(b. Finn Xhamy, egy sziget közelében Stavanger, Norvégia, 5 augusztus 1802; d. Froland, Norvégia, 6 április 1829)
matematika.
Ábel apja, s Enterpren Georg Abel, evangélikus lelkész volt, maga pedig egy lelkész fia. Tehetséges és ambiciózus teológus volt, a Koppenhágai Egyetemen tanult, amely akkoriban az egyetlen ilyen intézmény volt Dánia-Norvégia Egyesült királyságában. Feleségül vette Ane Marie Simonsont, egy gazdag kereskedő és hajótulajdonos lányát a déli parton fekvő ris Kb városában. Finnország volt az első plébánia Ábel lelkész számára; kicsi és fárasztó volt, több szigetből állt. A házaspárnak hét gyermeke született, hat fia és egy lánya; Niels Henrik volt a második gyermekük.
az 1804-es években a D. O. Georg Abel nevezték ki utódja apja a plébánia Gjerstad, közel ris Kb. A norvégiai politikai helyzet feszült volt. A Dániával kötött szövetség miatt az országot a napóleoni háborúk Franciaország oldalán, a partok Brit blokádja pedig széles körű éhínséget okozott. Abel lelkész kiemelkedő szerepet játszott a nacionalista mozgalomban, külön Norvég intézmények—különösen egy egyetem és egy nemzeti bank-létrehozásán dolgozott, ha nem is a teljes függetlenségért. A Kieli békeszerződés megkötésekor Dánia átengedte Norvégiát Svédországnak. A norvégok fellázadtak és saját alkotmányt írtak, de egy rövid és hiábavaló háború után a svédek ellen Bernadotte alatt kénytelenek voltak fegyverszünetet kérni. Elfogadták a Svédországgal való egyesülést, Abel apja pedig az 1814 őszén felhívott rendkívüli Storting egyik tagja lett, hogy megírja az új alkotmány szükséges felülvizsgálatát.
Niels Henrik Abel és testvérei apjuktól kapták az első tanítást, de 1815-ben Ábelt és bátyját a Christiania (Oslo) székesegyházi iskolába küldték. Ez egy régi iskola volt, ahová a tartomány számos köztisztviselője küldte gyermekeit; néhány ösztöndíj rendelkezésre állt. A székesegyházi iskola kiváló volt, de akkor mélyponton volt, mert jó tanárainak többsége állást fogadott el az új Egyetemen, amely 1813-ban kezdte meg az oktatást.
Ábel csak tizenhárom éves volt, amikor elhagyta otthonát, és valószínűnek tűnik, hogy a romló családi élet felgyorsította távozását. Az első néhány évben a jegyei csak kielégítőek voltak; aztán munkájának minősége romlott. A testvére még rosszabbul járt; mentális betegség jeleit kezdte mutatni, végül haza kellett küldeni.
1817-ben egy esemény történt az iskolában, amelynek célja Abel életének megváltoztatása volt. A matematikatanár rosszul bánt az egyik tanulóval, aki nem sokkal később meghalt, valószínűleg a büntetés következtében. A tanárt röviden elbocsátották, helyét Bernt Michael Holmboe vette át, aki csak hét évvel volt idősebb Ábelnél. Holmboe asszisztensként is szolgált Christoffer Hansteen-nek, a csillagászat professzorának és az egyetem vezető tudósának.
Holmboe nem tartott sokáig, hogy felfedezze a fiatal Abel rendkívüli képességét a matematikában. Azzal kezdte, hogy különleges problémákat adott neki,és az iskolai tanterven kívüli könyveket ajánlott. A két, majd elkezdte tanulmányozni együtt a kalkulus szövegeit Euler, majd a munkálatok a francia matematikusok, különösen Lagrange és Laplace. Ábel olyan gyorsan haladt előre, hogy hamarosan ő lett az igazi tanító. Az Oslói Egyetem könyvtárában megőrzött jegyzetfüzetekből látható, hogy még ezekben a korai napokban is különösen érdekelte az algebrai egyenletelmélet. Mire befejezte az iskolát, ismerte a legtöbb fontos matematikai irodalmat. Holmboe annyira örült a matematikai zseni rájött, hogy a rektor az iskola tette mérsékelt kijelentéseit Abel a rekord könyv. Holmboe azonban az egyetem professzorait jól tájékoztatta az ígéretes fiatalemberről, és személyesen is megismerkedett vele. Emellett Hansteen, aki szintén tanított alkalmazott matematika, már csak egy matematika professzora. Rasmussen, a székesegyház Iskolájának volt tanára. Rasmussen, kedves ember, nem volt produktív tudós; idejét nagyrészt a kormány által ráruházott feladatok vették igénybe, különösen az új norvég Bank adminisztrátori posztján.
utolsó iskolai évében Ábel a fiatalság lendületével és szemérmetlenségével támadta a kvintikus egyenlet megoldásának problémáját. Ez a probléma a tizenhatodik század első felében del Ferro, Tartaglia, Cardano és Ferrari napjai óta kiemelkedő volt. Ábel úgy vélte, hogy sikerült megtalálnia a megoldás formáját, de Norvégiában senki sem volt képes megérteni érveit, és nem volt olyan tudományos folyóirat, amelyben közzétehették volna őket. Hansteen továbbította a papírt a dán matematikusnak Ferdinand Degen, kérve annak közzétételét a dán Akadémia.
Degen nem talált hibát az érvekben, de kérte, hogy Ábel illusztrálja módszerét egy példával. Degen is kissé sterilnek találta a témát, és azt javasolta, hogy Abel fordítsa figyelmét egy olyan témára, ” amelynek fejlődése a legnagyobb következményekkel járna az elemzésre és a mechanikára. Az elliptikus transzcendentálisokra utalok . Egy komoly kutató, aki megfelelő képesítéssel rendelkezik az ilyen jellegű kutatáshoz, semmiképpen sem korlátozódna e figyelemre méltó funkciók Sok gyönyörű tulajdonságára, hanem felfedezhet egy Magellán-szorost, amely egy hatalmas analitikus óceán széles kiterjedésébe vezet” (levél Hansteennek).
Ábel elkezdte építeni példáit az ötödik fokú egyenlet megoldására, de megdöbbenésére felfedezte, hogy módszere nem helyes. Követte Degen javaslatát az elliptikus transzcendentálisokról, és valószínű, hogy néhány éven belül lényegében befejezte az elliptikus függvények elméletét.
1818-ban Abel lelkészt 1816-ban sikertelen licit után újraválasztották a Stortingba. De politikai karrierje tragédiával végződött. Erőszakos, megalapozatlan vádakat tett más képviselőkkel szemben, és felelősségre vonással fenyegették. Ez a részegségével együtt a sajtó fenekévé tette. Szégyenteljesen, kiábrándult emberként tért haza. Mind ő, mind a felesége alkoholizmusban szenvedett, és a plébánián és a plébánián a körülmények botrányosak lettek. Általában megkönnyebbülésnek tekintették, amikor 1820-ban meghalt. Özvegye nagyon nehéz körülmények között maradt, kis nyugdíja alig volt elegendő ahhoz, hogy eltartsa őt és sok gyermekét.
a nincstelen Ábel lépett be az egyetem őszén 1821. Szabad szobát kapott az egyetemi kollégiumban, és engedélyt kapott arra, hogy megossza öccsével, Pederrel. De az új intézmény nem volt ösztöndíj alapok, és néhány professzor vette a szokatlan intézkedés támogatja a fiatal matematikus ki a saját fizetését. Vendég volt a házaikban, és különösen vonzódott a Hansteen otthonhoz, valamint Mrs. Hansteenhez és nővéreihez.
Abel első feladata az egyetemen az volt, hogy megfeleljen a követelményeknek az előzetes diploma, Candidatus Philosophiae. Miután ezt elérték, egy év után Ábel teljesen egyedül volt tanulmányaiban. Nem voltak haladó tanfolyamok a matematikában és a fizikai tudományokban, de úgy tűnik, hogy ez nem volt hátrány; egy kicsit később Párizsból küldött levelében kijelentette, hogy gyakorlatilag mindent elolvasott a matematikában, fontos vagy nem fontos.
idejét a fejlett kutatásnak szentelte, és erőfeszítései nagy lendületet kaptak, amikor Hansteen tudományos folyóiratot, magazint indított a Naturvidenskaben számára. 1823-ban ez a folyóirat megjelent Abel első cikk, norvég, tanulmány a funkcionális egyenletek. Matematikailag nem volt fontos. a második kis könyv sem volt. A magazin előfizetőinek azonban népszerű kritikát ígértek, Hansteen pedig valószínűleg kritika után kötelességének érezte, hogy bocsánatot kérjen ezeknek a lapoknak a jellege miatt: “ezért úgy gondolom, hogy a magazinnak a tudományos anyagok mellett tovább kell fejlesztenie az elemzésüket szolgáló eszközöket is. Becsületünkre válik, hogy lehetőséget adtunk a művelt közönségnek, hogy megismerkedjen egy művével, amelyet e tehetséges és ügyes szerző tollából készített ” (Magazin, 1). Abel következő papír, “OPL Xhamsning afet Par Opgaver ved bjoelp a bestemte Integraler” (“megoldás néhány probléma révén határozott integrálok”), fontos a matematika történetében, mivel ez tartalmazza az első megoldás egy integrált egyenlet. A papír, amely észrevétlen maradt abban az időben, részben azért, mert ez volt a norvég, foglalkozik a mechanikai probléma a mozgás egy tömeg pont egy görbe hatása alatt a gravitáció. 1822-1823 telén Abel hosszabb munkát is készített a funkcionális kifejezések integrálásáról. A dokumentumot abban a reményben nyújtották be az egyetemi kollégiumhoz, hogy ez a testület segíteni fogja annak közzétételét. a kézirat eltűnt, de valószínűnek tűnik, hogy a benne kapott eredmények egy részét Ábel későbbi cikkei tartalmazzák.
kora nyarán 1823 Abel kapott ajándékot 100 daler professzor Rasmussen finanszírozására egy utat Koppenhágába, hogy megfeleljen Degen és a többi Dán matematikusok. Holmboe-nak írt levelei feltárják a kapott matematikai inspirációt. Nagybátyja házában maradt, és itt ismerkedett meg leendő vőlegényével, Christine Kemp-pel.
miután visszatért Oslóba, Abel ismét felvetette a kvintikus egyenlet megoldásának kérdését. Ezúttal fordított nézetet vett, és sikerült megoldania az évszázados problémát azáltal, hogy bebizonyította egy radikális kifejezés lehetetlenségét, amely az Általános ötödik vagy magasabb fokú egyenlet megoldását képviseli. Ábel teljesen felismerte eredményének fontosságát, ezért saját költségén közzétette egy helyi nyomdában. A nagy közönség elérése érdekében franciául írta: “tézis az algebrai egyenletekről, ahol bemutatjuk az ötödik fokozat általános egyenletének megoldásának lehetetlenségét.”A költségek megtakarítása érdekében az egész röpiratot hat oldalra tömörítették. Az ebből eredő rövidség valószínűleg megnehezítette a megértést; mindenesetre egyik külföldi matematikus sem reagált—beleértve a nagy C. F. Gaussot is, akinek másolatot küldtek.
világossá vált, hogy Ábel már nem élhet a professzorok támogatásával. Pénzügyi problémáit fokozta Christine Kemp iránti elkötelezettsége. aki egy Oslo közelében élő család gyermekeinek nevelőnőjeként érkezett Norvégiába.
Ábel utazási támogatást kért, és némi késés után a kormány úgy döntött, hogy Ábelnek egy kis ösztöndíjat kell kapnia az egyetem nyelveinek tanulmányozására, hogy felkészítse őt a külföldi utazásokra. Ezután 600 daler támogatást kapott kétéves külföldi tanulmányokra.
Abel csalódott volt a késés, de kötelességtudóan tanult nyelveket, különösen a francia, és használja az idejét, hogy készítsen jelentős számú papírokat kell bemutatni a külföldi matematikusok. 1825 nyarán négy barátjával együtt távozott. mindannyian fel akartak készülni a jövőbeli tudományos karrierre is: egyikük később orvosprofesszor lett, a másik három pedig geológus lett. Abel barátai minden tervezett menni Berlinbe, míg Abel, hansteen tanácsára, az volt, hogy időt tölteni Párizsban, majd a világ fő központja a matematika. Ábel azonban félt, hogy magányos lesz, és úgy döntött, hogy Berlinbe megy, bár jól tudta, hogy védelmezőjének nemtetszését fogja okozni.
Ábel meggondolása a legszerencsésebb döntésnek bizonyult. Áthaladó Koppenhága, Abel megtudta, hogy Degen meghalt, de biztosított ajánlólevelet az egyik másik dán matematikusok titkos tanácsos August Leopold Crelle. Crelle volt egy nagyon befolyásos mérnök, intenzíven érdekli a matematika, bár nem maga egy erős matematikus.
amikor Ábel először hívta fel Crelle-t, némi nehézséget okozott neki megérteni magát. De egy idő után Crelle felismerte fiatal látogatójának szokatlan tulajdonságait. A kettő életre szóló barátok lettek. Ábel átadta neki a kvintikus egyenletről szóló brosúrájának egy példányát, de Crelle bevallotta, hogy ez érthetetlen számára, és javasolta, hogy Ábel vonagoljon annak kibővített változatát. Beszéltek a matematika rossz állapotáról Németországban. Egy levelet Hansteen kelt Berlin, December 5, 1825, Abel írta:
amikor kifejezte meglepetését az a tény, hogy nem létezett matematikai folyóirat, mint Franciaországban, azt mondta, hogy már régóta szándékozik szerkeszteni egy, És jelenleg hozza a tervét a végrehajtás. Ez a projekt most meg van szervezve, és nagy örömömre szolgál, mert lesz egy helyem, ahol néhány cikkemet Kinyomtathatom. Már elkészítettem négyet, amelyek az első számban jelennek meg.
Journal F die reine und angewandte Mathematik, vagy Crelle ‘ s Journal, mint közismert, volt a vezető német matematikai folyóirat során a tizenkilencedik században. Az első kötet önmagában tartalmaz hét papírok Abel és a következő kötetek tartalmaznak még sok más, legtöbbjük kiemelkedő jelentőségű a matematika történetében. Az elsők között szerepel az Általános kvintikus egyenlet gyökök általi megoldásának lehetetlenségének bizonyítékának kibővített változata. Itt Abel fejleszti a szükséges algebrai hátteret, beleértve az algebrai mezőbővítmények megvitatását. Ábel ekkor még nem volt tisztában azzal, hogy előfutára, Paolo Ruffini olasz matematikus volt. De egy posztumusz papírt az egyenletek, amelyek megoldhatók a radikálisok Abel Államok: “Az egyetlen előttem, ha nem tévedek, aki megpróbálta bizonyítani az Általános egyenletek algebrai megoldásának lehetetlenségét, Ruffini matematikus, de dolgozata annyira bonyolult, hogy nagyon nehéz megítélni érveinek helyességét. Számomra úgy tűnik, hogy ez nem mindig kielégítő.”Az eredményt általában Abel-Ruffini tételnek nevezik.
Abel Oslóból való távozása után olyan esemény történt, amely sok aggodalmat okozott neki. Rasmussen találta professzori matematika túl megterhelő, ha együtt a közfeladatait. Lemondott, és nem sokkal később a kar megszavazta Holmboe kinevezését a megüresedett hely betöltésére. Ábel Norvég barátai nagyon igazságtalannak találták az akciót, és valószínűleg maga Ábel is így érzett. Ennek ellenére meleg gratuláló levelet írt korábbi tanárának, akik jó barátok maradtak. De nyilvánvaló, hogy Ábel ettől a pillanattól kezdve aggódott a jövője és a közelgő házassága miatt; a szülőhazájában nem volt számára tudományos álláspont.
A berlini tél folyamán Abel hozzájárult Crelle folyóiratához; a figyelemre méltó cikkek között szerepel az egyik a binomiális képlet általánosításáról, a másik pedig a négyzetgyök kifejezések integrálásáról. De az egyik fő matematikai aggályok hiánya volt szigorúság a kortárs matematika. Többször is megemlítette Holmboe-nak írt leveleiben. Az egyik ilyen, kelt január 16, 1826, írta:
A szemem a legmeglepőbb módon nyílt meg. Ha figyelmen kívül hagyjuk a legegyszerűbb eseteket, a matematikában nincs egyetlen végtelen sorozat sem, amelynek összegét szigorúan meghatározták volna. Más szavakkal, a matematika legfontosabb részei alap nélkül állnak. Igaz, hogy a legtöbb érvényes, de ez nagyon meglepő. Küzdök, hogy megtaláljam az okát, egy rendkívül érdekes probléma.
ennek eredményeként a harc volt a klasszikus papír Teljesítmény sorozat, amely számos általános tételek, valamint, mint alkalmazás, a szigorú meghatározása az összeg a binomiális sorozat tetszőleges valós vagy komplex kitevők.
1826 kora tavaszán Ábel kötelességének érezte, hogy eredeti rendeltetési helyére, Párizsba menjen. Crelle megígérte, hogy elkíséri őt, és útközben meg akartak állni G. A.-ban, hogy meglátogassák Gauss-t. Sajnos az üzleti nyomás megakadályozta Crelle – t abban, hogy elhagyja Berlint. Ugyanakkor Abel Norvég barátai geológiai kirándulást terveztek Közép-Európán keresztül, és ismét vonakodva, hogy elszakadjon tőlük, csatlakozott a csoporthoz. Autóbusszal utaztak Csehországon, Ausztrián, Észak-Itálián és az Alpokon keresztül. Ábel csak júliusban érte el Párizst, kevés pénz volt a drága utazás után.
A párizsi látogatás csalódást okozott. Az egyetemi vakáció csak akkor kezdődött, amikor Abel megérkezett, visszatért, azt találta, hogy ők zárkózott és nehéz megközelíteni; ez csak futólag, hogy találkozott Legendre, akinek fő érdeke az öregségi elliptikus integrálok, Abel saját specialitása. A Francia Tudományos Akadémiának való bemutatáshoz Abel fenntartott egy papírt, amelyet remekművének tartott. Egy adott algebrai függvény integráljainak összegével foglalkozott. Abel tétele kimondja, hogy bármely ilyen összeg kifejezhető rögzített számként o ezeknek az integráloknak az integrációs argumentumai, amelyek az eredeti argumentumok algebrai funkciói. A minimális p szám az algebrai függvény nemzetsége, és ez az alapvető mennyiség első előfordulása. Abel tétele az elliptikus integrálok Euler-relációjának hatalmas általánosítása.
Abel első hónapjait Párizsban töltötte nagy emlékiratának kitöltésével; ez az egyik leghosszabb tanulmánya, amely széles körű elméletet tartalmaz alkalmazásokkal. Bemutatták, hogy a tudományos Akadémia október 30-án 1826, a cím alatt “Mémoire sur une propriété générale d’ une classe az iskolának-étendue de fonctions transcendantes.”Cauchyt és Legendre-t nevezték ki játékvezetőnek, Cauchy volt az elnök. Számos fiatal férfi gyorsan megkülönböztetett, amikor műveiket elfogadta az Akadémia, Ábel pedig várta a játékvezetők jelentését. Nem érkezett jelentés, azonban; valóban, csak akkor adták ki, amikor Ábel halála kényszerítette megjelenését. Úgy tűnik, hogy Cauchy volt a hibás; később azt állította, hogy a kézirat olvashatatlan.
Ábel következő két hónapja Párizsban borús volt, kevés pénze és kevés ismerőse volt. Találkozott P. G. L. Dirichlet, a junior három évvel, és már egy jól ismert matematikus, egy papírt az Akadémia által támogatott Legendre. Egy másik ismerőse volt fr. D. D. Saigey, a ferrusac ‘s Bulletin tudományos revü szerkesztője, akinek Abel írt néhány cikket, különösen a Crelle’ s Journal saját cikkeiről. Karácsony után Utolsó forrásait arra fordította, hogy kifizesse viteldíját Berlinbe.
röviddel azután, hogy visszatért Berlinbe. Abel megbetegedett; úgy tűnik, hogy akkor szenvedett a tuberkulózis első támadásától, amely később életét követelte. Kölcsönkért egy kis pénzt Holmboe-tól, és Crelle valószínűleg segített neki. Ábel vágyott arra, hogy visszatérjen Norvégiába, de kénytelen volt külföldön maradni, amíg ösztöndíja lejárt. Crelle megpróbálta Berlinben tartani, amíg állást nem talált számára egy német egyetemen; időközben felajánlotta neki a folyóirat szerkesztését.
Ábel szorgalmasan dolgozott egy új papíron: “Recherches sur les fonctions elliptiques.”legkiterjedtebb kiadványa(125 oldal az Életművekben complitute). Ebben a munkában gyökeresen átalakította az elmélet elliptikus integrálok az elmélet elliptikus függvények segítségével az inverz függvények megfelelő a legalapvetőbb esetben a kettősség
az elliptikus függvények ezáltal válik egy hatalmas és természetes általánosítása a trigonometrikus függvények; nyomán Abel munkája voltak, hogy az egyik kedvenc kutatási témák a matematika során a tizenkilencedik században. Abel már kifejlesztett a legtöbb elmélet, mint egy diák Oslóban, így képes volt bemutatni az elmélet elliptikus függvények nagy gazdag részletességgel, beleértve a kettős periodicitás, bővítések végtelen sorozat és a termékek, és emellett tételek. Az elmélet az argumentum többszörösének függvényeinek kifejezéséhez vezetett, a frakcionált argumentumok egyenleteinek egyidejű meghatározásával, valamint azok gyökök általi megoldásával, sok olyan módon, ahogyan Gauss kezelte a ciklotomikus egyenleteket: Abel levelei Holmboe (Párizsból December 1826 és Berlin március 4-én 1827) azt mutatják, hogy ő volt különösen lenyűgözte a meghatározása a feltétele a lemniscate osztható egyenlő részekre útján iránytű és vonalzó, analóg Gauss építése szabályos sokszögek. Az utolsó rész az úgynevezett komplex szorzás elméletével foglalkozik, amely később olyan fontos az algebrai számelméletben.
Abel visszatért Oslo május 20-án 1827, hogy megtalálja, hogy a helyzet otthon volt, komor, mint félt. Nem volt kilátása, nem volt közössége, és rengeteg adóssága. Kérelmét, hogy ösztöndíját meghosszabbítsák, a Pénzügyminisztérium elutasította, de az egyetem bátran odaítélt neki egy kis ösztöndíjat csekély pénzeszközeiből. Ezt az akciót az osztály bírálta, amely fenntartotta a jogot arra, hogy az összeget levonják az esetleges jövőbeni fizetésből.
Ábel menyasszonya új állást talált Abel családjának barátaival, az Arendal melletti Froland-I vasgyár tulajdonosának családjával. Az ősz folyamán Abel Oslóban élt iskolások korrepetálásával, valószínűleg barátok segítségével . Az új évben a helyzet fényesebbé vált. Hansteen, a geomágneses tanulmányok úttörője, két évre nagy támogatást kapott a Föld mágneses mezőjének feltáratlan Szibériában történő vizsgálatára. Időközben Abel helyettesítette mind az egyetemen, mind a norvég Katonai Akadémián.
A “Recherches” első része 1827 szeptemberében jelent meg a Crelle ‘ s Journal-ban, Ábel pedig a tél folyamán fejezte be a második részt. Elszigetelten élt Oslóban; nem volt csomagot a tél folyamán, és nem volt sejtése az érdeklődés a memoár hozta létre az Európai matematikusok. Azt sem tudta, hogy a versenytárs jelent meg a területen elliptikus függvények elejéig 1828-ban, amikor Hansteen megmutatta neki a szeptemberi számában Astronomische Nachrichten. Ebben a folyóiratban egy fiatal német matematikus, K. G. J. Jacobi bizonyíték nélkül bejelentette az elliptikus integrálok transzformációs elméletével kapcsolatos eredményeket. Ábel sietve megjegyzést fűzött a “Recherches” második részének kéziratához, bemutatva, hogy Jacobi eredményei a saját következményei voltak.
Ábel nagyon is tisztában volt azzal, hogy egy faj közeleg. Megszakította az egyenletek elméletéről szóló nagy cikket, amelynek tartalmaznia kellett a radikálisok által megoldható összes egyenlet meghatározását: a közzétett rész tartalmazta azoknak az egyenleteknek az elméletét, amelyeket ma Abelian néven ismernek. Ezután írt, gyors egymásutánban, egy sor papírokat elliptikus függvények. Az első az volt, “megoldás d’ un probleme g adaptation des fonctions elliptiques.”Ezt, Jacobira adott közvetlen válaszát az Astronomische Nachrichten-ben tették közzé; a többiek Crelle folyóiratában jelentek meg. Továbbá, Abel készített egy könyvhosszú emlékiratot, “PR Adapcis d’ une TH des fonctions elliptiques,”, amelyet halála után tettek közzé. Jacobi viszont csak rövid közleményeket írt, amelyek nem tárták fel módszereit; ezeket könyvének tartották fenn, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829).
sokat írtak az elliptikus függvények korai elméletéről. Úgy tűnik, nem kétséges, hogy Ábel több évvel Jacobi előtt birtokolta az ötleteket. Másrészt az is bizonyított tény, hogy Gauss, bár semmit sem tett közzé, már jóval Abel vagy Jacobi előtt felfedezte az elliptikus függvények elveit.
az Európai matematikusok lenyűgözően figyelték a két fiatal matematikus közötti versenyt. Legendre észrevette Jacobi bejelentéseit, és levelet is kapott tőle. A Francia Akadémia 1827. novemberi ülésén dicsérte az új matematikai csillagot; a beszédet az újságok reprodukálták, Legendre pedig elküldte a vágást Jacobinak. Válaszában Jacobi, miután kifejezte köszönetét, rámutatott Ábel “Recherches” – jére és annak általános eredményeire. Legendre így válaszolt: “ezekkel a munkákkal ti ketten korunk legkiválóbb elemzőinek osztályába kerültök.”Ő is kifejezte csalódottságát Jacobi módszerét közzétételi és bosszús volt, amikor Jacobi bevallotta, hogy annak érdekében, hogy ebből néhány az ő eredményeit kellett támaszkodnia Ábel papír. Körülbelül ebben az időben Ábel levelezést kezdett Legendre – vel, és kiárasztotta neki ötleteit.
minden, amit az Európai matematikusok tudott Abel állapota Norvégiában volt, hogy ő csak egy ideiglenes pozíciót, és a közelmúltban kénytelen volt tutor Iskolás, hogy megéljen. Információik fő forrása Crelle volt, aki folyamatosan felhasználta befolyását, hogy megpróbálja kinevezni Abelt egy új, Berlinben létrehozandó tudományos intézetbe. A fejlődés azonban nagyon lassú volt. 1828 szeptemberében a Francia Tudományos Akadémia négy prominens tagja megtette azt a rendkívüli lépést, hogy petíciót intézett közvetlenül Bernadotte-hoz, most XIV. Károly norvég—svéd királyhoz, felhívva a figyelmet Abelre, és sürgette, hogy megfelelő tudományos pozíciót hozzanak létre számára. Ülésén az Akadémia, február 25-én 1829-ben Legendre is tisztelegni Ábel és a felfedezések, különösen az ő eredményeit az elmélet egyenletek.
időközben Abel, annak ellenére, hogy a romló egészségi, írt új papírokat kétségbeesetten. Az 1828-as nyári vakációt a Froland birtokon töltötte vőlegényével. Karácsonykor ragaszkodott hozzá, hogy újra meglátogassa, annak ellenére, hogy intenzív hidegben több napos utazást igényelt. Lázas volt, amikor megérkezett, de élvezte a családi karácsonyi ünnepséget. Lehet, hogy volt egy előérzete, hogy napjai meg vannak számlálva, de most attól tartott, hogy a nagy papír benyújtott Francia Akadémia örökre elveszett. Ezért írt egy rövid feljegyzést: “demonstrációs d’ une proprieretconstruction d ‘une proprientconstruct d’ une enterprale d ‘une certaine classe de fonctions transcendantes”, amelyben bizonyítékot adott a fő tételről. Ő postán, hogy Crelle január 6-án 1829.
amíg a szánkóra várt, amely vissza akarta vinni Oslóba, Ábel heves vérzést szenvedett; az orvos tuberkulózisként diagnosztizálta betegségét, és hosszabb ágynyugalmat rendelt el. Áprilisban halt meg, huszonhat éves korában, hóvihar idején a szomszédos Froland templomban temették el. A sírt barátai által felállított emlékmű jelöli. Egyikük, Baltazar Keilhau írt Christine Kemp-nek anélkül, hogy valaha is látta volna, és házassági ajánlatot tett neki, amelyet elfogadott. Két nappal Abel halála után Crelle örömmel írt, hogy tájékoztassa őt arról, hogy berlini kinevezését biztosították.
június 28-án 1830-ban a Francia Tudományos Akadémia elnyerte a Grand Prix Abel és Jacobi a kiemelkedő matematikai felfedezések. Intenzív párizsi keresés után újra felfedezték Ábel nagy emlékiratának kéziratát. 1841-ben jelent meg, tizenöt évvel azután, hogy benyújtották. A nyomtatás során ismét eltűnt, csak 1952-ben jelent meg Firenzében.
Crelle kiterjedt gyászbeszédet írt Abelről a naplójában (4 , 402):
Ábel összes műve a találékonyság és a gondolaterő lenyomatát hordozza, amely szokatlan és néha elképesztő, még akkor is, ha a szerző fiatalságát nem veszik figyelembe. Azt lehet mondani, hogy képes volt áthatolni minden akadályt egészen a problémák alapjáig, ellenállhatatlannak tűnő erővel; rendkívüli energiával támadta meg a problémákat; felülről tekintett rájuk, és olyan magasra tudott szárnyalni jelenlegi állapotuk felett, hogy zsenialitásának győztes támadása alatt minden nehézség eltűnt…. De nem csak nagy tehetsége volt az, amely megteremtette Ábel tiszteletét, és veszteségét végtelenül sajnálatossá tette. Jellemének tisztaságával és nemességével és ritka szerénységével egyaránt megkülönböztette magát, amely személyét ugyanolyan szokatlan mértékben tisztelte, mint zsenialitását.
bibliográfia
I. eredeti művek. Ábel teljes műveit két kiadásban teszik közzé, Oeuvres compl enterpres de N. H. Abel, math Enterprises, Szerk. és kommentálta B. Holmboe (Oslo, 1839), és nouvelle Enterprises, M. M. L. Sylow és S. Lie, Szerk., 2 köt. (Oslo, 1881).
II. másodlagos Irodalom. Az Ábel életéről szóló anyagok közé tartozik Niels Henrik Abel: M 6morial publi ~ I ‘ occasion du centenaire de sa naissance (Oslo, 1902), amely magában foglalja a szövegben idézett összes betűt; és O. Ore, Niels Henrik Abel; rendkívüli matematikus (Minneapolis, Minn., 1957).
Oystein Érc