a hőtágulás kiszámításakor figyelembe kell venni, hogy a test szabadon tágulhat-e vagy korlátozott. Ha a test szabadon tágulhat, akkor a hőmérséklet emelkedéséből eredő tágulás vagy törzs egyszerűen kiszámítható az alkalmazandó hőtágulási együttható felhasználásával.
ha a testet úgy korlátozzák, hogy nem tud kibővülni, akkor a belső stresszt a hőmérséklet változása okozza (vagy megváltoztatja). Ezt a stresszt úgy lehet kiszámítani, hogy figyelembe vesszük azt a törzset, amely akkor következne be, ha a test szabadon tágulna, és azt a stresszt, amely az adott törzs nullára csökkentéséhez szükséges, a rugalmas vagy Young modulusával jellemzett feszültség/törzs kapcsolat révén. A szilárd anyagok speciális esetében a külső környezeti nyomás általában nem befolyásolja észrevehetően a tárgy méretét, ezért általában nem szükséges figyelembe venni a nyomásváltozások hatását.
a közönséges mérnöki szilárd anyagok hőtágulási együtthatói általában nem változnak jelentősen azon hőmérsékleti tartományon belül, ahol felhasználásra tervezték őket, így ahol rendkívül nagy pontosság nem szükséges, a gyakorlati számítások a tágulási együttható állandó, átlagos értékén alapulhatnak.
lineáris bővítésszerkesztés
a lineáris tágulás egy dimenzió (hosszúság) változását jelenti, szemben a térfogat változásával (volumetrikus tágulás).Első közelítésként egy tárgy hosszmérésének hőtágulás miatti változása a hőmérséklet változásával függ össze a lineáris hőtágulási együttható (CLTE). Ez a hossz frakcionált változása a hőmérséklet-változás fokonként. A nyomás elhanyagolható hatását feltételezve írhatunk:
\ L = 1 L d L T {\displaystyle \alpha _ {L} = {\frac {1}{L}}\, {\frac {dL}{dT}}}
ahol L {\displaystyle L}
egy adott hosszmérés és d L / d T {\displaystyle dL/dT}
az adott lineáris dimenzió változásának sebessége egységnyi hőmérsékletváltozásra vetítve.
a lineáris dimenzió változása becsülhető:
ez a becslés mindaddig jól működik, amíg a lineáris tágulási együttható nem változik sokat a hőmérséklet változása során\t {\displaystyle\Delta T} {L}}=\alpha _{L}\Delta T}
}
, és a hosszúság törtrészes változása kis méretű, 6 {\displaystyle \Delta L / L\ll 1}
. Ha ezen feltételek egyike sem áll fenn, akkor a pontos differenciálegyenletet (D L / d T {\displaystyle dl/dT}
használatával ) integrálni kell.
hatások a feszültségre
jelentős hosszúságú szilárd anyagok, például rudak vagy kábelek esetében a hőtágulás becsült mértékét az anyag törzsével lehet leírni, amelyet az alábbi képlet ad meg: \ t h e r M A l {\displaystyle \ epsilon _ {\mathrm {thermal} }}
és a következőképpen definiálva: {\displaystyle \ epsilon _ {\mathrm {thermal} } = {\frac {(L_ {\mathrm {final} }-l_ {\mathrm {initial} })}{l_{\mathrm {initial}}} }}}}
ahol L {\displaystyle L_ {\mathrm {initial} }}
a hőmérsékletváltozás előtti hossz, L f i n a l {\displaystyle L_{\mathrm {final} }}
a hőmérsékletváltozás utáni hossz a hőmérséklet változása.
a legtöbb szilárd anyag esetében a hőtágulás arányos a hőmérséklet változásával:
\ t h E r M a l \ T \ t {\displaystyle \Epsilon _ {\mathrm {thermal}} \propto \delta T}
így a törzs vagy a hőmérséklet változása a becsülje meg:
ahol
=(T f I n a l − T i n i t i a l) {\displaystyle\Delta T = (T_ {\mathrm{Final}}- T_ {\mathrm {initial} })}
a két feljegyzett törzs hőmérsékletének különbsége, Fahrenheit, Rankine, Celsius vagy kelvin fokban mérve, és a \ L {\displaystyle \ alpha _ {L}}
a hőtágulás lineáris együtthatója a “Fahrenheit−fokonként”, “Rankine−fokonként”, “Celsius−fokonként” vagy “kelvinenként”, amelyet a következők jelölnek: f−1, R-1, C-1, vagy K-1. A kontinuummechanika területén a hőtágulást és annak hatásait sajátstrainként és sajátstresszként kezelik.
Területbővítés
a terület hőtágulási együtthatója az anyag területméreteinek változását a hőmérséklet változásához kapcsolja. Ez a terület frakcionált változása a hőmérséklet-változás fokonként. Figyelmen kívül hagyva a nyomást, írhatunk:
a = 1 A d A D t {\displaystyle \alpha _ {a}={\frac {1}{a}}\, {\frac {dA}{dT}}}
ahol a {\displaystyle A}
az objektum valamilyen érdekes területe, és d A / d T {\displaystyle dA/dT}
az adott terület változásának sebessége egységnyi hőmérsékletváltozásonként.
a terület változása a következőképpen becsülhető meg:
ez az egyenlet mindaddig jól működik, amíg a terület tágulási együtthatója nem változik sokat a hőmérsékletváltozás során, amíg a terület tágulási együtthatója nem változik sokat, amíg a hőmérsékletváltozás során a terület tágulási együtthatója nem változik. \displaystyle {\frac {\Delta a} {A}} = \alpha _{a}\Delta T}
}
, és a terület törtrészes változása kicsi, a / A 1 {\displaystyle \Delta a/A\ll 1}
. Ha ezen feltételek egyike sem áll fenn, akkor az egyenletet integrálni kell.
Térfogatbővítés
szilárd anyag esetében figyelmen kívül hagyhatjuk a nyomás hatását az anyagra, és a térfogati hőtágulási együtthatót írhatjuk:
^ V = 1 V d V d T {\displaystyle \ alpha _ {V}={\frac {1}{V}}\, {\frac {dV}{dT}}}
ahol v {\displaystyle V}
az anyag térfogata, és d V / d T {\displaystyle dV/dT}
az adott térfogat hőmérsékletváltozásának sebessége.
ez azt jelenti, hogy az anyag térfogata bizonyos rögzített törtmennyiséggel változik. Például egy 1 köbméter térfogatú acélblokk 1,002 köbméterre nőhet, ha a hőmérsékletet 50 K-val emelik. Ha lenne egy 2 köbméter térfogatú acéltömbünk, akkor ugyanolyan körülmények között 2,004 köbméterre bővül, ismét 0,2% – os bővülés. A térfogati tágulási együttható 0,2% lenne 50 K esetén, vagy 0,004% K−1.
ha már ismerjük a tágulási együtthatót, akkor kiszámolhatjuk a térfogat változását
Ft V V = Ft V Ft T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
ahol v {\displaystyle \delta v / v}
a térfogat frakcionált változása (pl. 0,002), és a T {\displaystyle \Delta T}
a hőmérséklet változása (50 ca).
a fenti példa feltételezi, hogy a tágulási együttható nem változott a hőmérséklet változásával, és a térfogat növekedése kicsi az eredeti térfogathoz képest. Ez nem mindig igaz, de kis hőmérsékletváltozások esetén ez jó közelítés. Ha a térfogati tágulási együttható észrevehetően változik a hőmérséklettel, vagy a térfogat növekedése jelentős, akkor a fenti egyenletet integrálni kell:
ln ( V + ∆ V, V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alfa _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alfa _{V}(T)\,dT\jobbra)-1}
ahol α V ( T ) {\displaystyle \alfa _{V}(T)}
a térfogattágulási együttható a T hőmérséklet függvényében, és T I {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
a kezdeti és a végső hőmérséklet.
izotróp anyagokszerkesztés
izotróp anyagok esetében a térfogati hőtágulási együttható a lineáris együttható háromszorosa:
6\V = 3 \l {\displaystyle\alpha _{V}=3\alfa _{L}}
ez az arány azért következik be, mert a térfogat három egymást kölcsönösen ortogonális irányok. Így egy izotróp anyagban kis differenciális változások esetén a térfogati tágulás egyharmada egyetlen tengelyen van. Például, hogy egy kocka acél, ami oldalán hossza L. Az eredeti térfogat V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
, valamint az új kötet után a hőmérséklet-növekedés, lesz V + ∆ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V + \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\KB L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \over L}.}
könnyen figyelmen kívül hagyhatjuk a kifejezéseket, mivel az L változása kis mennyiség, amely a négyzeten sokkal kisebb lesz.
tehát
6 V V = 3 L L = 3 L L T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3 {\Delta L \ over L}=3\alfa _{L} \ Delta T.}
a fenti közelítés kis hőmérséklet-és dimenzióváltozásokra érvényes (azaz ha \ t \ displaystyle \ Delta T}
és az ~ L {\displaystyle \Delta L}
kicsi); de ez nem áll fenn, ha a volumetrikus és a lineáris együtthatók között próbálunk előre-hátra menni, nagyobb, mint a\T {\displaystyle\Delta T}
értékekkel . Ebben az esetben a fenti kifejezés harmadik kifejezését (sőt néha a negyedik kifejezést is) figyelembe kell venni.
Hasonlóképpen, a terület hőtágulási együtthatója kétszerese a lineáris együtthatónak:
Ft = 2 Ft l {\displaystyle \alpha _{a}=2\alpha _{L}}
ez az arány a fenti lineáris példához hasonló módon található meg, megjegyezve, hogy a kockán lévő felület területe csak L 2 {\displaystyle l^{2}}
. Ugyanezeket a megfontolásokat kell figyelembe venni akkor is, ha a nagy értékekkel (\t {\displaystyle\Delta T}
) foglalkozunk .
egyszerűbben fogalmazva: ha egy szilárd anyag hossza 1 m-ről 1,01 m-re nő, akkor a terület 1 m2-ről 1,0201 m2-re, a térfogat pedig 1 m3-ről 1,030301 m3-re nő.
anizotróp anyagokszerkesztés
az anizotróp szerkezetű anyagok, mint például a kristályok (amelyek köbös szimmetriánál kisebb, például martenzitikus fázisok) és sok kompozit, általában különböző lineáris tágulási együtthatókkal rendelkeznek}}
különböző irányokban. Ennek eredményeként a teljes térfogati tágulás egyenlőtlenül oszlik meg a három tengely között. Ha a kristályszimmetria Monoklin vagy triklin, akkor még a tengelyek közötti szögek is termikus változásoknak vannak kitéve. Ilyen esetekben a hőtágulási együtthatót tenzorként kell kezelni, legfeljebb hat független elemmel. A tenzor elemeinek meghatározásának jó módja a röntgendiffrakcióval történő tágulás vizsgálata. A köbös szimmetriával rendelkező anyagok hőtágulási együtthatója (például FCC, BCC) izotróp.