一階の線形方程式の定義
タイプの微分方程式
\
ここで、\(a\left(x\right)\)と\(f\left(x\right)\)は\(x,\)の連続関数であり、一次の線形非同次微分方程式と呼ばれます。 一次の線形微分方程式を解く二つの方法を考察した:
- 定数の変動の方法。
線形微分方程式が標準形式で書かれている場合、積分係数
を使用します:
\
積分係数は次の式で定義されます
\
方程式の左辺に積分係数\(u\left(x\right)\)を掛けると、左辺は積\(y\left(x\right)u\left(x\right)の導関数に変換されます。\)
微分方程式の一般解は次のように表されます:
\
ここで、\(C\)は任意の定数です。
定数の変動の方法
この方法は、前のアプローチに似ています。 まず、均質方程式の一般解を見つける必要があります:
\
定数\(C\)を特定の（まだ未知の）関数\(C\left(x\right)に置き換えます。\)この解を非同次微分方程式に代入することによって、関数\(C\left(x\right)を決定することができます。\(C\left(x\right)\)を計算することができます。\(C\left(x\right)\)を計算\)
記述されたアルゴリズムは、定数の変化の方法と呼ばれます。 もちろん、両方の方法は同じ解決策につながります。微分方程式のほかに、\(y\left({{x_0}}\right)={y_0},\)という形の初期条件がある場合、このような問題は初期値問題(IVP)またはコーシー問題と呼ばれます。IVPの特定の解には、一般解を初期条件\(y\left({{x_0}}\right)={y_0}に代入することによって定義される定数\(C,\)が含まれていません。\)
解決済みの問題
問題をクリックまたはタップして解決策を確認します。
例1
方程式を解く\(y–y-x{e^x}\)\(=0.\)
例2
微分方程式\(xy’=y+2{x^3}を解く。\)
例3
方程式\(y’-2y=x)を解く.\)
例4
微分方程式を解く\({x^2}y’+xy+2\)\(=0.\)
例5
初期値問題を解く：\（y–-y\tan x\）\（=\sin x、\）\（y\left（0\right）=1。\)
例6
初期条件\(y\left(1\right)=2で微分方程式(IVP)\(y’+{\large\frac{3}{x}\normalsize}y\)を解きます。\)
例7
微分方程式\（y=\left（{2{y^4}+2x}\right）y’の一般解を求めます。\)
例1.
この方程式を標準形式で書き直します:
\
積分係数を使用してこの方程式を解きます
\
次に、線形方程式の一般解は次のように与えられます
\
例2.
微分方程式\(xy’=y+2{x^3}を解きます。\)
この問題は、定数の変動の方法を使用して解決します。 まず、均質方程式の一般解を見つけます:
\
これは変数を分離することによって解決することができます:
\
ここで、\(C\)は正の実数です。ここで、\(C\)を特定の（まだ未知の）関数\(C\left(x\right)\)に置き換え、元の非同次方程式の解を次の形式で見つけます:
\
次に、導関数は
\^\prime}}={C’\left（x\right）x+C\left（x\right）で与えられます。}\]
これを式に代入すると、次のようになります:
\ }={ C\左（x\右）x+2{x^3},\;\;}}\Rightarrow\左（X\右）{x^2}+\キャンセル{C\左（x\右）x}}={\キャンセル{C\左（x\右）x}+2{x}Rightarrow^3},\;\;}}\Rightarrow C’\左（x\右）=2x。}
\]
積分すると、関数\({C\left(x\right)}\)が見つかります)}:\)
\
ここで、\({C_1}\)は任意の実数です。
したがって、与えられた方程式の一般解は次の形式で書かれます
\
1ページ目
1-2
2ページ目
3-7
この方程式を標準形式で書き直します:
\
積分係数を使用してこの方程式を解きます
\
次に、線形方程式の一般解は次のように与えられます
\
例2.
微分方程式\(xy’=y+2{x^3}を解きます。\)
この問題は、定数の変動の方法を使用して解決します。 まず、均質方程式の一般解を見つけます:
\
これは変数を分離することによって解決することができます:
\
ここで、\(C\)は正の実数です。ここで、\(C\)を特定の（まだ未知の）関数\(C\left(x\right)\)に置き換え、元の非同次方程式の解を次の形式で見つけます:
\
次に、導関数は
\^\prime}}={C’\left（x\right）x+C\left（x\right）で与えられます。}\]
これを式に代入すると、次のようになります:
\ }={ C\左（x\右）x+2{x^3},\;\;}}\Rightarrow\左（X\右）{x^2}+\キャンセル{C\左（x\右）x}}={\キャンセル{C\左（x\右）x}+2{x}Rightarrow^3},\;\;}}\Rightarrow C’\左（x\右）=2x。}
\]
積分すると、関数\({C\left(x\right)}\)が見つかります)}:\)
\
ここで、\({C_1}\)は任意の実数です。
したがって、与えられた方程式の一般解は次の形式で書かれます
\