpină de forfecare este paralelă cu acesta. Aceste definiții sunt în concordanță cu cele ale stresului normal și ale stresului de forfecare.
tensiune Normalăedit
pentru un material izotrop care se supune legii lui Hooke, un stres normal va provoca o tensiune normală. Tulpinile normale produc dilatații.
luați în considerare un element material bidimensional, infinitezimal, dreptunghiular, cu dimensiunile DX dy, care, după deformare, ia forma unui romb. Deformarea este descrisă de câmpul de deplasare u. Din geometria adiacente figura avem
l e n g t h ( B ) = d x {\displaystyle \mathrm {lungime} (AB)=dx\,}
și
l e n g t h ( b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aliniat}\mathrm {lungime} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\parțială x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\dreapta)^{2}}}\\&={\sqrt {DX^{2} \ stânga (1 + {\frac {\parțial u_{x}} {\parțial x}} \ dreapta)^{2} + dx^{2} \ stânga ({\frac {\parțial u_{y}} {\parțial x}} \ dreapta)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\stânga (1 + {\frac {\parțială u_{x}} {\parțială x}} \ dreapta)^{2}+\stânga ({\frac {\parțială u_{y}} {\parțială x}} \ dreapta)^{2}}}\\&\aproximativ dx \ stânga (1 + {\frac {\parțial u_{x}} {\parțial x}} \ dreapta) \ sfârșit{aliniat}}\,\!}
pentru gradienți de deplasare foarte mici pătratul derivatei lui u y {\displaystyle u_{y}}
sunt neglijabile și avem l e N g T h ( a b) x x x x x x x x x x x {\displaystyle \mathrm {lungime} (ab)\aprox dx + {\frac {\parțial u_{x}}{\parțial x}}dx}
tulpina normală în direcția X a elementului dreptunghiular este definită de
x = extensie lungimea inițială = l e n g t h ( A B)-L E N G T H ( A B) L E N G T H (A B) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extensia}}{\text{lungimea inițială}}}={\frac {\mathrm {lungime} (ab)-\mathrm {lungime} (AB)}{\mathrm {lungime} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\parțială x}}}
în mod Similar, normal tulpina în y și z-direcții devine
ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\parțial y}}\quad, \ qquad \ varepsilon _ {z}={\frac {\parțial u_{z}} {\parțial z}}\,\!}
tulpina de forfecare
(XL) sau (XL)
1, sau radian
alte cantități
OLX = OLX/g
tulpina de forfecare mecanică (yxy) este definită ca modificarea unghiului dintre liniile AC și AB. Prin urmare,
γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}
Din geometria din figura, avem
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{aliniat}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\parțială u_{y}}{\parțială x}}dx}{dx+{\tfrac {\parțială u_{x}}{\parțială x}}dx}}={\frac {\tfrac {\parțială u_{y}}{\parțială x}}{1+{\tfrac {\parțială u_{x}}{\parțială x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\parțială u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\parțială u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\parțial u_{x}} {\parțial y}}{1 + {\tfrac {\parțial u_{y}} {\parțial y}}} \ sfârșit {aliniat}}}
pentru gradienți de deplasare mică avem
u x x x 1; x x 1; x 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}\ll 1}
pentru rotații mici, adică. Prin urmare,
x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x}}}
astfel
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\parțială x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\parțială y}}\,\!}
schimbând x și y și ux și uy, se poate arăta că yxy = yyx.
în mod Similar, pentru yz – și xz-avioane, ne-am
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\parțială x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
componentele tulpinii de forfecare tensoriale ale tensorului de tulpină infinitezimală pot fi apoi exprimate folosind definiția tulpinii inginerești, la fel de
_ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}} = \ left = \left\,\!}
tensorEdit Metric
un câmp de tulpină asociat cu o deplasare este definit, în orice punct, de modificarea lungimii vectorilor tangenți reprezentând vitezele curbelor parametrizate arbitrar care trec prin acel punct. Un rezultat geometric de bază, datorat lui Fr Inktotchet, von Neumann și Jordan, afirmă că, dacă lungimile vectorilor tangenți îndeplinesc axiomele unei norme și Legea paralelogramului, atunci lungimea unui vector este rădăcina pătrată a valorii formei pătratice asociată, prin formula de polarizare, cu o hartă biliniară definită pozitiv numită tensor metric.