Strain is a measure of deformation representing the displacement between particles in the body relative to a reference length.
uma deformação geral de um corpo pode ser expressa na forma x = F(X) onde X é a posição de referência dos pontos materiais no corpo. Tal medida não distingue entre movimentos rígidos do corpo (traduções e rotações) e mudanças na forma (e tamanho) do corpo. Uma deformação tem unidades de comprimento.
We could, for example, define strain to be
ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}
where I is the identity tensor.Por conseguinte, as estirpes são adimensionais e são normalmente expressas como uma fracção decimal, uma percentagem ou em partes por Notação. As estirpes medem até que ponto uma determinada deformação difere localmente de uma deformação do corpo rígido.
uma estirpe é, em geral, uma quantidade tensora. A percepção física das estirpes pode ser obtida observando que uma determinada estirpe pode ser decomposta em componentes normais e cisalhados. A quantidade de esticamento ou compressão ao longo de elementos de linha de material ou fibras é a estirpe normal, e a quantidade de distorção associada ao deslizamento de camadas planas sobre o outro é a deformação do cisalhamento, dentro de um corpo deformante. Isto pode ser aplicado por alongamento, encurtamento, ou mudanças de volume, ou distorção angular.
O estado de tensão em um ponto material, de um contínuo corpo é definido como o conjunto de todas as alterações no comprimento do material linhas ou fibras, o período normal de tensão, que passam por aquele ponto e também a totalidade de todas as alterações no ângulo entre os pares de linhas inicialmente perpendiculares um ao outro, a tensão de cisalhamento, irradiando a partir deste ponto. No entanto, é suficiente conhecer os componentes normais e transversais da tensão em um conjunto de três direções perpendiculares mutuamente.
se houver um aumento no comprimento da linha do material, a estirpe normal é chamada de tensão de tracção, caso contrário, se houver redução ou compressão no comprimento da linha do material, é chamada de tensão de compressão.
Tensão measuresEdit
Dependendo da quantidade de tensão ou deformação, a análise de deformação é subdividido em três deformação teorias:
- Finito de deformação teoria, também chamada de grande estirpe teoria, grandes deformações teoria, lida com deformações em que ambas as rotações e deformações são arbitrariamente grande. Neste caso, as configurações irreformadas e deformadas do continuum são significativamente diferentes e uma distinção clara deve ser feita entre elas. Este é comumente o caso com elastômeros, materiais plasticamente deformantes e outros fluidos e tecidos moles biológicos.
- teoria da estirpe Infinitesimal, também chamada teoria da pequena estirpe, teoria da pequena deformação, teoria do deslocamento pequeno, ou teoria do gradiente do deslocamento pequeno, onde as estirpes e rotações são ambas pequenas. Neste caso, as configurações irreformadas e deformadas do corpo podem ser assumidas idênticas. A teoria da deformação infinitesimal é usada na análise de de deformações de materiais que exibem comportamento elástico, tais como materiais encontrados em aplicações mecânicas e de engenharia civil, por exemplo concreto e aço.
- teoria do deslocamento grande ou da rotação grande, que assume pequenas estirpes, mas grandes rotações e deslocamentos.
em cada uma destas teorias, a estirpe é então definida de forma diferente. A estirpe de engenharia é a definição mais comum aplicada aos materiais utilizados na engenharia mecânica e estrutural, que são sujeitos a deformações muito pequenas. Por outro lado, para alguns materiais, por exemplo, elastómeros e polímeros, sujeitos a grandes deformações, a definição técnica de estirpe não é aplicável, por exemplo, estirpes típicas de engenharia superiores a 1%, pelo que são necessárias outras definições mais complexas de estirpe, tais como estiramento, estirpe logarítmica, estirpe verde e estirpe Almansi.
strainEdit de Engenharia
a estirpe de Cauchy ou estirpe de engenharia é expressa como a razão entre a deformação total e a dimensão inicial do corpo material em que as forças estão a ser aplicadas. A estirpe normal de engenharia ou a estirpe extensional de engenharia ou a estirpe nominal e de um elemento de linha de material ou fibra carregada axialmente é expressa como a alteração do comprimento ΔL por unidade do comprimento original L do elemento ou fibras de linha. A tensão normal é positiva se as fibras do material forem esticadas e negativas se forem comprimidas. Assim, temos
e = ∆ L L = l − L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}
onde e é a engenharia de tensão normal, L é o comprimento inicial da fibra e l é o comprimento final da fibra. As medidas de tensão são frequentemente expressas em partes por milhão ou microstrainas.
a tensão de cisalhamento verdadeiro é definida como a mudança no ângulo (em radianos) entre dois elementos de linha material inicialmente perpendiculares entre si na configuração inicial ou não formada. A tensão de cisalhamento de engenharia é definida como a tangente desse ângulo, e é igual ao comprimento de deformação em seu máximo dividido pelo comprimento perpendicular no plano de aplicação de força que às vezes torna mais fácil de calcular.
Trecho ratioEdit
O trecho a relação ou a extensão de índice é uma medida da extensional ou normal tensão de uma linha diferencial elemento, que pode ser definido no undeformed de configuração ou a configuração deformada. É definida como a relação entre o comprimento final l e o comprimento inicial L da linha do material.
λ = l L {\displaystyle \ \lambda ={\frac {l}{L}}}
A extensão proporção é de aproximadamente relacionados à engenharia de deformação por
e = l − L L = L − 1 {\displaystyle \ e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1}
Esta equação implica que a tensão normal é nula, de modo que não há nenhuma deformação, quando o trecho é igual à unidade.
a razão de esticamento é usada na análise de materiais que exibem grandes deformações, tais como elastômeros, que podem sustentar relações de esticamento de 3 ou 4 antes que falham. Por outro lado, os materiais tradicionais de engenharia, como concreto ou aço, falham em proporções de estrias muito mais baixas.
strainEdit verdadeiro
a estirpe logarítmica ε, também chamada, estirpe verdadeira ou estirpe Hencky. Considerando incremental de deformação (Ludwik)
∆ ε = ∆ l l {\displaystyle \ \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}
o logarítmica tensão é obtida através da integração de aumento desta tensão:
∫ δ ε = ∫ L l ∆ l ε = ln ( l L ) = ln ( λ ) = ln ( 1 + e ) = e − e 2 2 + e 3 3 − ⋯ {\displaystyle \ {\begin{alinhado}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{alinhado}}}
onde está a estirpe de engenharia? A estirpe logarítmica fornece a medida correcta da estirpe final quando a deformação ocorre numa série de incrementos, tendo em conta a influência do percurso da estirpe.
strainEdit Verde
a estirpe verde é definida como:
ε G = 1 2 ( l 2 − L 2 L 2 ) = 1 2 ( λ 2 − 1 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}
Almansi strainEdit
O de Euler-Almansi de deformação é definida como
ε E = 1 2 ( l 2 − L 2 l 2 ) = 1 2 ( 1 − 1 λ 2 ) {\displaystyle \ \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}
Normal e de cisalhamento strainEdit
as estirpes são classificadas como normais ou cisalhadas. Uma tensão normal é perpendicular à face de um elemento, e uma tensão de cisalhamento é paralela a ele. Estas definições são consistentes com as do stress normal e do esforço transverso.
strainEdit Normal
para um material isotrópico que obedece à Lei de Hooke, uma tensão normal causará uma estirpe normal. As estirpes normais produzem dilações.
considere um elemento material bidimensional, infinitesimal, rectangular com dimensões dx × dy, que, após deformação, assume a forma de um losango. A deformação é descrita pelo campo de deslocamento U. A partir da geometria da figura ao lado, temos
l e n g t h ( A B ) = d x {\displaystyle \mathrm {comprimento} (AB)=dx\,}
e
l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d 2 x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + d x 2 ( ∂ u y ∂ x ) 2 = d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 ≈ d x ( 1 + ∂ u x ∂ x ) {\displaystyle {\begin{alinhado}\mathrm {comprimento} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\cerca de dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{alinhado}}\,\!}
Por muito pequeno deslocamento gradientes praça da derivada de y u {\displaystyle u_{y}}
são desprezíveis e temos l e n g t h ( b ) ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x {\displaystyle \mathrm {comprimento} (ab)\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}
A tensão normal na direção x do elemento retangular é definida por
ε x = extensão original comprimento = l e n g t h ( b ) − l e n g t h ( B ) l e n g t h ( B ) = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extensão}}{\text{comprimento original}}}={\frac {\mathrm {comprimento} (ab)-\mathrm {comprimento} (AB)}{\mathrm {comprimento} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}
da mesma forma, normal tensão em y – e z-direções torna-se
ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}
Cisalhamento strainEdit
γ ou ε
1, ou radian
outras quantidades
γ = τ/G
engenharia de cisalhamento tensão (yxy) é definido como a variação no ângulo entre as linhas AC e AB. Portanto,
γ x y = α + β {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}
a Partir da geometria da figura, temos
tan α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x tan β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle {\begin{alinhado}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{alinhado}}}
Para pequenos deslocamentos gradientes temos
∂ u x ∂ x ≪ 1 ; ∂ u y ∂ y ≪ 1 {\displaystyle {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\cfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}
Para pequenas rotações, i.e. α e β são ≪ 1, temos tan α ≈ α, tan β ≈ β. Portanto,
α ≈ ∂ u y ∂ x ; β ≈ ∂ u x ∂ y {\displaystyle \alpha \approx {\cfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\cfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}}
assim,
γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y {\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}
por Intercâmbio x e y e ux e uy, pode ser demonstrado que yxy = yyx.
da mesma forma, para a yz e xz-aviões, temos
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}
os Componentes da estirpe tensorial do tensor da estirpe infinitesimal podem então ser expressos usando a definição da estirpe de engenharia, γ, como
ε _ _ = {\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}}}}}}} = \esquerda=\esquerda\,\!}
Métrica tensorEdit
Uma cepa de campo associado a um deslocamento é definido, em qualquer ponto, pela mudança no comprimento da tangente vetores que representam as velocidades arbitrariamente curvas parametrizadas passando por esse ponto. Um geométricas básicas resultado, devido a Fréchet, von Neumann e a Jordânia, afirma que, se os comprimentos dos vetores de tangente satisfazem os axiomas de uma norma e a lei do paralelogramo, então o comprimento de um vetor é a raiz quadrada do valor da forma quadrática associada, pela polarização fórmula, com um positivo definitiva bilinear mapa chamado tensor mī etrico.