変形(物理学)

関連項目:応力測定とひずみ速度

ひずみは、基準長さに対する体内の粒子間の変位を表す変形の尺度です。

ボディの一般的な変形は、x=F(X)の形で表すことができます。Xはボディ内の材料点の基準位置です。このような尺度は、剛体の動き（平行移動と回転）と体の形状（およびサイズ）の変化を区別しません。変形には長さの単位があります。

We could, for example, define strain to be

ε ≐ ∂ ∂ X ( x − X ) = F ′ − I , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}’-{\boldsymbol {I}},}

${\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},$

where I is the identity tensor.したがって、ひずみは無次元であり、通常は小数、百分率、または部分単位で表されます。ひずみは、与えられた変形が剛体変形と局所的にどの程度異なるかを測定します。

ひずみは一般にテンソル量である。ひずみに対する物理的な洞察は、与えられたひずみが正常成分とせん断成分に分解されることを観察することによって得ることができる。材料ライン要素または繊維に沿った伸張または圧縮の量は、通常の歪みであり、互いに上の平面層の摺動に関連する歪みの量は、変形体内のせん断これは、伸び、短縮、または体積変化、または角度歪みによって適用することができる。

連続体の材料点におけるひずみの状態は、材料線または繊維の長さのすべての変化、その点を通過する法線ひずみ、および最初に互いに垂直な対の間の角度のすべての変化の全体として定義され、この点から放射するせん断ひずみである。しかし，三つの互いに垂直な方向のセットに対するひずみの法線成分とせん断成分を知ることで十分である。

材料ラインの長さが増加する場合、通常のひずみは引張ひずみと呼ばれ、そうでない場合、材料ラインの長さが減少または圧縮される場合は圧縮ひずみと呼ばれます。

ひずみ測定編集
Engineering strainEdit
ストレッチ比編集
真ひずみ編集
緑のひずみ編集
アルマンシストレーニング
通常およびせん断ひずみ編集
Normal strainEdit
Metric tensorEdit

ひずみ測定編集

ひずみの量、または局所変形に応じて、変形の解析は三つの変形理論に細分されます:

有限ひずみ理論、大ひずみ理論、大変形理論とも呼ばれ、回転とひずみの両方が任意に大きい変形を扱っています。この場合、連続体の変形されていない構成と変形された構成は大きく異なり、それらの間で明確な区別が必要です。これは、一般的に、エラストマー、塑性変形材料および他の流体および生物学的軟組織の場合である。
微小ひずみ理論、小ひずみ理論、小変形理論、小変位理論、またはひずみと回転の両方が小さい小変位勾配理論とも呼ばれます。この場合、本体の未変形および変形構成は同一であると仮定することができる。無限小ひずみ理論は、コンクリートや鋼などの機械的および土木工学的用途に見られる材料など、弾性挙動を示す材料の変形の解析に使用されます。
大変位または大回転理論は、小さなひずみが、大きな回転と変位を前提としています。

これらの理論のそれぞれで、ひずみは異なって定義されています。工学ひずみは、機械工学および構造工学で使用される材料に適用される最も一般的な定義であり、非常に小さな変形を受ける。一方、エラストマーやポリマーなどの一部の材料では、大きな変形を受けるため、ひずみの工学的定義は適用されず、例えば1％を超える典型的な工学的ひずみは適用されないため、ストレッチ、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンシひずみなどのより複雑なひずみの定義が必要である。

Engineering strainEdit

コーシーひずみまたはエンジニアリングひずみは、力が加えられている材料本体の初期寸法に対する全変形の比として表されます。軸方向に負荷された材料線要素または繊維の工学的法線ひずみまたは工学的伸展ひずみまたは公称ひずみeは、線要素または繊維の元の長さLの単位通常のひずみは、材料繊維が伸ばされている場合は正であり、圧縮されている場合は負である。したがって、

e=Δ L L=l−L L{\displaystyle\e={\frac{\Delta L}{L}}={\frac{l−L}{L}}となる。}}}

$E={\frac{\Delta L}{L}}={\frac{l-L}{L}}Lとなります。}}$

ここで、eは工学的正規ひずみであり、Lは繊維の元の長さであり、lは繊維の最終長さである。ひずみの測定値は、多くの場合、百万分の一または微小ひずみで表されます。

真のせん断ひずみは、未変形または初期構成における互いに最初に垂直な二つの材料線要素間の角度（ラジアン単位）の変化として定義されます。工学せん断ひずみは、その角度の正接として定義され、その最大での変形の長さを力の適用平面内の垂直長で割ったものに等しく、時には計算が容易

ストレッチ比編集

ストレッチ比または伸び比は、差動ライン要素の伸びまたは法線ひずみの尺度であり、これは未変形構成または変形構成のいずこれは、材料ラインの最終長さlと初期長さLとの比として定義されます。

λ=l L{\displaystyle\\lambda={\frac{l}{L}}}{\displaystyle\lambda={\frac{l}{L}}}{\frac{l}{L}}}

${\displaystyle\lambda={\frac{l}{L}}Lとなります。}}}$

伸長比は、

e=l−L L=λ−1{\displaystyle\e={\frac{l−L}{L}}=\lambdaによって、工学ひずみに近似的に関係している。-1}

$e={\frac{l-L}{L}}=\lambda lambdaのようになります。-1$

この方程式は、法線ひずみがゼロであることを意味し、したがって、伸張がユニティに等しいときに変形はない。

伸縮率は、エラストマーなどの大きな変形を示す材料の分析に使用され、伸縮率が3または4になる前に維持できます。一方では、従来の工学材料は、コンクリートまたは鋼鉄のような大いにより低い伸張の比率で、失敗します。

真ひずみ編集

対数ひずみσ、真ひずみまたはヘンキーひずみとも呼ばれます。増分ひずみを考えると(Ludwik)

δ ψ=δ l l{\displaystyle\\delta\varepsilon={\frac{\delta l}{l}}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}{l}}}

${\displaystyle\\delta\varepsilon={\frac{\delta l}{l}}lとなります。}}}$

対数ひずみは、この増分ひずみを積分することによって得られます:

∫δ ε=∫L l δ l l ε=ln⁡(l)=ln⁡(λ)=ln⁡(1+e)=e−e2 2+3 3e−⋯{\displaystyle\{\begin{揃え}\int\delta\varepsilon&=\int_{L}^{l}{\frac{\delta l}{l}}\\\varepsilon&=\ln\left({\frac{l}{L}}\right)=\ln(\lambda)\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac{e^{2}}{2}}+{\frac{e^{3}}{3}}-\cdots\\\end{揃え}}}

${\displaystyle\{\begin{揃え}\int\delta\varepsilon=\int_{L}^{l}{\frac{\delta l}{l}}\\\varepsilon=\ln\left({\frac{l}{L}}\right)=\ln(\lambda)\\=\ln(1+e)\\=e-{\frac{e^{2}}{2}}+{\frac{e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}}$

ここで、eは工学ひずみです。対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮して、変形が一連の増分で行われるときの最終ひずみの正しい測定値を提供します。

緑のひずみ編集

主な記事：有限ひずみ理論

緑のひずみは次のように定義されています:

λ G=1 2(l2−L2L2)=1 2(λ2−1){\displaystyle\varepsilon_{G}={\tfrac{1}{2}}\left({\frac{l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac{1}{2}}(\lambda){\displaystyle\varepsilon_{G}={\tfrac{1}{2}}(\lambda){\displaystyle\varepsilon_{G}={\tfrac{1}{2}}(\lambda){\displaystyle\varepsilon_{G}={\tfrac{1}{2}}(\lambda){\displaystyle\varepsilon_{G}={\tfrac{1}{2}^{2}-1)}

${\G L^{2}-L^{2}-L^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2^{2}-1)}$

アルマンシストレーニング

主な記事: 有限ひずみ理論

オイラー＝アルマンシひずみは

ε e=1 2(l2−L2l2)=1 2(1−1ε2){\displaystyle\varepsilon_{E}={\tfrac{1}{2}}\left({\frac{l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac{1}{2}}\left（1-{\frac{1}{\lambda^{2}}}\Right）Right{2}}Rightとなります。)}

${\lambda l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2}-l^{2)}$

通常およびせん断ひずみ編集

無限小材料の二次元幾何学的変形要素。

ひずみは、正常またはせん断のいずれかに分類されます。法線ひずみは要素の面に垂直であり、せん断ひずみは要素に平行です。これらの定義は、垂直応力とせん断応力の定義と一致しています。

Normal strainEdit

フックの法則に従う等方性材料の場合、通常の応力は通常のひずみを引き起こします。正常な緊張は膨張を作り出します。

変形後に菱形の形をとる次元dx×dyを持つ二次元の無限小の長方形の材料要素を考えてみましょう。変形は変位場ｕによって記述される。からの形状は隣接する図して

l e n g t h(A)=d x{\displaystyle\mathrm{length}(AB)=dx\,}

$\mathrm{length}(AB)=dx\,$

＜5364>l e n g t h(a)=(d x+∂y∂x∂x∂y u x∂x d x) 2+(∂u y∂x d x)2=d x2(1+∂y∂x∂x∂y u x∂x)2+d x2(∂u y∂x)2=d×(1+∂y∂x∂x∂y u x∂x)2+(∂u y∂x)2≈d×(1+∂y∂x∂x∂y u x∂x){\displaystyle{\begin{揃え}\mathrm{length}(ab)&={\sqrt{\left(dx+{\frac{\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\右)^{2}}}\\&={\これは、sqrt frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)dx{2}+dx^{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)dx{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)sqrt{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)sqrt{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{)^{2}}}\\&=これは、dx frac{\partial u_{x}}{\partial x}dxがdx frac{\partial u_{y}}{\partial x}~に収束していることを意味します。)^{2}}}\\&\約dx左（1+{\frac{\部分u_{x}}{\部分x}}\右）端\{整列}}\、\！{\Displaystyle{\begin{align}\mathrm{length}(ab)={\sqrt{\left(dx+{\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)2{2}+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)dx{2}+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)dx{2}+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)>{2}+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)dx{2})^{2}}}\\={\これは、sqrt frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)dx{2}+dx^{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)dx{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)sqrt{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)sqrt{2}\left(\frac{\partial u_{y}}{)^{2}}}\\=これは、dx frac{\partial u_{x}}{\partial x}dxがdx frac{\partial u_{y}}{\partial x}~に収束していることを意味します。)^{2}}}\\\約dx左（1+{\frac{\部分u_{x}}{\部分x}}\右）端\{整列}}\、\！}

非常に小さな変位勾配に対しては、u y{\displaystyle u_{y}}の導関数の二乗が得られる。}}

$u_{y}$

は無視でき、l e n g t h(a b)≤d x+≤u x≤x d x{\displaystyle\mathrm{length}(ab)\approx dx+{\frac{\partial u_{x}}{\partial x}}dx}

$\mathrm{length}(ab)\approx dx+{\frac{\partial u_{x}}{\partial x}}dx$

矩形要素のx方向の法線ひずみは、

で定義されます。≤x=伸長元の長さ=l e n g t h(a b)-l e n g t h(a b)l e n g t h(a b)= ∂u x∂x{\displaystyle\varepsilon_{y}={\frac{\text{extension}}{\text{元の長さ}}}={\frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}}={\frac{\partial u_{x}}{\partial x}}}

$\varepsilon_{x}={\frac{\text{extension}}{\text{元の長さ}}}={\frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}}={\frac{\partial u_{x}}{\partial x}}$

同様に、通常のひずみは、y、z方向になり

ε y=∂u y∂y,ε z=∂u z∂z{\displaystyle\varepsilon_{y}={\frac{\partial u_{y}}{\partial y}}\quad,\qquad\varepsilon_{z}={\frac{\partial u_{z}}{\partial z}}\,\! Frac z=\frac{\partial u_{z}}{\partial z}!とします。u z=\frac{\partial u_{z}}{\partial z}!とすると、y z=\frac{\partial u_{z}}{\partial z}!となります。

共通記号

πまたはπ

SI単位

1、またはラジアン

からの導出その他の量

θ=π/G

工学せん断ひずみ（yxy）は、線ACとABの間の角度の変化として定義されます。したがって、

∂x y=α+β{\displaystyle\gamma_{xy}=\alpha+\beta\,\!}

$\gamma_{xy}=\alpha+\beta\,\!$

からの幾何学図して

タン⁡α=∂u y∂x d x d x+∂y∂x∂x∂y u x∂x d x=∂u y∂x1+∂y∂x∂x∂y u x∂xン⁡β=∂u x∂y d y d y+∂u y∂y d y=∂u x∂y1+∂u y∂y{\displaystyle{\begin{揃え}\タン\alpha&={\frac{{\tfrac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac{\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac{\tfrac{\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac{\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\タン\beta&={\frac{{\tfrac{\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac{\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac{\部分u_{x}}{\部分y}}{1+{\tfrac{\部分u_{y}}{\部分y}}}}端\{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}}}}

${\{整列}開始\日焼け\アルファ={\frac{{\tfrac{\部分u_{y}}{\部分x}}dx}{dx+{\tfrac{\部分u_{x}}{\部分x}}dx}}={\frac{\tfrac{\部分u_{y}}{\部分x}}}{1+{\tfrac{\部分u_{x}}{\部分x}}}}}\\tan\beta={\frac{{\tfrac{\部分u_{x}}{\部分x}}}\\tan\beta={\frac{{\tfrac{\部分u_{x}}{\部分x}}}\\tan\beta={\frac{{\tfrac{\部分u_{x}}{\部分x}}}\\tan\beta={\frac{\部分u_{x}}{\部分x}}\\tan\beta}\\tan\beta}\\tan\beta\\tan\beta}\\{X}}{\部分y}}DY}{DY+{\tfrac{\部分U_{Y}}{\部分Y}}DY}}={\frac{\tfrac{\部分U_{X}}{\部分Y}}{1+{tfrac{\部分u_{Y}}{\部分Y}}}端\{整列}整列{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}開始{整列}}$

小さな変位勾配の場合、

≤u xがあります ∂x∂1;∂u y∂y∂1{\displaystyle{\cfrac{\partial u_{x}}{\partial x}}\ll1~;~{\cfrac{\partial u_{y}}{\partial y}}\ll1}

${\cfrac{\部分u_{x}}{\部分x}}\ll1~;~~{\cfrac{\部分u_{y}}{\部分y}}\ll1$

小さな回転、すなわちαとβが≤1の場合、tan α≤α、tan β≤βがあります。したがって、

α≤u y≤x;β≤u x≤y{\displaystyle\alpha\approx{\cfrac{\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta\approx{\cfrac{\partial u_{x}}{\partial y}}}

$\アルファ\約{\cfrac{\部分的なu_{y}}{\部分的なx}}〜;~~\ベータ\約{\cfrac{\部分u_{x}}{\部分y}}$

したがって、

∂xy=α+β=∂u y∂x+∂u x∂y{\displaystyle\gamma_{xy}=\alpha+\beta={\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac{\partial u_{x}}{\partial y}}\,\! Gamma\ガンマ_{xy}=\アルファ+ベータ={\frac{\部分u_{y}}{\部分x}}+{\frac{\部分u_{x}}{\部分y}}\、\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！\！

xとyとuxとuyを交換することによって、yxy=yyxであることを示すことができます。

も同様に、yz、xz平面して

γ y z=γ z y=∂u y∂z+∂u z∂y,z γ x=γ x z=∂u z∂n i+∂y∂x∂x∂y u x∂z{\displaystyle\gamma_{yz}=\gamma_{zy}={\frac{\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac{\partial u_{z}}{\partial y}}\quad,九\gamma_{zx}=\gamma_{xz}={\frac{\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac{\partial u_{x}}{\partial z}}\,\! Gamma\ガンマ_{yz}=\ガンマ_{zy}={\frac{\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac{\partial u_{z}}{\partial y}}\クワッド、\qquad\ガンマ_{zx}=\ガンマ_{xz}={\frac{\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac{\partial u_{x}}{\partial z}}\クワッド、\qquad\ガンマ_{zx}=\ガンマ_{xz}={\frac{\partial u_{x}}{\partial z}}\クワッド、\qquad\ガンマ_{zx}=\ガンマ_{xz}={\frac{\partial u_{x}}{\partial z}}\クワッド、\qquad\ガンマ_{zx}=\ガンマ_{xz}={\frac{\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!

無限小ひずみテンソルのテンソルせん断ひずみ成分は、工学ひずみ定義σを用いて

σ__=={\displaystyle{\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}}=\left=\left\,\!}

${\displaystyle{\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}}=\left=\left\,\!}$

Metric tensorEdit

Main article:Finite strain theory§曲線座標における変形テンソル

変位に関連するひずみ場は、任意の点で、その点を通過する任意のパラメータ化された曲線の速度を表す接ベクトルの長さの変化によって定義される。フレシェ、フォン・ノイマン、ジョルダンによる基本的な幾何学的結果は、接ベクトルの長さがノルムと平行四辺形の法則の公理を満たすならば、ベクトルの長さは計量テンソルと呼ばれる正定値双線型写像を持つ偏光公式によって関連付けられた二次形式の値の平方根であると述べている。