Osservazioni generali
Probabilmente l’approccio più naturale alla logica formale è attraverso l’idea della validità di un argomento del tipo noto come deduttivo. Un argomento deduttivo può essere approssimativamente caratterizzato come quello in cui si afferma che una proposizione (la conclusione) segue con stretta necessità da qualche altra proposizione o proposizioni (le premesse)—cioè, che sarebbe incoerente o auto-contraddittorio affermare le premesse ma negare la conclusione.
Se un argomento deduttivo deve riuscire a stabilire la verità della sua conclusione, devono essere soddisfatte due condizioni ben distinte: in primo luogo, la conclusione deve seguire realmente dai locali—cioè, la deduzione della conclusione dai locali deve essere logicamente corretta—e, in secondo luogo, i locali stessi devono essere veri. Un argomento che soddisfa entrambe queste condizioni è chiamato suono. Di queste due condizioni, il logico in quanto tale si occupa solo della prima; il secondo, la determinazione della verità o della falsità delle premesse, è il compito di una disciplina speciale o di un’osservazione comune appropriata all’oggetto dell’argomento. Quando la conclusione di un argomento è correttamente deducibile dalle sue premesse, si dice che l’inferenza dalle premesse alla conclusione sia (deduttivamente) valida, indipendentemente dal fatto che le premesse siano vere o false. Altri modi di esprimere il fatto che un’inferenza è deduttivamente valida sono dire che la verità delle premesse dà (o darebbe) una garanzia assoluta della verità della conclusione o che implicherebbe un’incoerenza logica (distinta da un mero errore di fatto) supporre che le premesse fossero vere ma la conclusione falsa.
Le inferenze deduttive di cui si occupa la logica formale sono, come suggerisce il nome, quelle per le quali la validità non dipende da alcuna caratteristica del loro oggetto, ma dalla loro forma o struttura. Quindi, le due inferenze (1) Ogni cane è un mammifero. Alcuni quadrupedi sono cani. Some Alcuni quadrupedi sono mammiferi. e (2) Ogni anarchico è un credente nell’amore libero. Alcuni membri del partito di governo sono anarchici. Some Alcuni membri del partito di governo sono credenti nell’amore libero. differiscono in materia e quindi richiedono diverse procedure per verificare la verità o la falsità delle loro premesse. Ma la loro validità è assicurata da ciò che hanno in comune—vale a dire, che l’argomento in ciascuno è della forma(3) Ogni X è una Y. Alcune Z sono X. Some Alcune Z sono Y.
La riga (3) sopra può essere chiamata una forma di inferenza, e (1) e (2) sono quindi istanze di quella forma di inferenza. Le lettere-X, Y e Z-in (3) segnano i luoghi in cui possono essere inserite espressioni di un certo tipo. I simboli utilizzati per questo scopo sono noti come variabili; il loro uso è analogo a quello della x in algebra, che segna il luogo in cui un numero può essere inserito. Un’istanza di una forma di inferenza viene prodotta sostituendo tutte le variabili in essa contenute con espressioni appropriate (cioè quelle che hanno senso nel contesto) e facendolo in modo uniforme (cioè sostituendo la stessa espressione ovunque si ripeta la stessa variabile). La caratteristica di (3) che garantisce che ogni istanza di esso sarà valida è la sua costruzione in modo tale che ogni modo uniforme di sostituire le sue variabili per rendere vere le premesse rende automaticamente vera anche la conclusione, o, in altre parole, che nessuna istanza di esso può avere vere premesse ma una falsa conclusione. In virtù di questa caratteristica, la forma (3) è definita una forma di inferenza valida. Al contrario, (4) Ogni X è una Y. Alcune Z sono Y. Some Alcune Z sono X. non è una forma di inferenza valida, poiché, sebbene possano essere prodotte istanze in cui le premesse e le conclusioni sono tutte vere, possono anche essere prodotte istanze in cui le premesse sono vere ma la conclusione è falsa—ad esempio, (5) Ogni cane è un mammifero. Alcune creature alate sono mammiferi. Some Alcune creature alate sono cani.
La logica formale come studio riguarda le forme di inferenza piuttosto che con particolari istanze di esse. Uno dei suoi compiti è quello di discriminare tra forme di inferenza valide e non valide e di esplorare e sistematizzare le relazioni che tengono tra quelle valide.
Strettamente correlata all’idea di una forma di inferenza valida è quella di una forma di proposizione valida. Una forma di proposizione è un’espressione di cui le istanze (prodotte come prima da sostituzioni appropriate e uniformi per le variabili) non sono inferenze da più proposizioni a una conclusione, ma piuttosto proposizioni prese individualmente, e una forma di proposizione valida è quella per cui tutte le istanze sono proposizioni vere. Un semplice esempio è (6) Nulla è sia una X che una non-X. La logica formale riguarda le forme di proposizione e le forme di inferenza. Lo studio delle forme di proposizione può, infatti, essere fatto per includere quello delle forme di inferenza nel modo seguente: lasciare che le premesse di una data forma di inferenza (prese insieme) siano abbreviate da alfa (α) e la sua conclusione da beta (β). Quindi la condizione sopra indicata per la validità della forma di inferenza “α, quindi β” equivale a dire che nessuna istanza della forma di proposizione “α e non-β” è vera-cioè, che ogni istanza della forma di proposizione (7) Non entrambe: α e non-β è vera—o quella linea (7), completamente enunciata, ovviamente, è una forma di proposizione valida. Lo studio delle forme di proposizione, tuttavia, non può essere ugualmente ospitato sotto lo studio delle forme di inferenza, e quindi per ragioni di completezza è usuale considerare la logica formale come lo studio delle forme di proposizione. Poiché la gestione di un logico delle forme di proposizione è in molti modi analoga alla gestione di un matematico delle formule numeriche, i sistemi che costruisce sono spesso chiamati calcoli.
Gran parte del lavoro di un logico procede a un livello più astratto di quello della discussione precedente. Anche una formula come (3) sopra, sebbene non si riferisca a nessun argomento specifico, contiene espressioni come “ogni” e “è a”, che sono pensate come aventi un significato definito, e le variabili hanno lo scopo di contrassegnare i luoghi per espressioni di un particolare tipo (approssimativamente, nomi comuni o nomi di classe). È possibile, tuttavia—e per alcuni scopi è essenziale—studiare le formule senza attribuirle nemmeno questo grado di significatività. La costruzione di un sistema di logica, infatti, comporta due processi distinguibili: uno consiste nella creazione di un apparato simbolico—un insieme di simboli, regole per metterli insieme in formule e regole per manipolare queste formule; il secondo consiste nell’attribuire determinati significati a questi simboli e formule. Se solo il primo è fatto, il sistema è detto di essere non interpretato, o puramente formale; se quest’ultimo è fatto pure, il sistema è detto di essere interpretato. Questa distinzione è importante, perché i sistemi di logica risultano avere determinate proprietà indipendentemente da qualsiasi interpretazione che possa essere posta su di esse. Un sistema assiomatico di logica può essere preso come esempio, cioè un sistema in cui alcune formule non provate, note come assiomi, sono prese come punti di partenza, e ulteriori formule (teoremi) sono dimostrate sulla forza di queste. Come apparirà più avanti (vedi sotto Assiomatizzazione del PC), la domanda se una sequenza di formule in un sistema assiomatico sia una prova o meno dipende esclusivamente da quali formule sono prese come assiomi e da quali sono le regole per derivare i teoremi dagli assiomi, e non da cosa significano i teoremi o gli assiomi. Inoltre, un dato sistema non interpretato è in generale in grado di essere interpretato altrettanto bene in un certo numero di modi diversi; quindi, nello studio di un sistema non interpretato, si sta studiando la struttura che è comune a una varietà di sistemi interpretati. Normalmente un logico che costruisce un sistema puramente formale ha una particolare interpretazione in mente, e il suo motivo per costruirlo è la convinzione che quando questa interpretazione è data ad esso, le formule del sistema saranno in grado di esprimere veri principi in qualche campo del pensiero; ma, per le ragioni di cui sopra, tra gli altri, di solito si prenderà cura di descrivere le formule e indicare le regole del sistema senza riferimento all’interpretazione e di indicare come questione separata l’interpretazione che ha in mente.
Molte delle idee utilizzate nell’esposizione della logica formale, incluse alcune che sono menzionate sopra, sollevano problemi che appartengono alla filosofia piuttosto che alla logica stessa. Gli esempi sono: Qual è l’analisi corretta della nozione di verità? Cos’è una proposizione e in che modo è correlata alla frase con cui viene espressa? Ci sono alcuni tipi di ragionamento sano che non sono né deduttivo né induttivo? Fortunatamente, è possibile imparare a fare la logica formale senza avere risposte soddisfacenti a tali domande, così come è possibile fare la matematica senza rispondere a domande appartenenti alla filosofia della matematica come: I numeri sono oggetti reali o costrutti mentali?