ved beregning af termisk ekspansion er det nødvendigt at overveje, om kroppen er fri til at udvide eller er begrænset. Hvis kroppen er fri til at ekspandere, kan udvidelsen eller belastningen som følge af en stigning i temperaturen simpelthen beregnes ved hjælp af den gældende Varmeudvidelseskoefficient.
hvis kroppen er begrænset, så den ikke kan ekspandere, vil intern stress blive forårsaget (eller ændret) af en temperaturændring. Denne stress kan beregnes ved at overveje den belastning, der ville opstå, hvis kroppen var fri til at ekspandere, og den stress, der kræves for at reducere denne belastning til nul gennem stress/belastningsforholdet, der er kendetegnet ved elastikken eller Youngs modul. I det specielle tilfælde af faste materialer påvirker eksternt omgivelsestryk normalt ikke signifikant størrelsen på en genstand, og det er derfor normalt ikke nødvendigt at overveje effekten af trykændringer.
almindelige tekniske faste stoffer har normalt varmeudvidelseskoefficienter, der ikke varierer markant over det temperaturområde, hvor de er designet til at blive brugt, så hvor ekstrem høj nøjagtighed ikke er påkrævet, kan praktiske beregninger baseres på en konstant, gennemsnitlig værdi af ekspansionskoefficienten.
lineær ekspansionrediger
lineær ekspansion betyder ændring i en dimension (længde) i modsætning til ændring i volumen (volumetrisk ekspansion).Til en første tilnærmelse er ændringen i længdemålinger af et objekt på grund af termisk ekspansion relateret til temperaturændring med en koefficient for lineær termisk ekspansion (CLTE). Det er den fraktionerede ændring i længde pr. Forudsat ubetydelig effekt af pres, kan vi skrive:
L = 1 l d l d t {\displaystyle \ alpha _{L}={\frac {1}{L}}\, {\frac {dL}{dT}}}
hvor l {\displaystyle L}
er en bestemt længdemåling, og d L/d t {\displaystyle dL/dT}
er ændringshastigheden for den lineære dimension pr.
ændringen i den lineære dimension kan estimeres til at være:
lit L l = lit L LIST t {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}= \ alpha _{L} \ Delta T}
denne estimering fungerer godt, så længe den lineære udvidelseskoefficient ikke ændrer sig meget over ændringen i temperatur list T {\displaystyle \ Delta T}
, og den fraktionerede længdeændring er lille liter L / L liter 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1}
. Hvis en af disse betingelser ikke holder, skal den nøjagtige differentialligning (ved hjælp af d L / d t {\displaystyle dL/dT}
) integreres.
virkninger på strainEdit
for faste materialer med en betydelig længde, som stænger eller kabler, kan et skøn over mængden af termisk ekspansion beskrives ved materialestammen, givet af kur t h e r m a l {\displaystyle \ epsilon _{\mathrm {thermal} }}
og defineret som: en L = (L F i N A L-L i n i t i a l ) L i n i t i A l {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }={\frac {(L_{\mathrm {final} } – l_ {\mathrm {initial} })}{L_{\mathrm {initial}}} }}}}
hvor L i n i t i a l {\displaystyle L_ {\mathrm {initial} }}
er længden før temperaturændringen og L f I N a l {\displaystyle L_ {\mathrm {final} }}
er længden efter ændring af temperatur.
for de fleste faste stoffer er termisk ekspansion proportional med temperaturændringen:
list t h e r m a L LIST T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }\propto \Delta T}
således kan ændringen i enten stammen eller temperaturen estimeres af:
lit t h e r m A l = lit L lit t {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{L}\Delta T}
hvor
lit T = ( T F i N A l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {initial} })}
er forskellen i temperaturen mellem de to registrerede stammer, målt i grader Fahrenheit, grader Rankine, grader Celsius eller kelvin og L {\displaystyle \ alpha _{L}}
er den lineære varmeudvidelseskoefficient i henholdsvis “pr.grad Fahrenheit”, “pr. grad Rankine”, “pr. grad Celsius” eller “pr. kelvin”, betegnet med henholdsvis hhv. Inden for kontinuummekanik behandles den termiske ekspansion og dens virkninger som egenstyrke og egenstress.
arealudvidelseredit
arealudvidelseskoefficienten relaterer ændringen i et materiales arealdimensioner til en temperaturændring. Det er den fraktionerede ændring i område pr. Ignorerer pres, kan vi skrive:
ret A = 1 A d A D t {\displaystyle \ alpha _{a}={\frac {1}{A}}\, {\frac {da}{dT}}}
hvor a {\displaystyle A}
er et område af interesse for objektet, og d a / d t {\displaystyle da/dT}
er ændringshastigheden for dette område pr.
ændringen i området kan estimeres som:
Lira A a = Lira a Lira t {\displaystyle {\frac {\Delta a}{a}}=\alpha _{A}\Delta T}
denne ligning fungerer godt, så længe arealudvidelseskoefficienten ikke ændrer sig meget over temperaturændringen i Lira t {\displaystyle \ Delta T}
, og den fraktionerede ændring i området er lille bogstav A / A-bogstav 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1}
. Hvis en af disse betingelser ikke holder, skal ligningen integreres.
for et fast stof kan vi ignorere virkningerne af tryk på materialet, og den volumetriske termiske udvidelseskoefficient kan skrives:
liter V = 1 v d v d t {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\, {\frac {dV}{dT}}}
hvor v {\displaystyle V}
er materialets volumen, og d V / d t {\displaystyle dV/dT}
er hastigheden for ændring af dette volumen med temperatur.
dette betyder, at volumenet af et materiale ændres med en fast brøkdel. For eksempel kan en stålblok med et volumen på 1 kubikmeter udvides til 1.002 kubikmeter, når temperaturen hæves med 50 K. Dette er en udvidelse på 0,2%. Hvis vi havde en blok af stål med et volumen på 2 kubikmeter, ville det under de samme betingelser udvides til 2.004 kubikmeter, igen en udvidelse på 0,2%. Den volumetriske ekspansionskoefficient ville være 0,2% for 50 K eller 0,004% K−1.
hvis vi allerede kender udvidelseskoefficienten, kan vi beregne volumenændringen
list V v = list V list t {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}
hvor list V / v {\displaystyle \Delta V/V}
er den fraktionerede ændring i volumen (f.eks. 0,002) og den fraktionerede ændring i volumen (\displaystyle \Delta T}
er ændringen i temperatur (50 liter C).
ovenstående eksempel antager, at ekspansionskoefficienten ikke ændrede sig, da temperaturen ændrede sig, og stigningen i volumen er lille sammenlignet med det oprindelige volumen. Dette er ikke altid sandt, men for små temperaturændringer er det en god tilnærmelse. Hvis den volumetriske ekspansionskoefficient ændres mærkbart med temperaturen, eller stigningen i volumen er signifikant, skal ovenstående ligning integreres:
ln ( V + Δ V, V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \da \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{jeg}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT}
Δ V V = exp ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{jeg}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\højre)-1}
hvor α V ( T ) {\displaystyle \alpha _{V}(T)}
er den volumetriske ekspansionskoefficient som en funktion af temperatur T, og T i {\displaystyle T_{i}}
, T f {\displaystyle T_{f}}
er henholdsvis de indledende og endelige temperaturer.
isotrope materialerredit
for isotrope materialer er den volumetriske termiske udvidelseskoefficient tre gange den lineære koefficient:
list V = 3 list l {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}
dette forhold opstår, fordi volumen er sammensat af tre indbyrdes ortogonale retninger. Således er en tredjedel af den volumetriske ekspansion i et isotrop materiale til små differentielle ændringer i en enkelt akse. Som et eksempel, tage en terning af stål, som har sider af længde L. Den originale lydstyrke, vil blive V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
og den nye diskenhed, efter en temperaturstigning, vil blive V + Δ V = ( L + ∆ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 ∆ L + 3 L ∆ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 ∆ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+ \ Delta V=(L+ \ Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\Ca.L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \over L}.}
vi kan let ignorere vilkårene, da ændring i L er en lille mængde, som ved kvadrering bliver meget mindre.
så
L V V = 3 l l l = 3 L L L T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = 3 {\Delta L \ over L}=3 \ alpha _{L} \ Delta T.}
ovennævnte tilnærmelse gælder for små temperatur-og dimensionelle ændringer (det vil sige, når det er t {\displaystyle \ Delta T}
og L {\displaystyle \Delta L}
er små); men det holder ikke, hvis vi forsøger at gå frem og tilbage mellem volumetriske og lineære koefficienter ved hjælp af større værdier af L {\displaystyle \Delta T}
. I dette tilfælde skal det tredje udtryk (og nogle gange endda det fjerde udtryk) i ovenstående udtryk tages i betragtning.
på samme måde er områdets termiske udvidelseskoefficient to gange den lineære koefficient:
List A = 2 list L {\displaystyle \alpha _{a}=2\alpha _{L}}
dette forhold kan findes på en måde, der ligner den i det lineære eksempel ovenfor, idet man bemærker, at arealet af et ansigt på terningen kun er L 2 {\displaystyle l^{2}}
. Der skal også tages de samme overvejelser, når man beskæftiger sig med store værdier af kur T {\displaystyle \Delta T}
.
kort sagt, hvis længden af et fast stof udvides fra 1 m til 1, 01 m, udvides området fra 1 m2 til 1, 0201 m2, og volumenet udvides fra 1 m3 til 1, 030301 m3.
anisotrope materialerredit
materialer med anisotrope strukturer, såsom krystaller (med mindre end kubisk symmetri, for eksempel martensitiske faser) og mange kompositter, vil generelt have forskellige lineære ekspansionskoefficienter l {\displaystyle \ alpha _{L}}
i forskellige retninger. Som følge heraf fordeles den samlede volumetriske ekspansion ulige mellem de tre akser. Hvis krystalsymmetrien er monoklinisk eller triclinisk, er vinklerne mellem disse akser udsat for termiske ændringer. I sådanne tilfælde er det nødvendigt at behandle varmeudvidelseskoefficienten som en tensor med op til seks uafhængige elementer. En god måde at bestemme tensorens elementer på er at studere udvidelsen ved hjælp af røntgenpulverdiffraktion. Den termiske udvidelseskoefficient tensor for de materialer, der besidder kubisk symmetri (for eksempel FCC, BCC) er isotrop.