stam är ett mått på deformation som representerar förskjutningen mellan partiklar i kroppen i förhållande till en referenslängd.
en allmän deformation av en kropp kan uttryckas i formen x = F (X) där X är referenspositionen för materialpunkter i kroppen. En sådan åtgärd skiljer inte mellan styva kroppsrörelser (översättningar och rotationer) och förändringar i kroppens form (och storlek). En deformation har längdenheter.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Därför är stammar dimensionslösa och uttrycks vanligtvis som en decimalfraktion, en procentandel eller i delar-per notation. Stammar mäter hur mycket en given deformation skiljer sig lokalt från en styv kroppsdeformation.
en stam är i allmänhet en tensorkvantitet. Fysisk insikt i stammar kan uppnås genom att observera att en given stam kan sönderdelas i normala och skjuvkomponenter. Mängden stretch eller kompression längs materiallinjeelement eller fibrer är den normala stammen, och mängden distorsion associerad med glidning av planskikt över varandra är skjuvstammen, inom en deformerande kropp. Detta kan appliceras genom töjning, förkortning eller volymförändringar eller vinkelförvrängning.
stamtillståndet vid en materiell punkt i en kontinuumkropp definieras som totaliteten av alla förändringar i längden på materiallinjer eller fibrer, den normala stammen, som passerar genom den punkten och även totaliteten av alla förändringar i vinkeln mellan par av linjer som initialt är vinkelräta mot varandra, skjuvstammen, som strålar från denna punkt. Det är emellertid tillräckligt att känna till de normala och skjuvkomponenterna av belastning på en uppsättning av tre ömsesidigt vinkelräta riktningar.
om det finns en ökning av längden på materiallinjen kallas den normala stammen dragstam, annars, om det finns minskning eller kompression i längden på materiallinjen kallas den tryckstam.
Strain measuresEdit
beroende på mängden stam, eller lokal deformation, är analysen av deformation indelad i tre deformationsteorier:
- finita stamteori, även kallad stor stamteori, stor deformationsteori, behandlar deformationer där både rotationer och stammar är godtyckligt stora. I detta fall är de odeformerade och deformerade konfigurationerna av kontinuumet signifikant olika och en tydlig åtskillnad måste göras mellan dem. Detta är vanligtvis fallet med elastomerer, plastiskt deformerande material och andra vätskor och biologisk mjukvävnad.
- Infinitesimal stamteori, även kallad liten stamteori, liten deformationsteori, liten förskjutningsteori eller liten förskjutningsgradientteori där stammar och rotationer båda är små. I detta fall kan de odeformerade och deformerade konfigurationerna av kroppen antas identiska. Den oändliga stamteorin används vid analys av deformationer av material som uppvisar elastiskt beteende, såsom material som finns i mekaniska och anläggningstillämpningar, t.ex. betong och stål.
- stor förskjutning eller stor rotationsteori, som antar små stammar men stora rotationer och förskjutningar.
i var och en av dessa teorier definieras sedan stammen annorlunda. Den tekniska stammen är den vanligaste definitionen som tillämpas på material som används i mekanisk och konstruktionsteknik, som utsätts för mycket små deformationer. Å andra sidan, för vissa material, t.ex. elastomerer och polymerer, som utsätts för stora deformationer, är den tekniska definitionen av stam inte tillämplig, t. ex. typiska tekniska stammar större än 1%, sålunda krävs andra mer komplexa definitioner av stam, såsom stretch, logaritmisk stam, grön stam och Almansi stam.
Engineering strainEdit
Cauchy-stammen eller teknisk stam uttrycks som förhållandet mellan total deformation och den ursprungliga dimensionen av den materiella kroppen i vilken krafterna appliceras. Engineering normal stam eller engineering extensional stam eller nominell stam e av ett materiallinjeelement eller fiber axiellt belastad uttrycks som förändringen i längd AUXIL per enhet av den ursprungliga längden L av linjeelementet eller fibrer. Den normala stammen är positiv om materialfibrerna sträcks och negativa om de komprimeras. Således har vi
e = Occupic L l = l-L l {\displaystyle \ E = {\frac {\Delta L}{L}} = {\frac {l-L}{L}}}
där e är den tekniska normala stammen, L är fiberns ursprungliga längd och l är fiberns slutliga längd. Mått på stam uttrycks ofta i delar per miljon eller mikrostrainer.
den sanna skjuvstammen definieras som förändringen i vinkeln (i radianer) mellan två materiallinjeelement som initialt är vinkelräta mot varandra i den odeformerade eller initiala konfigurationen. Den tekniska skjuvstammen definieras som tangenten för den vinkeln och är lika med längden på deformationen vid sitt maximala dividerat med den vinkelräta längden i krafttillämpningsplanet som ibland gör det lättare att beräkna.
Stretch ratioEdit
sträckningsförhållandet eller förlängningsförhållandet är ett mått på den förlängnings-eller normala spänningen hos ett differentiallinjeelement, som kan definieras antingen vid den odeformerade konfigurationen eller den deformerade konfigurationen. Det definieras som förhållandet mellan den slutliga längden l och den ursprungliga längden L av materiallinjen.
oc = l l {\displaystyle \ \ lambda ={\frac {l}{L}}}
förlängningsförhållandet är ungefär relaterat till ingenjörsstammen med
e = l-L L = 2 {\displaystyle \ E = {\frac {l-L}{L}}= \ lambda -1}
denna ekvation innebär att den normala stammen är noll, så att det inte finns någon deformation när sträckan är lika med enhet.
sträckförhållandet används vid analys av material som uppvisar stora deformationer, såsom elastomerer, som kan upprätthålla sträckförhållanden på 3 eller 4 innan de misslyckas. Å andra sidan misslyckas traditionella tekniska material, såsom betong eller stål, vid mycket lägre sträckförhållanden.
True strainEdit
den logaritmiska stammen, även kallad, true stam eller Hencky stam. Med tanke på en inkrementell stam (Ludwik)
https: / / l {\displaystyle \ \ Delta \varepsilon = {\frac {\Delta l} {l}}}
den logaritmiska stammen erhålls genom att integrera denna inkrementella stam:
∫ δ ε = ∫ L l δ l l ε = ln ( l L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{anpassas}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{linje}}}
där e är den tekniska stammen. Den logaritmiska stammen ger det korrekta måttet på den slutliga stammen när deformation sker i en serie steg, med hänsyn till påverkan av stambanan.
grön stamredigera
den gröna stammen definieras som:
IC g = 1 2 (l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 (IC 2 − 1) {\displaystyle \ \ varepsilon _{G} = {\tfrac {1}{2}} \ vänster ({\frac {L^{2} – L^{2}}{L^{2}}}\höger) = {\tfrac {1}{2}} (\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
Euler-Almansi − stammen definieras som
Czech E = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( 1-1 Czech 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{e}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {L^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\vänster(1 – {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\höger)}
Normal och skjuvning stamredigera
stammar klassificeras som antingen normal eller skjuvning. En normal stam är vinkelrätt mot elementets yta, och en skjuvstam är parallell med den. Dessa definitioner överensstämmer med de för normal stress och skjuvspänning.
Normal stamredigera
för ett isotropiskt material som följer Hookes lag kommer en normal stress att orsaka en normal belastning. Normala stammar ger dilatationer.
Tänk på ett tvådimensionellt, oändligt, rektangulärt materialelement med dimensioner DX XXL dy, som efter deformation har formen av en romb. Deformationen beskrivs av förskjutningsfältet u. Från geometrin av vidstående figur har vi
l e n g t h ( A, B ) = d x {\displaystyle \mathrm {längd} (AB)=dx\,}
och
l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 2 ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{anpassas}\mathrm {längd} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx \ höger)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2} \ vänster (1 + {\frac {\partiell u_{x}} {\partiell x}} \ höger)^{2} + dx^{2} \ vänster ({\frac {\partiell u_{y}} {\partiell x}} \ höger)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left (1 + {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ right)^{2}+\left ({\frac {\partial u_{y}} {\partial x}} \ right)^{2}}}\\&\ca dx \ left(1 + {\frac {\partial u_{x}} {\partial x}} \ right) \ end{aligned}}\,\!}
för mycket små förskjutningsgradienter kvadraten på derivatet av u y {\displaystyle u_{y}}
är försumbara och vi har L e N g t h ( a b) cu d x + cu u x cu x D x {\displaystyle \mathrm {length} (ab)\ca dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
den normala stammen i x-riktningen för det rektangulära elementet definieras av
X = förlängning originallängd = l e n g t h ( a b ) − L E n g t h ( a b ) l e n g t h ( a b ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{förlängning}}{\text{längd}}}={\frac {\mathrm {längd} (ab)-\mathrm {längd} (AB)}{\mathrm {längd} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
på samma sätt, den normala påfrestningar i y – och z-riktningarna blir
ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}} {\partiell y}} \ quad, \ qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partiell u_{z}} {\partiell z}}\,\!}
skjuvning stamredigera
1, eller radian
andra kvantiteter
https:/ / g
teknisk skjuvstam (yxy) definieras som vinkelförändringen mellan linjerna AC och AB. Därför,
γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}
Från geometrin i figuren, har vi
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{anpassas}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}} {\partial y}}{1 + {\tfrac {\partial u_{y}} {\partial y}}} \ end{aligned}}}
för små förskjutningsgradienter har vi
u x 1; 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~ ~ {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial y}} \ ll 1}
för små rotationer, dvs. Därför
u y x; u x x; u x x {\displaystyle \ alpha \ ca {\cfrac {\partial u_{y}} {\partial x}}~; ~ ~ \ beta \ ca {\cfrac {\partial u_{X}} {\partial y}}}
därmed
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
genom att byta x och y och ux och uy kan det visas att yxy = yyx.
på samma sätt, för yz – och xz-plan, vi har
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
tensorial-skjuvstamskomponenterna i den oändliga stamtensorn kan sedan uttryckas med hjälp av definitionen för teknisk stam, 0, som
2_ = = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\left=\left\,\!}
metrisk tensorEdit
ett töjningsfält associerat med en förskjutning definieras, vid vilken punkt som helst, av förändringen i längden på tangentvektorerna som representerar hastigheterna för godtyckligt parametriserade kurvor som passerar genom den punkten. Ett grundläggande geometriskt resultat, på grund av fr Jacobchet, von Neumann och Jordanien, säger att om längderna på tangentvektorerna uppfyller axiomerna för en norm och parallellogramlagen, är längden på en vektor kvadratroten av värdet av den kvadratiska formen associerad med polarisationsformeln med en positiv bestämd bilinär karta som kallas metrisk tensor.