Při výpočtu tepelné roztažnosti je nutné zvážit, zda tělo je zdarma rozšířit nebo je omezena. Pokud se těleso může volně roztahovat, lze expanzi nebo deformaci vyplývající ze zvýšení teploty jednoduše vypočítat pomocí použitelného koeficientu tepelné roztažnosti.
pokud je tělo omezeno tak, že se nemůže rozšířit, vnitřní napětí bude způsobeno (nebo změněno) změnou teploty. Tento stres může být vypočítána s ohledem na kmen, který by dojít, pokud tělo byly zdarma rozšířit a stresu nutné snížit napětí na nulu, přes stres/napětí vztah charakterizuje elastické nebo youngův modul pružnosti. Ve zvláštním případě pevných materiálů vnější okolní tlak obvykle výrazně neovlivňuje velikost objektu, a proto není obvykle nutné zvažovat účinek změn tlaku.
Společné inženýrství pevných látek obvykle mají koeficienty tepelné roztažnosti, které nejsou výrazně lišit v rozmezí teplot, kde jsou navrženy tak, aby být použity, tak, kde je extrémně vysoká přesnost není nutná, praktické výpočty mohou být založeny na konstantní, průměrná hodnota koeficientu rozšíření.
Lineární expanzeeditovat
lineární roztažnost znamená změnu jednoho rozměru (délky) oproti změně objemu (objemové roztažnosti).K první aproximaci souvisí změna měření délky objektu v důsledku tepelné roztažnosti se změnou teploty koeficientem lineární tepelné roztažnosti (CLTE). Jedná se o zlomkovou změnu délky na stupeň změny teploty. Za předpokladu zanedbatelného účinku tlaku můžeme napsat:
α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}
kde L {\displaystyle L}
je konkrétní měření délky a d L / d T {\displaystyle dL/dT}
rychlost změny, že lineární rozměr jednotkové změně teploty.
změna lineárního rozměru může být odhadnuta na:
Δ L = α. L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}
Tento odhad funguje dobře, dokud lineární roztažnosti příliš nemění v průběhu změny teplot Δ T {\displaystyle \Delta T}
a frakční změna délky je malé Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Pokud některá z těchto podmínek neplatí, musí být integrována přesná diferenciální rovnice (pomocí D L / d t {\displaystyle dL / dT}
).
Účinky na strainEdit
Pro pevné materiály s významným délka, jako jsou tyče nebo kabely, odhad množství tepelné roztažnosti, může být popsán podle materiálu napětí, dané ϵ t h e r m a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {tepelné} }}
a jsou definovány jako: ϵ t h e r m a l = ( L f i n a l − L i n i t i l ) L i n i t i a l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {tepelné} }={\frac {(L_{\mathrm {final} }-L_{\mathrm {počáteční} })}{L_{\mathrm {počáteční} }}}}
kde L i n i t i a l {\displaystyle L_{\mathrm {počáteční} }}
je délka před změnou teploty a L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
je délka po změna teploty.
Pro většinu pevných látek, teplotní roztažnost je přímo úměrná změně teploty:
ϵ t h e r m a l ∝ Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {tepelné} }\propto \Delta T}
to Znamená, že změny v napětí nebo teploty může být odhadnuta pomocí:
ϵ t h e r m a l = α. L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {tepelné} }=\alpha _{L}\Delta T}
, kde
Δ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {počáteční} })}
je rozdíl teploty mezi dvěma zaznamenány kmenů, měří ve stupních Fahrenheita, stupních Rankina, stupňů Celsia, nebo kelvina,a α L {\displaystyle \alpha _{L}}
je lineární koeficient tepelné roztažnosti v „na stupeň Fahrenheita“, „na stupeň Rankinův“, „na stupeň Celsia“, nebo „za kelvin“, označil °F−1, R−1, °C−1 nebo K−1, resp. V oblasti mechaniky kontinua se tepelná roztažnost a její účinky považují za vlastní napětí a vlastní tlak.
Plocha expansionEdit
koeficient tepelné roztažnosti plochy souvisí se změnou rozměrů plochy materiálu se změnou teploty. Jedná se o zlomkovou změnu plochy na stupeň změny teploty. Ignorování tlaku, můžeme napsat:
α A = 1 d d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {dA}{dT}}}
kde {\displaystyle A}
je nějaká oblast zájmu na objekt, a d A / d T {\displaystyle dA/dT}
je rychlost změny této oblasti na jednotku změny v teplotě.
změna v oblasti může být odhadnuta jako:
Δ A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}
Tato rovnice funguje dobře, jak dlouho jako oblast roztažnosti příliš nemění v průběhu změny teplot Δ T {\displaystyle \Delta T}
a frakční změna v oblasti je malé Δ A / ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Pokud některá z těchto podmínek nedrží, musí být rovnice integrována.
Objem expansionEdit
Pro solidní, můžeme ignorovat účinky tlaku na materiál, a objemové teplotní roztažnosti lze zapsat:
α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}
kde V {\displaystyle V}
je objem materiálu, a d V / d T {\displaystyle dV/dT}
je rychlostí změny objemu s teplotou.
to znamená, že objem materiálu se mění o určitou pevnou částečnou částku. Například ocelový blok o objemu 1 metr krychlový se může rozšířit na 1,002 metrů krychlových, když se teplota zvýší o 50 K. Jedná se o expanzi 0,2%. Pokud bychom měli blok oceli o objemu 2 metry krychlové, pak by se za stejných podmínek rozšířil na 2 004 metrů krychlových, což je opět expanze 0, 2%. Koeficient objemové roztažnosti by byl 0,2% pro 50 K nebo 0,004% K-1.
Pokud již víme, roztažnosti, pak můžeme vypočítat změnu objemu
Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
, kde Δ V / V {\displaystyle \Delta V/V}
je frakční změna objemu (např. 0.002) a Δ T {\displaystyle \Delta T}
je změna v teplotě (50 °C).
výše uvedený příklad předpokládá, že koeficient roztažnosti se nezměnil při změně teploty a zvýšení objemu je malé ve srovnání s původním objemem. To není vždy pravda, ale pro malé změny teploty je to dobrá aproximace. Pokud se koeficient objemové roztažnosti výrazně mění s teplotou nebo je zvýšení objemu významné, musí být výše uvedená rovnice integrována:
ln ( V + Δ V V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}
kde α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
je objemové roztažnosti koeficient jako funkce teploty T a T i {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
jsou počáteční a konečné teplotě.
Izotropní materialsEdit
Pro izotropní materiály objemové tepelné roztažnosti je třikrát lineární koeficient:
α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
Tento poměr vzniká, protože objem se skládá ze tří vzájemně kolmých směrech. Takže v izotropním materiálu je pro malé diferenciální změny jedna třetina objemové expanze v jedné ose. Jako příklad, vezměte kostku z oceli, která má strany o délce L. původní objem bude V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
a nový svazek, po zvýšení teploty, bude V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L, 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L, 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \nad L}.}
můžeme snadno ignorovat termíny jako změna v L je malé množství, které na kvadratuře dostane mnohem menší.
takže
Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \nad L}=3\alpha _{L}\Delta T}
výše uvedená aproximace platí pro malé teplotní a objemové změny (to je, když Δ T {\displaystyle \Delta T}
a Δ L {\displaystyle \Delta L}
jsou malé); ale to neplatí, pokud se budeme snažit jít tam a zpět mezi objemové a lineární koeficienty pomocí větší hodnoty Δ T {\displaystyle \Delta T}
. V tomto případě je třeba vzít v úvahu třetí termín (a někdy i čtvrtý termín) ve výše uvedeném výrazu.
Podobně, plocha koeficient tepelné roztažnosti je dva krát lineární koeficient:
α = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}
Tento poměr lze nalézt podobným způsobem jako v lineární příkladu výše, upozorňuje, že plochy na krychli je jen L 2 {\displaystyle L^{2}}
. Stejné úvahy je třeba vzít také při práci s velkými hodnotami Δ t {\displaystyle \ Delta T}
.
Zjednodušeně řečeno, pokud se délka pevné látky rozšíří z 1 m na 1,01 m, plocha se rozšíří z 1 m2 na 1,0201 m2 a objem se rozšíří z 1 m3 na 1,030301 m3.
Anizotropní materialsEdit
Materiály s anizotropní struktury, jako jsou krystaly (s méně než kubickou symetrii, například martenzitické fáze) a mnoho kompozitů, bude obecně mít různé lineární expanzní koeficienty α L {\displaystyle \alpha _{L}}
v různých směrech. Výsledkem je, že celková objemová expanze je nerovnoměrně rozdělena mezi tři osy. Pokud je krystalová symetrie monoklinická nebo triklinická, i úhly mezi těmito osami podléhají tepelným změnám. V takových případech je nutné zacházet s koeficientem tepelné roztažnosti jako tenzor s až šesti nezávislými prvky. Dobrým způsobem, jak určit prvky tenzoru, je studovat expanzi rentgenovou práškovou difrakcí. Tenzor koeficientu tepelné roztažnosti pro materiály mající kubickou symetrii (např. FCC, BCC) je izotropní.