ensimmäisen kertaluvun lineaarisen yhtälön määritelmä
tyypin differentiaaliyhtälö
\
missä \(a\left(x \right)\) ja \(f\left(x \right)\) ovat jatkuvia funktioita \(x,\) kutsutaan ensimmäisen kertaluvun lineaariseksi epähomogeeniseksi differentiaaliyhtälöksi. Pidämme kaksi menetelmää ratkaista lineaarinen differential equations ensimmäisen kertaluvun:
- käyttäen integroivaa tekijää;
- vakion variaatiomenetelmä.
käyttäen Integroivaa tekijää
, jos standardimuodossa kirjoitetaan lineaarinen differentiaaliyhtälö:
\
integroiva kerroin määritellään kaavalla
\
kertomalla yhtälön vasen puoli integroivalla tekijällä \(u\left(x \right)\) muuntaa vasemman puolen tulon derivaataksi \(y\left( x \right) u\left (x \right).\)
differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ilmaistaan seuraavasti:
\
missä \(C\) on mielivaltainen vakio.
Vakiovaihtelumenetelmä
tämä menetelmä on samankaltainen kuin aiempi lähestymistapa. Ensin on tarpeen löytää yleinen ratkaisu homogeeninen yhtälö:
\
homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu sisältää integraation vakion \(C\). \ korvataan vakio \(C\) tietyllä (vielä tuntemattomalla) funktiolla \(C\left( x \right).\ ) Korvaamalla tämän ratkaisun epähomogeeniseksi differentiaaliyhtälöksi voimme määrittää funktion \(C\left( x \right).\)
kuvattua algoritmia kutsutaan vakion variaatiomenetelmäksi. Molemmat menetelmät johtavat tietysti samaan ratkaisuun.
Alkuarviongelma
jos differentiaaliyhtälön lisäksi on olemassa myös alkuehto muodossa \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0},\) tällaista ongelmaa kutsutaan alkuarviongelmaksi (IVP) tai Cauchyn ongelmaksi.
erityinen ratkaisu IVP: lle ei sisällä vakiota \(C,\), joka määritellään korvaamalla yleinen ratkaisu alkutilaan \(y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
ratkaistut ongelmat
klikkaa tai napauta ongelmaa nähdäksesi ratkaisun.
Esimerkki 1
ratkaise yhtälö \(y ’ – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
Esimerkki 2
ratkaise differentiaaliyhtälö \(xy ’ = y + 2{x^3}.\)
esimerkki 3
ratkaise yhtälö \(y ’- 2Y = x.\)
esimerkki 4
ratkaise differentiaaliyhtälö \({x^2}y ’ + xy + 2\) \ (= 0.\)
esimerkki 5
ratkaise alkuarvon ongelma: \(y ’ – y\tan x \) \ (=\sin x,\) \(y\left( 0 \right) = 1.\)
esimerkki 6
ratkaise differentiaaliyhtälö(IVP) \(y’ + {\large\frac{3}{x}\normalsize}y\) \ (={\large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize}\), jossa alkuominaisuus \(y\left (1 \right) = 2.\)
esimerkki 7
Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu \(y = \left( {2{y^4} + 2x} \right)y’.\)
Esimerkki 1.
ratkaise yhtälö \(y ’ – y-x{e^x} \) \(= 0.\)
ratkaisu.
kirjoitamme tämän yhtälön uudelleen standardimuodossa:
\
ratkaisemme tämän yhtälön integroivan tekijän avulla
\
silloin lineaarisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan
\
Esimerkki 2.
ratkaise differentiaaliyhtälö \(xy ’ = y + 2{x^3}.\)
ratkaisu.
ratkaisemme tämän ongelman käyttämällä vakion variaatiomenetelmää. Ensin löydämme yleisen ratkaisun homogeeninen yhtälö:
\
joka voidaan ratkaista erottamalla muuttujat:
\
missä \(C\) on positiivinen reaaliluku.
nyt korvataan \(C\) tietyllä (vielä tuntemattomalla) funktiolla \(C\left (x \right)\) ja löydetään alkuperäisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu muodossa:
\
tällöin derivaatta saadaan kaavalla
\^\prime } }={ C ’ \left( x \right)x + C\left (x \right).}\]
korvaamalla tämä yhtälöllä saadaan:
\ }={ C\left (x \right)x + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left( x \right) {x^2} + \cancel{C\left (x \right)x} } = { \cancel{C\left (x \right)x} + 2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C ’ \left (x \right) = 2x.}
\]
integraation yhteydessä löydämme funktion \({C\left (x \right)}:\)
\
missä \({c_1}\) on mielivaltainen reaaliluku.
näin annetun yhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan muodossa
\