odkształcenie jest miarą odkształcenia reprezentującą przemieszczenie między cząstkami w ciele względem długości odniesienia .
ogólne odkształcenie ciała można wyrazić w postaci x = F (X), gdzie X jest pozycją odniesienia punktów materialnych w ciele. Taka miara nie rozróżnia sztywnych ruchów ciała (przekładów i obrotów) od zmian kształtu (i wielkości) ciała. Deformacja ma jednostki długości.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Stąd szczepy są bezwymiarowe i są zwykle wyrażane jako ułamek dziesiętny, procent lub w częściach-na notację. Odkształcenia mierzą, ile dana deformacja różni się lokalnie od deformacji ciała sztywnego.
szczep jest na ogół wielkością tensorową. Fizyczny wgląd w szczepy można uzyskać obserwując, że dany szczep może zostać rozłożony na normalne i ścinające składniki. Ilość rozciągania lub ściskania wzdłuż elementów linii materiału lub włókien jest normalnym odkształceniem, a ilość zniekształceń związanych z przesuwaniem się warstw płaskich nad sobą jest odkształceniem ścinającym w ciele odkształcającym. Można to zastosować przez wydłużenie, skrócenie lub zmiany objętości lub zniekształcenie kątowe.
stan naprężenia w materialnym punkcie ciała kontinuum jest zdefiniowany jako całość wszystkich zmian długości linii lub włókien materialnych, normalne naprężenie, które przechodzi przez ten punkt, a także całość wszystkich zmian kąta między parami linii początkowo prostopadłych do siebie, naprężenie ścinające, promieniujące z tego punktu. Jednak wystarczy znać normalne i ścinające składniki naprężenia na zestaw trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach.
jeśli występuje wzrost długości linii materiału, normalne odkształcenie nazywa się odkształceniem rozciągającym, w przeciwnym razie, jeśli występuje zmniejszenie lub ściskanie długości linii materiału, nazywa się to odkształceniem ściskającym.
pomiary Odkształceniaedytuj
w zależności od wielkości odkształcenia lub lokalnego odkształcenia, analiza odkształcenia dzieli się na trzy teorie odkształcenia:
- teoria odkształceń skończonych, zwana również teorią dużych odkształceń, teoria dużych odkształceń, zajmuje się odkształceniami, w których zarówno obroty, jak i odkształcenia są arbitralnie Duże. W tym przypadku nierozformowane i zdeformowane konfiguracje kontinuum są znacząco różne i należy dokonać między nimi wyraźnego rozróżnienia. Jest to zwykle w przypadku elastomerów, plastycznie odkształcających się materiałów i innych płynów oraz biologicznych tkanek miękkich.
- Infinitezymalna teoria odkształceń, zwana także teorią małych odkształceń, teorią małych przemieszczeń lub teorią małych przemieszczeń-teoria gradientu, w której odkształcenia i rotacje są małe. W takim przypadku można założyć, że niekształcone i zdeformowane konfiguracje ciała są identyczne. Teoria odkształceń infinitezymalnych jest stosowana w analizie odkształceń materiałów wykazujących zachowanie sprężystości, takich jak materiały występujące w zastosowaniach mechanicznych i inżynierii lądowej, np. beton i stal.
- teoria dużego przemieszczenia lub dużego obrotu, która zakłada małe naprężenia, ale duże obroty i przemieszczenia.
w każdej z tych teorii odmiana jest wtedy definiowana inaczej. Odkształcenie inżynierskie jest najczęściej stosowaną definicją stosowaną do materiałów stosowanych w Inżynierii Mechanicznej i konstrukcyjnej, które są poddawane bardzo małym odkształceniom. Z drugiej strony, w przypadku niektórych materiałów, np. elastomerów i polimerów, poddanych dużym odkształceniom, nie ma zastosowania inżynierska definicja odkształcenia, np. typowe odkształcenia inżynierskie większe niż 1%, dlatego wymagane są inne bardziej złożone definicje odkształcenia, takie jak rozciąganie, odkształcenie logarytmiczne, odkształcenie zielone i odkształcenie Almansi.
engineering strainEdit
odkształcenie Cauchy ’ ego lub odkształcenie inżynierskie wyraża się jako stosunek całkowitego odkształcenia do początkowego wymiaru ciała materiałowego, w którym przyłożone są siły. Inżynierskie odkształcenie normalne lub inżynierskie odkształcenie rozciągliwe lub nominalne odkształcenie e elementu linii materiałowej lub włókna obciążonego osiowo wyraża się jako zmianę długości ΔL na jednostkę pierwotnej długości L elementu linii lub włókien. Normalne napięcie jest dodatnie, jeśli włókna materiału są rozciągnięte i ujemne, jeśli są ściskane. Tak więc mamy
e = Δ l L = l-L l {\displaystyle \ e = {\frac {\Delta L} {L}}={\frac {L-L}{L}}}
gdzie e jest inżynierskim szczepem normalnym, L jest pierwotną długością włókna, A L jest ostateczną długością włókna. Miary napięcia są często wyrażane w częściach na milion lub mikrostrunach.
prawdziwe odkształcenie ścinające definiuje się jako zmianę kąta (w radianach) między dwoma elementami linii materiału początkowo prostopadłymi do siebie w konfiguracji nierozkształconej lub początkowej. Odkształcenie ścinające jest definiowane jako styczna tego kąta i jest równe długości odkształcenia przy jego maksymalnym podziale przez prostopadłą długość w płaszczyźnie przyłożenia siły, co czasami ułatwia obliczenie.
współczynnik rozciągania
współczynnik rozciągania lub współczynnik rozciągania jest miarą rozciągania lub normalnego odkształcenia elementu linii różniczkowej, które można zdefiniować w konfiguracji niekształconej lub zdeformowanej. Jest ona zdefiniowana jako stosunek między końcową długością l a początkową długością L linii materialnej.
λ = l L {\displaystyle \ \ lambda ={\frac {l} {L}}}
współczynnik rozszerzenia jest w przybliżeniu związany ze szczepem inżynierskim o
e = l-L L = λ − 1 {\displaystyle \ e = {\frac {l-L}{L}}= \ lambda -1}
równanie to zakłada, że odkształcenie normalne jest równe zeru, więc nie ma deformacji, gdy odkształcenie jest równe jedności.
współczynnik rozciągania jest używany w analizie materiałów, które wykazują duże odkształcenia, takie jak elastomery, które mogą utrzymać współczynniki rozciągania 3 lub 4, zanim zawiodą. Z drugiej strony tradycyjne materiały inżynieryjne, takie jak beton lub stal, zawodzą przy znacznie niższych współczynnikach rozciągania.
True strainEdit
szczep logarytmiczny ε, zwany także szczep true lub szczep Hencky ’ ego. Biorąc pod uwagę szczep Przyrostowy (Ludwik)
δ ε = δ l l {\displaystyle \ \ delta \ varepsilon ={\frac {\delta l} {l}}}
szczep logarytmiczny otrzymuje się przez zintegrowanie tego szczepu przyrostowego:
∫ δ ε = ∫ δ L L L L ε =, gdzie LN ( l ) = l. ( λ ) =, gdzie LN ( 1 + e ) = e − 2 e 2 + e 3 3 − ⋯ {\właściwości wyświetlania stylu wartość \ {\zaczynają się{wyrównane}\tel \Delta \Popowa prawo zera lub jedynki &=\typu int _{L}^{L}{\фрац {\Delta L}{l}}\\\Popowa prawo zera lub jedynki &=\Pere \w lewo({\złamania {d}{d}}\prawej)=\LIĆ(\lambda )\\&=\LIĆ(1+f)\\&=e{\фрац {f^{2}}{2}}+{\фрац {F^{3}}{3}}-\cdots \\\end{wyrównane}}}
gdzie e jest szczepem inżynieryjnym. Odkształcenie logarytmiczne zapewnia prawidłową miarę końcowego odkształcenia, gdy deformacja ma miejsce w szeregu przyrostów, biorąc pod uwagę wpływ ścieżki odkształcenia.
Green strainedytuj
Green strain definiowany jest jako:
ε G = 1 2 ( L 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{g}={\tfrac {1}{2}}\left ({\frac {L^{2}-L^{2}} {L^{2}}}\right)={\tfrac{1} {2}} (\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
szczep Eulera-Almansiego jest zdefiniowany jako
ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{e}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {L^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\Left(1-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}\right)}
normalne i ścinanie strainedytuj
szczepy są klasyfikowane jako normalne lub ścinające. Normalne odkształcenie jest prostopadłe do powierzchni elementu, a odkształcenie ścinające jest równoległe do niego. Definicje te są zgodne z definicją stresu normalnego i stresu ścinającego.
normalne naprężenieedytuj
dla materiału izotropowego, który jest zgodny z prawem Hooke ’ a, normalne naprężenie spowoduje normalne naprężenie. Normalne szczepy wytwarzają dylatacje.
rozważmy dwuwymiarowy, nieskończenie prostokątny element materialny o wymiarach dx × dy, który po odkształceniu przyjmuje postać rombu. Deformację opisuje pole przemieszczenia u. Od geometrii na rysunku po prawej stronie mamy
l e u s T A N ( B ) = G X {\właściwości wyświetlania stylu wartość \mathrm {długość} (AB)=dх\,}
i
l e u s T A N ( B ) = ( G X + ∂ U X ∂ X G X w ) 2 + ( ∂ U W G ∂ X G X w ) 2 = g X 2 ( 1 + ∂ U X ∂ X ) 2 + g X 2 ( ∂ U W G ∂ x ) 2 = E x ( 1 + ∂ U X ∂ X ) 2 + ( ∂ U W G ∂ x ) 2 ≈ Dł. x ( 1 + ∂ U X ∂ X ) {\właściwości styl wyświetlania wartości {\zaczynają się{wyrównane}\mathrm {długość} (AB)&={\funkcja sqrt {\w lewo(z DX+{\фрац {\partial okazuje się, {x}}{\częściowym x}}DX\prawej)^{2}+\w lewo({\złamania {\parcjalne to{m}}{\partial x}} dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2} \ left (1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+DX^{2}\left ({\frac {\partial u_{y}} {\partial x}} \ right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left (1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left ({\frac {\partial u_{y}} {\partial x}} \ right)^{2}}}\\&\approx DX\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}
dla bardzo małych gradientów przemieszczenia kwadrat pochodnej u y {\displaystyle u_{y}}
są nieistotne i mamy L e N g t h ( A b ) ≈ D X + ∂ u x ∂ x D x {\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx DX+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
normalne odkształcenie w kierunku X elementu prostokątnego jest zdefiniowane przez
ε x = extension original length = l e n g t h ( a b)-l e n g t h ( a b ) l e n G T H ( A B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}={\frac {\partial u_{x}} {\partial x}}}
podobnie, normalny odkształcenie w kierunkach y i z staje się
ε y = ∂ u y ∂ y, ε z = ∂ U z ∂ Z {\displaystyle \varepsilon _{y} = {\frac {\partial u_{y}}{\częściowy y}}\kwadratowy, \ qquad \ varepsilon _{z}={\frakcja {\częściowy u_{z}} {\częściowy z}}\,\!}
Strain shear
γ lub ε
1 lub radian
innych ilości
γ = τ/G
inżynierski odkształcenie ścinające (yxy) definiuje się jako zmianę kąta między liniami AC i AB. Zatem
γ x y = α + β {\displaystyle \ gamma _{XY}= \ alpha + \ beta \,\!}
od geometrii obrazu, czyli
tan α = ∂ U W G ∂ X Y X Y X + ∂ U X ∂ X G X = ∂ U W G ∂ x 1 + ∂ U X ∂ X tan β = ∂ u x ∂ G D G D G + ∂ U W G ∂ G D G = ∂ U x ∂ g 1 + ∂ u w g ∂ g {\właściwości styl wyświetlania wartości {\zaczynają się{wyrównane}\tan \Alpha &={\złamania {{\tfrac {\partial okazuje się, {d}}{\częściowym x}}DX}{DX+{\tfrac {\partial okazuje się, {x}}{\częściowym x}}DX}}={\фрац {\tfrac {\partial okazuje się, {d}}{\częściowym x}}{1+{\tfrac {\partial okazuje się, {x}}{\częściowym x}}}}\\\tan \beta &={\złamania {{\tfrac {\partial okazuje się, {x}}{\częściowym g}}dy}{dy+{\tfrac {\partial okazuje się, {d}}{\częściowym g}}dy}}={\фрац {\tfrac {\partial u_{x}} {\partial y}} {1+{\tfrac {\partial u_{y}} {\partial y}}} \ end{wyrównany}}}
dla małych gradientów przemieszczenia mamy
∂ U x ∂ x ≪ 1; u u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ ll 1~;~ ~ {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}} \ ll 1}
dla małych obrotów, tj. α i β są ≪ 1 mamy tan α ≈ α, tan β ≈ β. Dlatego
α ≈ ∂ U y ∂ x; β ≈ ∂ U x ∂ y {\displaystyle \ alpha \ approx {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial x}}~;~~\beta\approx {\cfrac {\partial u_{x}} {\partial y}}}
tak więc
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \ gamma _{xy}= \ alpha +\beta = {\frac {\partial u_{y}} {\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
wymieniając x i y oraz ux i uy, można wykazać, że yxy = yyx.
podobnie, dla D i płaszczyźnie XZ, czyli
γ Y dla Z = γ h g = ∂ U w g ∂ g ∂ U i Z i ∂ g , γ H x = γ x Z = ∂ U i Z i ∂ X ∂ U X ∂ Z i {\właściwości wyświetlania stylu wartość \gamma _{d}=\gamma _{Zi}={\фрац {\partial okazuje się, {g}}{\częściowa h}}+{\фрац {\partial okazuje się, {h}}{\częściowym g}}\Quad po\qquad \gamma _{ZX w}=\gamma _{HT}={\фрац {\partial okazuje się, {h}}{\częściowym x}}+{\фрац {\partial okazuje się, {x}}{\częściowa h}}\,\!
składowe tensorialnego napięcia ścinającego tensora napięcia infinitezymalnego można następnie wyrazić za pomocą definicji odkształcenia inżynieryjnego, γ, jako
ε _ _ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left=\left\,\!}
tensor Metrycznyedytuj
pole odkształcenia związane z przesunięciem jest zdefiniowane w dowolnym punkcie przez zmianę długości wektorów stycznych reprezentujących prędkości dowolnie sparametryzowanych krzywych przechodzących przez ten punkt. Podstawowy wynik geometryczny, za sprawą Frécheta, von Neumanna i Jordana, stwierdza, że jeśli długości wektorów stycznych spełniają aksjomaty normy i prawa równoległoboku, to długość wektora jest pierwiastkiem kwadratowym z wartości postaci kwadratowej związanej, wzorem polaryzacyjnym, z dodatnią określoną mapą dwuliniową zwaną tensorem metrycznym.