Al calcular la expansión térmica, es necesario considerar si el cuerpo está libre de expandirse o está restringido. Si el cuerpo es libre de expandirse, la expansión o deformación resultante de un aumento de temperatura se puede calcular simplemente utilizando el coeficiente de Expansión Térmica aplicable.
Si el cuerpo está restringido para que no pueda expandirse, el estrés interno será causado (o cambiado) por un cambio en la temperatura. Este esfuerzo se puede calcular considerando la tensión que se produciría si el cuerpo fuera libre de expandirse y el esfuerzo requerido para reducir esa tensión a cero, a través de la relación tensión/tensión caracterizada por el módulo elástico o de Young. En el caso especial de los materiales sólidos, la presión ambiental externa generalmente no afecta de manera apreciable el tamaño de un objeto y, por lo tanto, no es necesario considerar el efecto de los cambios de presión.
Los sólidos de ingeniería comunes generalmente tienen coeficientes de expansión térmica que no varían significativamente en el rango de temperaturas donde están diseñados para ser utilizados, por lo que cuando no se requiere una precisión extremadamente alta, los cálculos prácticos se pueden basar en un valor promedio constante del coeficiente de expansión.
Expansión lineareditar
La expansión lineal significa cambio en una dimensión (longitud) en contraposición al cambio en el volumen (expansión volumétrica).Para una primera aproximación, el cambio en las mediciones de longitud de un objeto debido a la expansión térmica está relacionado con el cambio de temperatura por un coeficiente de expansión térmica lineal (CLTE). Es el cambio fraccional de longitud por grado de cambio de temperatura. Suponiendo un efecto insignificante de la presión, podemos escribir:
α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}
donde L {\displaystyle L}
es un particular, la medición de la longitud y d L / d T {\displaystyle dL/dT}
es la tasa de cambio de esa dimensión lineal por unidad de cambio en la temperatura.
Se puede estimar que el cambio en la dimensión lineal es:
Δ L L = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}
Esta estimación funciona bien siempre y cuando el lineal coeficiente de expansión no cambia mucho con el cambio en la temperatura Δ T {\displaystyle \Delta T}
, y la fracción de cambio en la longitud es pequeña Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, se debe integrar la ecuación diferencial exacta (usando d L / d T {\displaystyle dL/dT}
).
Efectos en la deformación
Para materiales sólidos con una longitud significativa, como varillas o cables, una estimación de la cantidad de expansión térmica se puede describir por la deformación del material, dada por ϵ t h e r m a l {\displaystyle \epsilon _ {\mathrm {térmica} }}
y definido como: ϵ t h e r m a l = ( L f i n a l − L i n i c i a l ) L i n i c i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {térmica} }={\frac {(L_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {inicial} })}{L_{\mathrm {inicial} }}}}
donde L i n i c i a l {\displaystyle L_{\mathrm {inicial} }}
es la longitud antes de que el cambio de temperatura y a L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
es la longitud después de la cambio de temperatura.
Para la mayoría de los sólidos, la expansión térmica es proporcional al cambio de temperatura:
t t h e r m a l Δ Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {térmica}} \propto \ Delta T}
Por lo tanto, el cambio en la deformación o la temperatura puede estimarse por:
t t h e r m a l = α L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {térmica} }=\alpha _{L}\Delta T}
donde
Δ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {inicial} })}
es la diferencia de temperatura entre las dos cepas registradas, medida en grados Fahrenheit, grados Rankine, grados Celsius o kelvin,y α L {\displaystyle \alpha _ {L}}
es el coeficiente lineal de expansión térmica en «por grado Fahrenheit», «por grado Rankine», «por grado Celsius» o «por kelvin», denotado por °F−1, R−1, °C−1 o K−1, respectivamente. En el campo de la mecánica de continuum, la expansión térmica y sus efectos se tratan como tren propio y tren propio.
Expansióneditar
El coeficiente de expansión térmica del área relaciona el cambio en las dimensiones del área de un material con un cambio en la temperatura. Es el cambio fraccional en el área por grado de cambio de temperatura. Ignorando la presión, podemos escribir:
α = 1 a d a d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {dA}{dT}}}
donde a {\displaystyle Un}
es un área de interés en el objeto, y d / d T {\displaystyle dA/dT}
es la tasa de cambio de esa área por unidad de cambio en la temperatura.
El cambio en el área se puede estimar como:
Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _ {A}\Delta T}
Esta ecuación funciona bien siempre que el coeficiente de expansión de área no cambie mucho con respecto al cambio de temperatura Δ T {\displaystyle \ Delta T}
, y el cambio fraccional en el área es pequeño Δ A/A 1 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Si alguna de estas condiciones no se cumple, la ecuación debe integrarse.
Volumen expansionEdit
Para una sólida, podemos ignorar los efectos de la presión sobre el material, y el volumen del coeficiente de expansión térmica puede ser escrito:
α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}
donde V {\displaystyle V}
es el volumen del material, y d V / d T {\displaystyle dV/dT}
es la tasa de cambio del volumen con la temperatura.
Esto significa que el volumen de un material cambia en cierta cantidad fraccionada fija. Por ejemplo, un bloque de acero con un volumen de 1 metro cúbico podría expandirse a 1.002 metros cúbicos cuando la temperatura aumenta en 50 K. Esta es una expansión del 0,2%. Si tuviéramos un bloque de acero con un volumen de 2 metros cúbicos, en las mismas condiciones, se expandiría a 2.004 metros cúbicos, una expansión de 0,2%. El coeficiente de expansión volumétrica sería de 0,2% para 50 K, o 0,004% K-1.
Si ya sabemos que el coeficiente de expansión, entonces se puede calcular el cambio de volumen
Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
donde Δ V / V {\displaystyle \Delta V/V}
es el cambio fraccional en volumen (por ejemplo, 0.002) y Δ T {\displaystyle \Delta T}
es el cambio en la temperatura (50 °C).
El ejemplo anterior asume que el coeficiente de expansión no cambió a medida que cambió la temperatura y el aumento en el volumen es pequeño en comparación con el volumen original. Esto no siempre es cierto, pero para pequeños cambios de temperatura, es una buena aproximación. Si el coeficiente de expansión volumétrica cambia apreciablemente con la temperatura, o el aumento en el volumen es significativo, entonces la ecuación anterior tendrá que integrarse:
ln ( V + Δ V V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\derecho)-1}
donde α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
es el coeficiente de expansión volumétrica en función de la temperatura T, y T i {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
son las temperaturas inicial y final respectivamente.
Materiales isótroposeditar
Para materiales isótropos, el coeficiente de expansión térmica volumétrica es tres veces el coeficiente lineal:
α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
Esta relación surge porque el volumen se compone de tres direcciones. Por lo tanto, en un material isotrópico, para pequeños cambios diferenciales, un tercio de la expansión volumétrica está en un solo eje. Como ejemplo, tome un cubo de acero que tiene lados de longitud L. El volumen original será V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
y el volumen de nuevo, después de un aumento de la temperatura, será V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L D L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \sobre L}.}
Podemos ignorar fácilmente los términos, ya que el cambio en L es una pequeña cantidad que al cuadrar se vuelve mucho más pequeña.
So
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \sobre L}=3\alpha _{L}\Delta T.}
La aproximación anterior es válida para pequeños cambios de temperatura y dimensiones (es decir, cuando Δ T {\displaystyle \ Delta T}
y Δ L {\displaystyle \Delta L}
son pequeños); pero no se sostiene si estamos tratando de ir y venir entre coeficientes volumétricos y lineales utilizando valores mayores de Δ T {\displaystyle \Delta T}
. En este caso, se debe tener en cuenta el tercer término (y a veces incluso el cuarto) de la expresión anterior.
De manera similar, el coeficiente de expansión térmica de área es dos veces el coeficiente lineal:
α A = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A} = 2 \ alpha _{L}}
Esta relación se puede encontrar de una manera similar a la del ejemplo lineal anterior, señalando que el área de una cara en el cubo es solo L 2 {\displaystyle L^{2}}
. También, se deben hacer las mismas consideraciones cuando se trata de valores grandes de Δ T {\displaystyle \ Delta T}
.
En pocas palabras, si la longitud de un sólido se expande de 1 m a 1,01 m, el área se expande de 1 m2 a 1,0201 m2 y el volumen se expande de 1 m3 a 1,030301 m3.
Materiales anisotrópicoseditar
Los materiales con estructuras anisotrópicas, como cristales (con simetría inferior a cúbica, por ejemplo, fases martensíticas) y muchos compuestos, generalmente tendrán diferentes coeficientes de expansión lineal α L {\displaystyle \ alpha _ {L}}
en diferentes direcciones. Como resultado, la expansión volumétrica total se distribuye de manera desigual entre los tres ejes. Si la simetría cristalina es monoclínica o triclínica, incluso los ángulos entre estos ejes están sujetos a cambios térmicos. En tales casos es necesario tratar el coeficiente de expansión térmica como un tensor con hasta seis elementos independientes. Una buena manera de determinar los elementos del tensor es estudiar la expansión por difracción de polvo de rayos X. El tensor de coeficiente de expansión térmica para los materiales que poseen simetría cúbica (por ejemplo, FCC, BCC) es isotrópico.