lämpölaajenemista laskettaessa on otettava huomioon, onko kappale vapaasti laajeneva vai rajoittunut. Jos keho voi vapaasti laajeta, lämpötilan noususta johtuva laajeneminen tai rasitus voidaan yksinkertaisesti laskea käyttämällä sovellettavaa Lämpölaajenemiskerrointa.
jos kehoa rajoitetaan niin, että se ei voi laajentua, sisäinen stressi aiheutuu (tai muuttuu) lämpötilan muutoksesta. Tämä stressi voidaan laskea ottamalla huomioon rasitus, joka syntyisi, jos keho olisi vapaa laajenemaan, ja stressi, joka tarvitaan tämän rasituksen vähentämiseksi nollaan elastisen tai Youngin moduluksen aiheuttaman rasitus/rasitus-suhteen kautta. Kiinteiden aineiden erikoistapauksessa ulkoinen Ilmanpaine ei yleensä vaikuta oleellisesti esineen kokoon, joten painemuutosten vaikutusta ei yleensä tarvitse pohtia.
yleisissä teknisissä kiintoaineissa on yleensä lämpölaajenemiskertoimia, jotka eivät eroa merkittävästi lämpötila-alueella, jolla ne on suunniteltu käytettäväksi, joten jos erittäin suurta tarkkuutta ei vaadita, käytännön laskelmat voivat perustua lämpölaajenemiskertoimen vakioon, keskiarvoon.
Lineaarinen ekspansiomedi
lineaarinen laajeneminen tarkoittaa yhden ulottuvuuden (pituuden) muutosta tilavuusmuutoksen (volumetrisen laajenemisen) sijaan.Ensimmäisessä approksimaatiossa lämpölaajenemisesta johtuva kappaleen pituusmittausten muutos liittyy lämpötilan muutokseen lineaarisen lämpölaajenemiskertoimen (CLTE) avulla. Se on pituuden murto-osa lämpötilan muutoksen astetta kohti. Olettaen, että paineen vaikutus on vähäinen, voimme kirjoittaa:
α L = 1 L D L D T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{l}}\,{\frac {dL} {dT}}}
missä L {\displaystyle L}
on tietynlainen pituuden mitta ja d L / d T {\displaystyle dL/dT}
on tämän lineaarisen ulottuvuuden muutosnopeus lämpötilan muutosta kohti.
lineaarisen ulottuvuuden muutoksen voidaan arvioida olevan:
Δ l l = α l Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta l}{l}}=\alpha _{l}\Delta T}
tämä arvio toimii hyvin, kunhan lineaarinen laajenemiskerroin ei juuri muutu lämpötilan muutoksen Δ T {\displaystyle \Delta T}
, ja pituuden murto-osa on pieni Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Jos jompikumpi näistä ehdoista ei päde, on integroitava tarkka differentiaaliyhtälö (käyttäen d L / d T {\displaystyle dL/dT}
).
vaikutukset siivilään
kiinteiden materiaalien, joilla on merkittävä pituus, kuten sauvat tai kaapelit, lämpölaajenemisen estimaatti voidaan kuvata materiaalikannan avulla, joka saadaan kaavalla ϵ t h e r M a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }}
ja määritellään: ϵ t h e r m a L = ( L f I N a L − L I n i t i a l ) l n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }={\frac {(l_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {initial} })}{L_{\mathrm {initial}}} }}}}
missä L I n i t i a l {\displaystyle L_{\mathrm {initial} }}
on pituus ennen lämpötilan muutosta ja L f I N a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
on pituus lämpötilan muutos.
useimpien kiintoaineiden lämpölaajeneminen on verrannollinen lämpötilan muutokseen:
ϵ t h e r M a L ∝ Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \mathrm{thermal}\propto\mathrm \propto \Delta T}
siten joko kannan tai lämpötilan muutos voi olla arvio::
ϵ t h e r M a l = α l Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{l}\Delta t}
jossa
Δ T = ( T f I n a l − T i n t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {Final} }-T_{\mathrm {initial} })}
on lämpötilaero kahden kirjatun kannan välillä, mitattuna asteina Fahrenheit, Rankine, Celsius tai kelvin ja α L {\displaystyle \alpha _ {L}}
on lineaarinen lämpölaajenemiskerroin ”per degree Fahrenheit”, ”per degree Rankine”, ”per celsiusaste” tai ”per kelvin”, jota merkitään vastaavasti °F−1, R−1, °C−1 tai K−1. Jatkumomekaniikan alalla lämpölaajenemista ja sen vaikutuksia käsitellään eigenstrainina ja eigenstressinä.
Pinta-alan laajenemismedit
pinta-alan lämpölaajenemiskerroin suhteuttaa materiaalin pinta-alan mittojen muutoksen lämpötilan muutokseen. Se on alueen murto-osa lämpötilan muutoksen astetta kohti. Piittaamatta painostuksesta, voimme kirjoittaa:
α A = 1 A d A D T {\displaystyle \alpha _{a}={\frac {1}{a}}\,{\frac {dA}{dT}}}
missä A {\displaystyle A}
on jokin kohteen kiinnostava alue, ja d A / d T {\displaystyle dA/dT}
on kyseisen alueen muutosnopeus lämpötilan muutosyksikköä kohti.
alueen muutosta voidaan arvioida seuraavasti:
Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}
tämä yhtälö toimii hyvin, kunhan pinta-alan laajenemiskerroin ei juuri muutu lämpötilan muutoksen Δ T {\displaystyle \Delta T}
, ja alueen murto-osa on pieni Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Jos jompikumpi näistä ehdoista ei päde, yhtälö on integroitava.
Tilavuuslaajennus
kiinteälle aineelle voidaan jättää huomiotta paineen vaikutukset materiaaliin, ja volumetrinen lämpölaajenemiskerroin voidaan kirjoittaa:
α v = 1 V D V D T {\displaystyle \alpha _{v}={\frac {1}{v}}\, {\frac {dV}{dT}}}
missä V {\displaystyle V}
on materiaalin tilavuus, ja d V / d T {\displaystyle dv/dT}
on kyseisen tilavuuden muutosnopeus lämpötilan kanssa.
tämä tarkoittaa, että materiaalin tilavuus muuttuu jonkin kiinteän murto-osan verran. Esimerkiksi teräslohko, jonka tilavuus on 1 kuutiometri, saattaa laajentua 1,002 kuutiometriin, kun lämpötilaa nostetaan 50 K. Tämä on laajennus 0,2%. Jos meillä olisi teräslohko, jonka tilavuus on 2 kuutiometriä, niin samoissa olosuhteissa, se laajenisi 2,004 kuutiometriin, jälleen laajennus 0,2%. Tilavuuslaajenemiskerroin olisi 50 K: lle 0,2% eli 0,004% K−1.
jos tiedämme jo laajenemiskertoimen, voimme laskea tilavuuden muutoksen
Δ V v = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}=\alpha _{V}\Delta T}
missä Δ V / V {\displaystyle \delta v/v}
on tilavuuden murto-osa (esim. 0,002) ja Δ T {\displaystyle \Delta T}
on lämpötilan muutos (50 °C).
yllä olevassa esimerkissä oletetaan, että laajenemiskerroin ei muuttunut lämpötilan muuttuessa ja tilavuuden kasvu on pientä alkuperäiseen tilavuuteen verrattuna. Tämä ei aina pidä paikkaansa, mutta pienille lämpötilan muutoksille se on hyvä approksimaatio. Jos volumetrinen laajenemiskerroin muuttuu tuntuvasti lämpötilan mukana tai tilavuuden kasvu on merkittävä, edellä mainittu yhtälö on integroitava:
Ln ( V + Δ v ) = ∫ t i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \Ln \left({\frac {V+\Delta v}{v}}\right)=\int _{t_{i}}^{t_{F}}\alpha _{v}(T)\,DT}
δ v v = Exp ( ∫ T I T F α V ( T ) D T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\delta v}{v}}=\Exp \left(\int _{t_{i}}^{t_{F}}\Alpha _{v}(t)\,DT\right)-1}
missä α V (T) {\displaystyle \alpha _{V} (T)}
on tilavuuden laajenemiskerroin lämpötilan t funktiona, ja T i {\displaystyle T_{i}}
, t f {\displaystyle T_{F}}
ovat vastaavasti alku-ja loppulämpötilat.
Isotrooppiset materiaalit:
isotrooppisten materiaalien volumetrinen lämpölaajenemiskerroin on kolme kertaa lineaarinen kerroin:
α V = 3 α l {\displaystyle \alpha _{v}=3\alpha _{l}}
tämä suhde syntyy, koska tilavuus muodostuu kolmesta keskenään ortogonaaliset suunnat. Isotrooppisessa materiaalissa, pienissä differentiaalisissa muutoksissa, kolmasosa volumetrisesta laajenemisesta on yhdellä akselilla. Otetaan esimerkiksi kuutio terästä, jonka sivujen pituus on L. alkuperäinen tilavuus on v = l 3 {\displaystyle V=L^{3}}
ja uusi tilavuus on lämpötilan nousun jälkeen v + Δ V = (L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta l+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3v{\Delta l \over l}.}
voimme helposti sivuuttaa ehdot kuin muutos L on pieni määrä, joka neliöimistä saa paljon pienempi.
joten
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta l \over L}=3\alpha _{L}\Delta T.}
yllä oleva approksimaatio pätee pieniin lämpötilan ja ulottuvuuden muutoksiin (eli Kun Δ T {\displaystyle \Delta T}
ja Δ L {\displaystyle \Delta l}
ovat pieniä), mutta se ei pidä, jos yritämme kulkea edestakaisin tilavuuskertoimien ja lineaaristen kertoimien välillä käyttäen suurempia arvoja Δ T {\displaystyle \Delta T}
. Tällöin on otettava huomioon yllä olevan lausekkeen kolmas termi (ja joskus jopa neljäs termi).
vastaavasti pinta-alan lämpölaajenemiskerroin on kaksi kertaa lineaarinen kerroin:
α A = 2 α l {\displaystyle \alpha _{a}=2\alpha _{L}}
tämä suhde voidaan löytää samalla tavalla kuin yllä olevassa lineaarisessa esimerkissä, huomaten, että jonkin Tahkon pinta-ala kuutiossa on vain L 2 {\displaystyle L^{2}}
. Samat huomiot on tehtävä myös käsiteltäessä suuria arvoja Δ T {\displaystyle \Delta T}
.
yksinkertaisemmin sanottuna, jos kiinteän aineen pituus laajenee 1 metristä 1,01 metriin, pinta-ala laajenee 1 m2: sta 1,0201 m2: een ja tilavuus laajenee 1 m3: sta 1,030301 m3: een.
Anisotrooppisilla materiaaleilla on
materiaaleilla, joilla on anisotrooppisia rakenteita, kuten kiteitä (joilla on vähemmän kuin kuutiollinen symmetria, esimerkiksi martensiittiset faasit) ja monia komposiitteja, on yleensä erilaiset lineaariset laajenemiskertoimet α L {\displaystyle \alpha _{L}}
eri suuntiin. Tämän seurauksena kokonaistilavuuslaajeneminen jakautuu epätasaisesti kolmen akselin kesken. Jos kidesymmetria on monokliininen tai trikliininen, jopa näiden akselien väliset kulmat ovat alttiita lämpömuutoksille. Tällaisissa tapauksissa on tarpeen käsitellä lämpölaajenemiskerrointa tensorina, jossa on enintään kuusi itsenäistä elementtiä. Hyvä tapa selvittää tensorin alkuaineet on tutkia laajenemista röntgenjauhediffraktiolla. Lämpölaajenemiskertoimen tensori niille materiaaleille, joilla on kuutiollinen symmetria (esimerkiksi FCC, BCC) on isotrooppinen.