Die Dehnung ist ein Maß für die Verformung, das die Verschiebung zwischen Partikeln im Körper relativ zu einer Referenzlänge darstellt.
Eine allgemeine Verformung eines Körpers kann in der Form x = F(X) ausgedrückt werden, wobei X die Referenzposition von Materialpunkten im Körper ist. Eine solche Maßnahme unterscheidet nicht zwischen starren Körperbewegungen (Translationen und Rotationen) und Veränderungen der Form (und Größe) des Körpers. Eine Verformung hat Längeneinheiten.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}‘-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Daher sind Dehnungen dimensionslos und werden normalerweise als Dezimalbruch, Prozentsatz oder in Parts-per-Notation ausgedrückt. Dehnungen messen, wie stark sich eine gegebene Verformung lokal von einer Starrkörperverformung unterscheidet.
Eine Dehnung ist im Allgemeinen eine Tensorgröße. Physikalische Einblicke in Stämme können gewonnen werden, indem beobachtet wird, dass ein bestimmter Stamm in normale und Scherkomponenten zerlegt werden kann. Der Betrag der Dehnung oder Kompression entlang von Materiallinienelementen oder Fasern ist die normale Dehnung, und der Betrag der Verzerrung, der mit dem Gleiten von ebenen Schichten übereinander verbunden ist, ist die Scherdehnung innerhalb eines sich verformenden Körpers. Dies kann durch Dehnung, Verkürzung oder Volumenänderungen oder Winkelverzerrung erfolgen.
Der Dehnungszustand an einem Materialpunkt eines Kontinuumskörpers ist definiert als die Gesamtheit aller Längenänderungen von Materiallinien oder Fasern, der Normaldehnung, die diesen Punkt passieren, und auch die Gesamtheit aller Änderungen des Winkels zwischen anfänglich senkrecht zueinander stehenden Linienpaaren, der von diesem Punkt ausgehenden Scherdehnung. Es ist jedoch ausreichend, die Normalen- und Scherkomponenten der Dehnung in einem Satz von drei zueinander senkrechten Richtungen zu kennen.
Wenn die Länge der Materiallinie zunimmt, wird die normale Dehnung als Zugdehnung bezeichnet.
Dehnungsmessungenbearbeiten
Abhängig von der Höhe der Dehnung oder der lokalen Verformung wird die Analyse der Verformung in drei Verformungstheorien unterteilt:
- Die endliche Dehnungstheorie, auch große Dehnungstheorie, große Verformungstheorie genannt, befasst sich mit Verformungen, bei denen sowohl Rotationen als auch Dehnungen beliebig groß sind. In diesem Fall sind die unverformten und deformierten Konfigurationen des Kontinuums signifikant unterschiedlich und es muss klar zwischen ihnen unterschieden werden. Dies ist üblicherweise bei Elastomeren, plastisch verformbaren Materialien und anderen Flüssigkeiten und biologischem Weichgewebe der Fall.
- Infinitesimale Dehnungstheorie, auch kleine Dehnungstheorie, kleine Verformungstheorie, kleine Verschiebungstheorie oder kleine Verschiebungsgradiententheorie genannt, bei der Dehnungen und Rotationen beide klein sind. In diesem Fall können die unverformten und verformten Konfigurationen des Körpers identisch angenommen werden. Die infinitesimale Dehnungstheorie wird bei der Analyse von Verformungen von Materialien verwendet, die elastisches Verhalten aufweisen, wie z. B. Materialien aus dem Maschinenbau und dem Tiefbau, z. B. Beton und Stahl.
- Großverdrängungs- oder Großrotationstheorie, die kleine Dehnungen, aber große Rotationen und Verschiebungen annimmt.
In jeder dieser Theorien wird der Stamm dann anders definiert. Die technische Belastung ist die gebräuchlichste Definition für Materialien, die im Maschinenbau und im Bauwesen verwendet werden und sehr geringen Verformungen ausgesetzt sind. Auf der anderen Seite ist für einige Materialien, z. B. Elastomere und Polymere, die großen Verformungen ausgesetzt sind, die technische Definition der Dehnung nicht anwendbar, z. B. typische technische Dehnungen von mehr als 1%, daher sind andere komplexere Definitionen der Dehnung erforderlich, wie Dehnung, logarithmische Dehnung, grüne Dehnung und Almansi-Dehnung.
Technische Spannungbearbeiten
Die Cauchy-Dehnung oder technische Dehnung wird als das Verhältnis der Gesamtverformung zur Anfangsabmessung des Materialkörpers ausgedrückt, in den die Kräfte einwirken. Die konstruktive Normaldehnung oder konstruktive Dehndehnung oder Nenndehnung e eines axial belasteten Materialleitungselements oder einer Faser wird als Längenänderung ΔL pro Einheit der ursprünglichen Länge L des Leitungselements oder der Fasern ausgedrückt. Die normale Dehnung ist positiv, wenn die Materialfasern gedehnt werden, und negativ, wenn sie komprimiert werden. Wir haben also
e = Δ L L = l − L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}
dabei ist e die technische Normaldehnung, L die ursprüngliche Länge der Faser und l die endgültige Länge der Faser. Dehnungsmaße werden oft in Teilen pro Million oder Mikroverspannungen ausgedrückt.
Die wahre Scherdehnung ist definiert als die Änderung des Winkels (im Bogenmaß) zwischen zwei anfänglich senkrecht zueinander stehenden Materiallinienelementen in der unverformten oder ursprünglichen Konfiguration. Die technische Scherdehnung ist definiert als die Tangente dieses Winkels und ist gleich der Länge der Verformung an ihrem Maximum geteilt durch die senkrechte Länge in der Ebene der Krafteinwirkung, die manchmal die Berechnung erleichtert.
Dehnungsverhältnis
Das Dehnungsverhältnis oder Dehnungsverhältnis ist ein Maß für die Dehnungs- oder Normaldehnung eines Differentialleitungselements, das entweder an der unverformten Konfiguration oder an der deformierten Konfiguration definiert werden kann. Sie ist definiert als das Verhältnis zwischen der Endlänge l und der Anfangslänge L der Materiallinie.
λ = l L {\displaystyle \ \lambda ={\frac {l}{L}}}
Das Ausdehnungsverhältnis ist näherungsweise mit der technischen Dehnung um
e = l – L L = λ – 1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1}
Diese Gleichung impliziert, dass die normale Dehnung Null ist, so dass es keine Verformung gibt, wenn die Dehnung gleich Eins ist.
Das Dehnungsverhältnis wird bei der Analyse von Materialien verwendet, die große Verformungen aufweisen, wie z. B. Elastomere, die Dehnungsverhältnisse von 3 oder 4 aufrechterhalten können, bevor sie versagen. Auf der anderen Seite versagen traditionelle technische Materialien wie Beton oder Stahl bei viel niedrigeren Dehnungsverhältnissen.
True strainEdit
Der logarithmische Stamm ε, auch True Strain oder Hencky Strain genannt. Unter Berücksichtigung einer inkrementellen Dehnung (Ludwik)
δ ε = δ l l {\displaystyle \ \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}
die logarithmische Dehnung wird durch Integration dieser inkrementellen Dehnung erhalten:
∫ δ ε = ∫ L l δ l l ε = ln ( l L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\neq I \\\end{aligned}}}
wobei e die technische Belastung ist. Die logarithmische Dehnung liefert das richtige Maß für die Enddehnung, wenn die Verformung in einer Reihe von Inkrementen unter Berücksichtigung des Einflusses des Dehnungsweges erfolgt.
Green strainbearbeiten
Die grüne Dehnung ist definiert als:
ε G = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\links({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\rechts)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Der Euler-Almansi−Stamm ist definiert als
ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 – 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2 }}\links(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\rechts)}
Normal- und Scherspannungbearbeiten
Stämme werden entweder als normal oder Scher klassifiziert. Eine normale Dehnung ist senkrecht zur Fläche eines Elements und eine Scherdehnung ist parallel dazu. Diese Definitionen stimmen mit denen von Normalspannung und Scherspannung überein.
Normale Spannungbearbeiten
Für ein isotropes Material, das Hookes Gesetz gehorcht, verursacht eine normale Spannung eine normale Belastung. Normale Stämme erzeugen Dilatationen.
Betrachten Sie ein zweidimensionales, infinitesimales, rechteckiges Materialelement mit den Abmessungen dx × dy, das nach der Verformung die Form einer Raute annimmt. Die Verformung wird durch das Verschiebefeld u beschrieben. Aus der geometrie der nebenstehenden Abbildung haben wir
> l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {Länge} (AB)=dx\,}
und
> l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Länge} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\rechts)^{2}}}\\&={\ sqrt {dx^{2}\links(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\rechts)^{2}+dx^{2}\links({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\rechts)^{2}}}\\&= dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\rechts)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\rechts)^{2}}}\\&\ ungefähr dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}
Für sehr kleine Verschiebungsgradienten ist das Quadrat der Ableitung von u y {\displaystyle u_{y}}
sind vernachlässigbar und wir haben l e n g t h ( ab) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {Länge} (ab)\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
Die Normaldehnung in x-Richtung des Rechteckelements ist definiert durch
ε x = Ausdehnung ursprüngliche Länge = l e n g t h ( a b ) − l e n g t h ( A B ) l e n g t h ( A B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{Erweiterung}}{\text{ursprüngliche Länge}}}={\frac {\mathrm {Länge} (ab)-\mathrm {Länge} (AB)}{\mathrm {Länge} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
In ähnlicher Weise wird die normale Dehnung in y- und z-Richtung
ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac{\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}
Scherspannungbearbeiten
γ oder ε
1 oder Bogenmaß
andere Größen
γ = τ/ G
Die technische Scherdehnung (yxy) ist definiert als die Winkeländerung zwischen den Linien AC und AB. Daher
γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}
Aus der geometrie der Figur, haben wir
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\Ende{ausgerichtet}}}
Für kleine Verschiebungsgradienten haben wir
∂ u x ∂ x ≪ 1 ; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partielles u_{x}}{\partielles x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partielles u_{y}}{\partielles y}}\ll 1}
Für kleine Rotationen, d.h. α und β sind ≪ 1, haben wir tan α ≈ α, tan β ≈ β. Daher
α ≈ ∂ u y ∂ x ; β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \alpha \ungefähr {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \ungefähr {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}}
also
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
Durch Vertauschen von x und y und ux und uy kann gezeigt werden, dass yxy = yyx .
Ebenso für die yz – und xz-Ebenen, haben wir
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
Die tensoriellen Scherdehnungskomponenten des infinitesimalen Dehnungstensors können dann mit der technischen Dehnungsdefinition γ ausgedrückt werden als
ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left=\left\,\!}
Metric tensorEdit
Ein mit einer Verschiebung verbundenes Dehnungsfeld wird an jedem Punkt durch die Längenänderung der Tangentenvektoren definiert, die die Geschwindigkeiten willkürlich parametrisierter Kurven darstellen, die durch diesen Punkt verlaufen. Ein geometrisches Grundergebnis von Fréchet, von Neumann und Jordan besagt, dass, wenn die Längen der Tangentenvektoren die Axiome einer Norm und des Parallelogrammgesetzes erfüllen, die Länge eines Vektors die Quadratwurzel des Wertes der quadratischen Form ist, die durch die Polarisationsformel mit einer positiv bestimmten bilinearen Karte verbunden ist, die als metrischer Tensor bezeichnet wird.