(n. Finnöy, una isla cerca de Stavanger, Noruega, 5 de agosto de 1802; m.Froland, Noruega, 6 de abril de 1829)
matemáticas.
El padre de Abel, Sören Georg Abel, era un ministro luterano y él mismo era hijo de un ministro. Era un talentoso y muy ambicioso teólogo, educado en la Universidad de Copenhague, que en ese momento era la única institución en el reino unido de Dinamarca-Noruega. Se había casado con Ane Marie Simonson, hija de un rico comerciante y armador en la ciudad de Risör, en la costa sur. Finnöy fue la primera parroquia del pastor Abel; era pequeña y laboriosa, abarcando varias islas. La pareja tuvo siete hijos, seis hijos y una hija; Niels Henrik fue su segundo hijo.
En 1804 Sören Georg Abel fue nombrado sucesor de su padre en la parroquia de Gjerstad, cerca de Risör. La situación política en Noruega era tensa. Debido a su alianza con Dinamarca, el país había sido arrojado a las Guerras Napoleónicas del lado de Francia, y un bloqueo británico de la costa creó una hambruna generalizada. El pastor Abel fue prominente en el movimiento nacionalista, trabajando para la creación de instituciones noruegas separadas, en particular una universidad y un banco nacional, si no para la independencia absoluta. Al concluir el tratado de paz de Kiel, Dinamarca cedió Noruega a Suecia. Los noruegos se rebelaron y escribieron su propia constitución, pero después de una breve e inútil guerra contra los suecos bajo Bernadotte, se vieron obligados a buscar un armisticio. Una unión con Suecia fue aceptada, y el padre de Abel se convirtió en uno de los miembros del extraordinario Storting llamado en el otoño de 1814 para escribir la revisión necesaria de la nueva constitución.
Niels Henrik Abel y sus hermanos recibieron su primera instrucción de su padre, pero en 1815 Abel y su hermano mayor fueron enviados a la Escuela de la Catedral en Christiania (Oslo). Esta era una vieja escuela a la que muchos funcionarios públicos de la provincia enviaban a sus hijos; algunas becas estaban disponibles. La Escuela de la Catedral había sido excelente, pero estaba en un bajo reflujo, porque la mayoría de sus buenos maestros habían aceptado puestos en la nueva universidad, que comenzó la instrucción en 1813.
Abel tenía solo trece años cuando salió de casa, y parece probable que el deterioro de la vida familiar acelerara su partida. Durante el primer par de años, sus notas solo fueron satisfactorias; luego, la calidad de su trabajo disminuyó. A su hermano le fue aún peor; comenzó a mostrar signos de enfermedad mental y finalmente tuvo que ser enviado a casa.
En 1817 tuvo lugar un evento en la escuela que estaba destinado a cambiar la vida de Abel. El profesor de matemáticas maltrató a uno de los alumnos, que murió poco después, posiblemente como consecuencia del castigo. El maestro fue despedido sumariamente y su lugar fue ocupado por Bernt Michael Holmboe, que era solo siete años mayor que Abel. Holmboe también se desempeñó como asistente de Christoffer Hansteen, profesor de astronomía y científico líder de la universidad.
No le tomó mucho tiempo a Holmboe descubrir la extraordinaria habilidad del joven Abel en matemáticas. Comenzó dándole problemas especiales y recomendando libros fuera del plan de estudios de la escuela. Los dos comenzaron a estudiar juntos los textos de cálculo de Euler, y más tarde los trabajos de los matemáticos franceses, en particular Lagrange y Laplace. Tan rápido fue el progreso de Abel que pronto se convirtió en el verdadero maestro. De los cuadernos conservados en la biblioteca de la Universidad de Oslo se ve que incluso en estos primeros días ya estaba particularmente interesado en la teoría de ecuaciones algebraicas. En el momento en que terminó la escuela, estaba familiarizado con la mayor parte de la literatura matemática importante. Holmboe estaba tan encantado por el genio matemático que había descubierto que el rector de la escuela le hizo moderar sus declaraciones sobre Abel en el libro de registros. Pero los profesores de la universidad estaban bien informados por Holmboe sobre el joven prometedor y se conocieron personalmente. Además de Hansteen, que también enseñó matemáticas aplicadas, solo había un profesor de matemáticas. Sören Rasmussen, antiguo profesor de la Escuela de la Catedral. Rasmussen, un hombre amable, no era un erudito productivo; su tiempo fue ocupado en gran medida por las tareas que le asignó el gobierno, particularmente en su puesto como administrador del nuevo Banco de Noruega.
Durante su último año en la escuela, Abel, con el vigor y la inmodestia de la juventud, atacó el problema de la solución de la ecuación quintica. Este problema había estado pendiente desde los días de del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari en la primera mitad del siglo XVI. Abel creía que había tenido éxito en encontrar la forma de la solución, pero en Noruega no había nadie capaz de entender sus argumentos, ni había ninguna revista científica en la que pudieran publicarse. Hansteen envió el documento al matemático danés Ferdinand Degen, solicitando su publicación por la Academia Danesa.
Degen no pudo descubrir ninguna falla en los argumentos, pero pidió que Abel ilustrara su método con un ejemplo. Degen también encontró el tema algo estéril y sugirió que Abel volviera su atención a un tema » cuyo desarrollo tendría las mayores consecuencias para el análisis y la mecánica. Me refiero a los trascendentales elípticos . Un investigador serio con las calificaciones adecuadas para la investigación de este tipo no se limitaría de ninguna manera a las muchas propiedades hermosas de estas funciones más notables, sino que podría descubrir un Estrecho de Magallanes que conduce a amplias extensiones de un tremendo océano analítico» (carta a Hansteen).
Abel comenzó a construir sus ejemplos para la solución de la ecuación de quinto grado, pero descubrió para su consternación que su método no era correcto. También siguió la sugerencia de Degen sobre las trascendentales elípticas, y es probable que en un par de años hubiera completado su teoría de las funciones elípticas.
En 1818, el pastor Abel fue reelegido al Storting, después de una oferta fallida en 1816. Pero su carrera política terminó en tragedia. Formuló cargos violentos infundados contra otros representantes y fue amenazado con un juicio político. Esto, junto con su embriaguez, lo convirtió en el blanco de la prensa. Regresó a casa en desgracia, un hombre desilusionado. Tanto él como su esposa sufrían de alcoholismo, y las condiciones en la vicaría y en la parroquia se volvieron escandalosas. Se consideró generalmente un alivio cuando murió en 1820. Su viuda quedó en circunstancias muy difíciles, con una pequeña pensión apenas suficiente para mantenerla a ella y a sus muchos hijos.
El pobre Abel entró en la universidad en el otoño de 1821. Se le concedió una habitación gratuita en el dormitorio de la universidad y recibió permiso para compartirla con su hermano menor Peder. Pero la nueva institución no tenía fondos de becas, y algunos de los profesores tomaron la medida inusual de apoyar al joven matemático con sus propios salarios. Era un huésped en sus casas y se sintió particularmente atraído por la casa Hansteen, y por la señora Hansteen y sus hermanas.
La primera tarea de Abel en la universidad fue satisfacer los requisitos para el grado preliminar, Candidatus Philosophiae. Una vez que esto se logró, después de un año, Abel estaba completamente solo en sus estudios. No había cursos avanzados en matemáticas y ciencias físicas, pero esto no parece haber sido una desventaja; en una carta de París, un poco más tarde, declaró que había leído prácticamente todo en matemáticas, importante o sin importancia.
Dedicó su tiempo a la investigación avanzada y sus esfuerzos recibieron un fuerte impulso cuando Hansteen comenzó una revista científica para Naturvidenskaben. En 1823 esta revista publicó el primer artículo de Abel, en noruego, a study of functional equations. Matemáticamente no era importante. ni tampoco su segundo papelito. Sin embargo, a los suscriptores de la revista se les había prometido una revisión popular, y Hansteen, probablemente después de las críticas, se sintió obligado a disculparse por el carácter de estos artículos: «Por lo tanto, creo que la Revista, además de los materiales científicos, también debería promover las herramientas que sirven para su análisis. Se tendrá en cuenta que hemos dado al público erudito la oportunidad de familiarizarse con una obra de la pluma de este autor talentoso y hábil» (Magazin, 1 ). El siguiente artículo de Abel, «Opläsning afet Par Opgaver ved bjoelp of bestemte Integraler» («Solución de algunos Problemas por medio de Integrales Definidas»), es de importancia en la historia de las matemáticas, ya que contiene la primera solución de una ecuación integral. El documento, que pasó desapercibido en ese momento, en parte porque estaba en noruego, trata el problema mecánico del movimiento de un punto de masa en una curva bajo la influencia de la gravitación. Durante el invierno de 1822-1823 Abel también compuso un trabajo más largo sobre la integración de expresiones funcionales. El documento se presentó al Colegio Universitario con la esperanza de que ese órgano ayudara en su publicación. el manuscrito ha desaparecido, pero parece probable que algunos de los resultados obtenidos en él se incluyan en algunos de los artículos posteriores de Abel.
A principios del verano de 1823 Abel recibió un regalo de 100 daler del profesor Rasmussen para financiar un viaje a Copenhague para reunirse con Degen y otros matemáticos daneses. Sus cartas a Holmboe revelan la inspiración matemática que recibió. Se quedó en la casa de su tío y aquí conoció a su futura prometida, Christine Kemp.
A su regreso a Oslo, Abel retomó la cuestión de la solución de la ecuación quintica. Esta vez tomó la visión inversa y logró resolver el problema de siglos de antigüedad al demostrar la imposibilidad de una expresión radical que represente una solución de la ecuación general de quinto grado o superior. Abel se dio cuenta de la importancia de su resultado, por lo que lo hizo publicar, a su propio costo, por una imprenta local. Para llegar a un gran público, lo escribió en francés: «Tesis sobre ecuaciones algebraicas donde demostramos la imposibilidad de resolver la ecuación general del quinto grado.»Para ahorrar gastos, todo el folleto se comprimió en seis páginas. La brevedad resultante probablemente lo hizo difícil de entender; en cualquier caso, no hubo reacción de ninguno de los matemáticos extranjeros, incluido el gran C. F. Gauss, a quien se envió una copia.
Se había hecho evidente que Abel ya no podía vivir del apoyo de los profesores. Sus problemas financieros se habían incrementado por su compromiso con Christine Kemp. que había llegado a Noruega como institutriz para los hijos de una familia que vivía cerca de Oslo.
Abel solicitó una beca de viaje, y después de algunos retrasos, el gobierno decidió que Abel debía recibir un pequeño estipendio para estudiar idiomas en la universidad y prepararlo para viajar al extranjero. Luego recibió una beca de 600 daler por dos años de estudios en el extranjero.
Abel se sintió decepcionado por el retraso, pero estudió diligentemente los idiomas, en particular el francés, y utilizó su tiempo para preparar un número considerable de documentos para presentarlos a matemáticos extranjeros. Durante el verano de 1825 se fue, junto con cuatro amigos. todos ellos también tenían la intención de prepararse para futuras carreras científicas: uno de ellos más tarde se convirtió en profesor de medicina, y los otros tres se convirtieron en geólogos. Todos los amigos de Abel planeaban ir a Berlín, mientras que Abel, siguiendo el consejo de Hansteen, debía pasar su tiempo en París, entonces el principal centro de matemáticas del mundo. Abel temía estar solo, sin embargo, y también decidió ir a Berlín, aunque bien sabía que incurriría en el disgusto de su protector.
El cambio de opinión de Abel resultó ser una decisión muy afortunada. Al pasar por Copenhague, Abel se enteró de que Degen había muerto, pero se aseguró una carta de recomendación de uno de los otros matemáticos daneses al Consejero Privado August Leopold Crelle. Crelle era un ingeniero muy influyente, intensamente interesado en las matemáticas, aunque él mismo no era un matemático fuerte.
Cuando Abel llamó por primera vez a Crelle, tuvo algunas dificultades para hacerse entender. Pero después de un tiempo Crelle reconoció las cualidades inusuales de su joven visitante. Los dos se hicieron amigos de por vida. Abel le presentó una copia de su folleto sobre la ecuación quintica, pero Crelle confesó que era ininteligible para él y recomendó que Abel retuerza una versión expandida del mismo. Hablaron del mal estado de las matemáticas en Alemania. En una carta a Hansteen, fechada en Berlín, el 5 de diciembre de 1825, Abel escribió::
Cuando expresé sorpresa por el hecho de que no existía ninguna revista matemática, como en Francia, dijo que durante mucho tiempo había tenido la intención de editar una, y que en la actualidad llevar su plan a la ejecución. Este proyecto está ahora organizado, y para mi gran alegría, porque tendré un lugar donde puedo imprimir algunos de mis artículos. Ya he preparado cuatro de ellas, que aparecerán en el primer número.
Journal für die reine und angewandte Mathematik, o Diario de Crelle, como se le conoce comúnmente, fue el principal periódico matemático alemán durante el siglo XIX. El primer volumen solo contiene siete documentos de Abel y los siguientes volúmenes contienen muchos más, la mayoría de ellos de importancia preeminente en la historia de las matemáticas. Entre los primeros se encuentra la versión expandida de la prueba de la imposibilidad de la solución de la ecuación quintica general por radicales. Aquí Abel desarrolla los antecedentes algebraicos necesarios, incluyendo una discusión de extensiones de campos algebraicos. Abel no era consciente de que tenía un precursor, el matemático italiano Paolo Ruffini. Pero en un artículo póstumo sobre las ecuaciones que se pueden resolver por radicales, Abel afirma: «El único ante mí, si no me equivoco, que ha intentado probar la imposibilidad de la solución algebraica de las ecuaciones generales es el matemático Ruffini, pero su trabajo es tan complicado que es muy difícil juzgar la exactitud de sus argumentos. Me parece que no siempre es satisfactorio.»El resultado se conoce generalmente como el teorema de Abel-Ruffini.
Después de la salida de Abel de Oslo, tuvo lugar un evento que le causó mucha preocupación. Rasmussen había encontrado su cátedra de matemáticas demasiado pesada cuando se combina con sus deberes públicos. Renunció, y poco después la facultad votó para recomendar que Holmboe fuera nombrado para llenar la vacante. Los amigos noruegos de Abel encontraron la acción muy injusta, y el propio Abel probablemente sintió lo mismo. Sin embargo, escribió una cálida carta de felicitación a su antiguo maestro, y siguieron siendo buenos amigos. Pero es evidente que a partir de este momento Abel se preocupó por su futuro y su inminente matrimonio; no había una posición científica a la vista para él en su país de origen.
Durante el invierno en Berlín, Abel contribuyó al Diario de Crelle; entre los trabajos notables se encuentran uno sobre la generalización de la fórmula binomial y otro sobre la integración de expresiones de raíz cuadrada. Pero una de sus principales preocupaciones matemáticas fue la falta de rigor en las matemáticas contemporáneas. Lo mencionó repetidamente en cartas a Holmboe. En una de ellas, fechada el 16 de enero de 1826, escribió::
Mis ojos se han abierto de la manera más sorprendente. Si ignoramos los casos más simples, no hay en todas las matemáticas una sola serie infinita cuya suma haya sido determinada rigurosamente. En otras palabras, las partes más importantes de las matemáticas carecen de fundamento. Es cierto que la mayor parte es válida, pero eso es muy sorprendente. Me cuesta encontrar la razón, un problema sumamente interesante.
Un resultado de esta lucha fue su artículo clásico sobre series de potencias que contiene muchos teoremas generales y también, como aplicación, la determinación estricta de la suma de las series binomiales para exponentes reales o complejos arbitrarios.
A principios de la primavera de 1826, Abel se vio obligado a dirigirse a su destino original, París. Crelle había prometido acompañarlo, y en el camino tenían la intención de detenerse en Göttingen para visitar Gauss. Desafortunadamente, la presión de los negocios impidió que Crelle abandonara Berlín. Al mismo tiempo, los amigos noruegos de Abel estaban planeando una excursión geológica a través de Europa central, y, de nuevo reacio a separarse de ellos, se unió al grupo. Viajaron en autocar a través de Bohemia, Austria, el norte de Italia y los Alpes. Abel no llegó a París hasta julio, con pocos fondos después del costoso viaje.
La visita a París fue decepcionante. Las vacaciones universitarias apenas habían comenzado cuando Abel llegó, regresó, encontró que eran distantes y difíciles de acercarse; solo de pasada conoció a Legendre, cuyo principal interés en su vejez eran las integrales elípticas, la especialidad de Abel. Para su presentación a la Academia Francesa de Ciencias Abel había reservado un documento que consideraba su obra maestra. Se trataba de la suma de integrales de una función algebraica dada. El teorema de Abel establece que cualquier suma puede expresarse como un número fijo p de estas integrales, con argumentos de integración que son funciones algebraicas de los argumentos originales. El número mínimo p es el género de la función algebraica, y esta es la primera aparición de esta cantidad fundamental. El teorema de Abel es una vasta generalización de la relación de Euler para integrales elípticas.
Abel pasó sus primeros meses en París completando sus grandes memorias; es uno de sus trabajos más largos e incluye una amplia teoría con aplicaciones. Fue presentada a la Academia de Ciencias el 30 de octubre de 1826, bajo el título «Mémoire sur une propriété générale d’une classe trés-étendue de fonctions transcendantes». Cauchy y Legendre fueron nombrados árbitros, siendo Cauchy el presidente. Varios jóvenes se habían distinguido rápidamente al aceptar sus trabajos en la Academia, y Abel esperaba el informe de los árbitros. Sin embargo, no se presentó ningún informe; de hecho, no se emitió hasta que la muerte de Abel forzó su aparición. Cauchy parece haber sido el culpable; afirmó más tarde que el manuscrito era ilegible.
Los siguientes dos meses de Abel en París fueron sombríos; tenía poco dinero y pocos conocidos. Conoció a P. G. L. Dirichlet, su junior de tres años y ya un conocido matemático, a través de un trabajo en la Academia patrocinado por Legendre. Otro conocido fue Frédéric Saigey, editor de la revista científica Ferrusac’s Bulletin, para quien Abel escribió algunos artículos, particularmente sobre sus propios artículos en Crelle’s Journal. Después de Navidad gastó sus últimos recursos para pagar su pasaje a Berlín.
Poco después de su regreso a Berlín. Abel cayó enfermo; parece que entonces sufrió el primer ataque de tuberculosis que más tarde cobraría su vida. Le pidió dinero prestado a Holmboe, y Crelle probablemente le ayudó. Abel anhelaba regresar a Noruega, pero se sintió obligado a permanecer en el extranjero hasta que expirara su período de beca. Crelle trató de mantenerlo en Berlín hasta que pudiera encontrar un puesto para él en una universidad alemana; mientras tanto, le ofreció la dirección editorial de su Diario.
Abel trabajó asiduamente en un nuevo artículo: «Recherches sur les fonctions elliptiques.»su publicación más extensa (125 páginas en los Oeuvres complètes). En este trabajo transformó radicalmente la teoría de integrales elípticas a la teoría de funciones elípticas mediante el uso de sus funciones inversas correspondientes en el caso más elemental a la dualidad
Las funciones elípticas se convierten así en una generalización vasta y natural de las funciones trigonométricas; a raíz del trabajo de Abel, constituirían uno de los temas de investigación favoritos en matemáticas durante el siglo XIX. Abel ya había desarrollado la mayor parte de la teoría como estudiante en Oslo, por lo que fue capaz de presentar la teoría de las funciones elípticas con una gran riqueza de detalles, incluyendo periodicidad doble, expansiones en series y productos infinitos, y teoremas de adición. La teoría condujo a las expresiones para funciones de un múltiplo del argumento con la determinación concomitante de las ecuaciones para argumentos fraccionarios y su solución por radicales, de la misma manera que Gauss había tratado las ecuaciones ciclotómicas: Las cartas de Abel a Holmboe (de París en diciembre de 1826 y de Berlín el 4 de marzo de 1827) indican que estaba particularmente fascinado por la determinación de la condición para que un lemniscato sea divisible en partes iguales por medio de brújula y regla, análoga a la construcción de Gauss de polígonos regulares. La última parte trata de la llamada teoría de la multiplicación compleja, más tarde tan importante en la teoría de números algebraicos.
Abel regresó a Oslo el 20 de mayo de 1827, para encontrar que la situación en casa era tan sombría como había temido. No tenía ninguna posición en perspectiva, ni compañerismo, y una abundancia de deudas. Su solicitud para prolongar su beca fue rechazada por el Departamento de Finanzas, pero la universidad valientemente le otorgó un pequeño estipendio de sus escasos fondos. Esta medida fue criticada por el departamento, que se reservó el derecho de que la cantidad se deduciera de cualquier salario futuro que recibiera.
La prometida de Abel encontró un nuevo puesto con amigos de la familia de Abel, la familia del dueño de una herrería en Froland, cerca de Arendal. Durante el otoño, Abel se ganaba la vida en Oslo dando clases particulares a escolares y probablemente con la ayuda de amigos . En el año nuevo la situación se volvió más brillante. Hansteen, un pionero en estudios geomagnéticos, recibió una gran subvención por dos años para examinar el campo magnético de la Tierra en Siberia inexplorada. Mientras tanto, Abel se convirtió en su sustituto tanto en la universidad como en la Academia Militar Noruega.
La primera parte de las «Investigaciones» fue publicada en el Diario de Crelle en septiembre de 1827, y Abel completó la segunda parte durante el invierno. Vivió aislado en Oslo; no había correo de paquete durante el invierno, y no tenía ni idea del interés que sus memorias habían creado entre los matemáticos europeos. Tampoco sabía que un competidor había aparecido en el campo de las funciones elípticas hasta principios de 1828, cuando Hansteen le mostró la edición de septiembre del Astronomische Nachrichten. En esta revista, un joven matemático alemán, K. G. J. Jacobi, anunció sin pruebas algunos resultados relativos a la teoría de la transformación de integrales elípticas. Abel añadió apresuradamente una nota al manuscrito de la segunda parte de las» Investigaciones», mostrando cómo los resultados de Jacobi eran la consecuencia de los suyos.
Abel era muy consciente de que una carrera estaba a la mano. Interrumpió un gran documento sobre la teoría de ecuaciones que debía contener la determinación de todas las ecuaciones que pueden ser resueltas por radicales: la parte que se publicó contenía la teoría de esas ecuaciones que ahora se conocen como Abelianas. Luego escribió, en rápida sucesión, una serie de documentos sobre funciones elípticas. El primero fue «Solution d’un probleme général concernant la transformation des fonctions eliptiques».»Esta, su respuesta directa a Jacobi, fue publicada en Astronomische Nachrichten; los otros aparecieron en el Diario de Crelle. Además, Abel preparó un libro de memorias, «Précis d’une théorie des fonctions elliptiques», que fue publicado después de su muerte. Jacobi, por otro lado, escribió solo breves notas que no revelaban sus métodos; estos fueron reservados para su libro, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
Se ha escrito mucho sobre la teoría temprana de las funciones elípticas. Parece haber pocas dudas de que Abel estaba en posesión de las ideas varios años antes que Jacobi. Por otro lado, también es un hecho establecido que Gauss, aunque no publicó nada, había descubierto los principios de las funciones elípticas mucho antes de Abel o Jacobi.
Los matemáticos europeos vieron con fascinación la competencia entre los dos jóvenes matemáticos. Legendre notó los anuncios de Jacobi y también recibió una carta de él. En una reunión de la Academia Francesa en noviembre de 1827, elogió la nueva estrella matemática; el discurso fue reproducido en los periódicos y Legendre envió el recorte a Jacobi. En su respuesta, Jacobi, después de expresar su agradecimiento, señaló las «Investigaciones» de Abel y sus resultados generales. Legendre respondió: «A través de estas obras, ustedes dos serán colocados en la clase de los analistas más destacados de nuestros tiempos. También expresó su decepción por el método de publicación de Jacobi y se irritó cuando Jacobi confesó que para obtener algunos de sus resultados había tenido que confiar en el artículo de Abel. También en esta época, Abel comenzó una correspondencia con Legendre y le transmitió sus ideas.
Todo lo que los matemáticos europeos sabían sobre la condición de Abel en Noruega era que solo tenía una posición temporal y recientemente se había visto obligado a enseñar a los escolares a ganarse la vida. La fuente principal de su información fue Crelle, quien constantemente usó su influencia para tratar de obtener una cita para Abel en un nuevo instituto científico que se crearía en Berlín. Sin embargo, el progreso fue muy lento. En septiembre de 1828, cuatro miembros prominentes de la Academia Francesa de Ciencias dieron el extraordinario paso de dirigir una petición directamente a Bernadotte, ahora Carlos XIV de Noruega—Suecia, llamando la atención sobre Abel e instando a que se creara un puesto científico adecuado para él. En una reunión de la Academia, el 25 de febrero de 1829, Legendre también rindió homenaje a Abel y sus descubrimientos, en particular a sus resultados en la teoría de ecuaciones.
Mientras tanto Abel, a pesar de su deterioro de salud, escribió nuevos artículos frenéticamente. Pasó las vacaciones de verano de 1828 en la finca Froland con su prometida. En Navidad insistió en visitarla de nuevo, a pesar de que requería varios días de viaje en un frío intenso. Estaba febril cuando llegó, pero disfrutó de la celebración familiar de Navidad. Sin embargo, pudo haber tenido la premonición de que sus días estaban contados, y ahora temía que el gran documento presentado a la Academia Francesa se hubiera perdido para siempre. Por lo tanto, escribió una breve nota, «Demonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions trascendantes», en la que dio una prueba del teorema principal. Se lo envió por correo a Crelle el 6 de enero de 1829.
Mientras esperaba el trineo que lo devolvería a Oslo, Abel sufrió una violenta hemorragia; el médico diagnosticó su enfermedad como tuberculosis y ordenó reposo prolongado en cama. Murió en abril, a la edad de veintiséis años, y fue enterrado en la vecina iglesia de Froland durante una ventisca. La tumba está marcada por un monumento erigido por sus amigos. Uno de ellos, Baltazar Keilhau, escribió a Christine Kemp, sin haberla visto, y le hizo una oferta de matrimonio que aceptó. Dos días después de la muerte de Abel, Crelle escribió jubiloso para informarle de que su nombramiento en Berlín había sido asegurado.
El 28 de junio de 1830, la Academia Francesa de Ciencias otorgó su Gran Premio a Abel y Jacobi por sus destacados descubrimientos matemáticos. Después de una intensa búsqueda en París, el manuscrito de las grandes memorias de Abel fue redescubierto. Fue publicado en 1841, quince años después de su presentación. Durante la impresión desapareció de nuevo, para no reaparecer hasta 1952 en Florencia.
Crelle escribió un extenso elogio de Abel en su Diario (4 , 402):
Todas las obras de Abel llevan la impronta de un ingenio y una fuerza de pensamiento que es inusual y a veces sorprendente, incluso si no se tiene en cuenta la juventud del autor. Uno podría decir que fue capaz de penetrar todos los obstáculos hasta los fundamentos mismos de los problemas, con una fuerza que parecía irresistible; atacó los problemas con una energía extraordinaria; los miraba desde arriba y era capaz de elevarse tan alto sobre su estado actual que todas las dificultades parecían desaparecer bajo el ataque victorioso de su genio…. Pero no fue solo su gran talento lo que creó el respeto por Abel e hizo que su pérdida fuera infinitamente lamentable. Se distinguió igualmente por la pureza y nobleza de su carácter y por una modestia rara que hizo que su persona fuera apreciada en el mismo grado inusual que su genio.
BIBLIOGRAFÍA
I. Obras Originales. Las obras completas de Abel se publican en dos ediciones, Oeuvres complètes de N. H. Abel, mathématicien, ed. and annotated by B. Holmboe (Oslo, 1839), and Nouvelle édition, M. M. L. Sylow and S. Lie, eds., 2 vols. (Oslo, 1881).
II. La Literatura Secundaria. Los materiales sobre la vida de Abel incluyen Niels Henrik Abel: Mémorial publié à I’occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902) que comprende todas las letras citadas en el texto; y O. Ore, Niels Henrik Abel; Matemático Extraordinario (Minneapolis, Minn., 1957).
Mineral de ostra