熱膨張

熱膨張を計算する際には、本体が自由に膨張するのか、拘束されるのかを考慮する必要があります。本体が自由に膨張している場合、温度の上昇に起因する膨張またはひずみは、適用可能な熱膨張係数を使用して簡単に計算することができます。

身体が膨張できないように拘束されている場合、温度の変化によって内部応力が引き起こされます（または変化します）。この応力は、弾性率またはヤング率によって特徴付けられる応力/ひずみ関係を通じて、身体が自由に膨張した場合に発生するひずみと、そのひずみをゼロに低減するために必要な応力を考慮することによって計算することができる。固体材料の特殊なケースでは、外部周囲圧力は通常、物体の大きさにかなり影響しないため、通常、圧力変化の影響を考慮する必要はありません。

一般的なエンジニアリング固体は、通常、使用するように設計されている温度の範囲にわたって大きく変化しない熱膨張係数を持っているため、非常に高い精度が必要とされない場合、実用的な計算は、膨張係数の一定の平均値に基づいて行うことができます。

熱膨張によるロッドの長さの変化。

線形膨張とは、体積の変化（体積膨張）とは対照的に、1つの次元（長さ）の変化を意味します。最初の近似では、熱膨張による物体の長さ測定値の変化は、線形熱膨張係数（CLTE）による温度変化に関連しています。それは温度変化のある程度ごとの長さの僅かの変更です。圧力の影響を無視できると仮定すると、次のように書くことができます:

α L=1L d L d T{\displaystyle\alpha_{L}={\frac{1}{L}}\,{\frac{dL}{dT}}}

$\アルファ_L=\frac{1}{L}\、\frac{dL}{dT}\アルファ_L=\frac{1}{L}\、\frac{dL}{dT}$

ここで、L{\displaystyle L}

$L$

は特定の長さの測定値であり、d L/d T{\displaystyle dL/dT}

$dL/dT$

は温度の単位変化あたりのその線形次元の変化率である。

線形次元の変化は次のように推定することができます:

Δ L L=α L Δ T{\displaystyle{\frac{\Delta L}{L}}=\alpha_{L}\Delta T}

$\frac{\Delta L}{L}=\alpha_L\Delta T$

この推定は、線形膨張係数が温度Δ T{\displaystyle\Delta T}の変化に対してあまり変化しない限りうまくいく}

$\デルタT$

であり、長さの分数変化は小さいΔ L/L≤1{\displaystyle\Delta L/L\ll1}

$\Delta L/L\ll1$

である。これらの条件のいずれかが成立しない場合、正確な微分方程式（d L/d T{\displaystyle dL/dT}

$dL/dT$

を使用）は積分されなければならない。

ひずみへの影響編集
面積膨張係数
体積膨張編集
等方性材料編集
異方性材料edit

ひずみへの影響編集

ロッドやケーブルのようなかなりの長さの固体材料については、熱膨張量の推定値は、σ t h e r m a l{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}}{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}}{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}}{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}で与えられる材料ひずみによって記述することができる。} }}

$\$

と定義される。: ∂t h e r m a l=(L f i n a l−L i n i t i a l)L i n i t i a l{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}={\frac{(L_{\mathrm{final}}-L_{\mathrm{initial}})}{L_{\mathrm{initial}}}{(l_{\mathrm{initial}})}{(l_{\mathrm{initial}})}{(l_{\mathrm{initial}})}{(l_{\mathrm{initial}})}{(l_{\mathrm{initial}})}{(l_{\mathrm{} }}}}

$\イプシロン_\mathrm{熱}=\frac{（L_\mathrm{最終}-L_\mathrm{初期}）}{L_\mathrm{初期}}}}$

ここで、L i n i t i a l{\displaystyle L_{\mathrm{initial}}}となる。} }}

$L_\mathrm{initial}$

は温度が変化する前の長さ、L f i n a l{\displaystyle L_{\mathrm{final}}}

$L_\mathrm{final}$

は温度が変化する前の長さです。温度の変更。

ほとんどの固体では、熱膨張は温度の変化に比例する：

≤t h e r m a l≤Δ T{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}\propto\Delta t}

$\epsilon_{\mathrm{thermal}}\propto\Delta T$

したがって、ひずみまたは温度の変化は次のように推定することができる。:

$\epsilon_\mathrm{thermal}=\alpha_l\Delta T$

ここで

Δ T=(T f i n a l−T i n i t i a l){\displaystyle\Delta T=(T f i n a l-T i n i t i a l){\displaystyle\Delta T=(T f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(t f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(t f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(t f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(t f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(t f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(t f i n a l-t i n a l){\displaystyle\Delta T=(T_{\mathrm{final}}-t_{\mathrm{Initial}})} })}

$\デルタT=(T_\mathrm{final}-T_\mathrm{initial})})$

は、2つの記録されたひずみの間の温度の差であり、華氏、ランキン度、摂氏、またはケルビン度で測定され、α L{\displaystyle\alpha_{L}}である。}}

$\アルファ_l$

は、それぞれ°F−1、R−1、°C−1、またはK−1で表される、”華氏あたり”、”度ランキンあたり”、”摂氏あたり”、または”ケルビンあたり”で表される熱膨張の線形係数です。連続体力学の分野では，熱膨張とその効果を固有ひずみと固有応力として扱った。

面積膨張係数

面積熱膨張係数は、材料の面積寸法の変化と温度の変化に関連しています。それは温度変化のある程度ごとの区域の僅かの変更です。圧力を無視して、私達は書くかもしれません:

α A=1a d A D T{\displaystyle\alpha_{a}={\frac{1}{A}}\,{\frac{dA}{dT}}\,{\frac{dA}{dT}}}}}

$\アルファ_A=\frac{1}{A}\、\frac{dA}{dTを\アルファ_A=\frac{1}{A}\、\frac{dA}{dT}$

ここでA{\displaystyle A}

$A$

は物体上のある関心領域であり、d A/D T{\displaystyle dA/dT}

$dA/dT$

は温度の単位変化あたりのその領域の変化率である。

面積の変化は次のように推定することができます:

Δ A A=α A Δ T{\displaystyle{\frac{\Delta A}{A}}=\alpha_{A}\Delta T}

$\frac{\Delta A}{A}=\alpha_A\Delta T$

この式は、面積膨張係数が温度変化Δ T{\displaystyle\Delta T}の変化に対してあまり変化しない}

$\デルタT$

であり、面積の分数変化はΔ A/a≤1{\displaystyle\Delta A/A\ll1}

$\Delta A/A\ll1$

である。これらの条件のいずれかが成立しない場合は、方程式を積分する必要があります。

体積膨張編集

固体の場合、材料に対する圧力の影響を無視することができ、体積熱膨張係数は次のように書くことができます。

α V=1V d V d T{\displaystyle\alpha_{V}={\frac{1}{V}}\,{\frac{dV}{dT}}\,{\frac{dV}{dT}}\,{\frac{dV}{dT}\,{\frac{dV}{dT}}}

$\アルファ_v=\frac{1}{V}\、\frac{dV}{dT}\、\frac{1}{V}\、\frac{dv}{dT}\、}$

ここで、V{\displaystyle V}

$V$

は材料の体積、d V/d T{\displaystyle dv/dT}

$dV/dT$

は温度による体積の変化率である。

これは、物質の体積がある一定の分数だけ変化することを意味する。たとえば、1立方メートルの体積を持つ鋼ブロックは、温度を50K上昇させると1.002立方メートルに拡大する可能性があります。体積が2立方メートルの鋼のブロックがあった場合、同じ条件下では2.004立方メートルに拡大し、再び0.2％の拡大になります。体積膨張係数は、50Kの場合は0.2％、または0.004％K−1になります。

膨張係数をすでに知っていれば、体積の変化を計算することができます

Δ V V=α V Δ T{\displaystyle{\frac{\Delta V}{v}}=\alpha_{V}\Delta T}

\frac{\Delta V}{V}=\alpha_v\Delta T

ここで、Δ V/V{\displaystyle\frac{\Delta V}{v}}=\alpha_{V}\Delta T

デルタv/v}

$\Δ V/V$

は体積の分数変化（例えば0.002）であり、Δ T{\displaystyle\Delta T}

$\Delta T$

は温度変化（50℃）である。

上記の例では、温度が変化するにつれて膨張係数が変化せず、体積の増加が元の体積に比べて小さいと仮定しています。これは必ずしも真実ではありませんが、温度の小さな変化のために、それは良い近似値です。体積膨張係数が温度によってかなり変化する場合、または体積の増加が有意である場合は、上記の式を積分する必要があります:{\Displaystyle\int_{T_{i}}^{T_{f}}\alpha_{V}(T)\,dT}

\ln\left(\frac{V+\Delta V}{V}\right)=\int_{T_I}alpha{T_{f}}\alpha_{V}(t)\,dT}

\ln\left(\frac{v+\Delta V}{V}\right)=\int_{T_I}α{t_{f}}\alpha_{V}(t)\,dT}

\ln\left(\frac{V+\Delta v}{V}\right)=\int_{T_I}α{t_{f}}\alpha_{V}(t)\,dT}

\ln\left(\frac{V+\Delta v}{v}\right)δ v v=exp⁡(λ t i t F Α V(T)D T)−1{\displaystyle{\frac{\Delta v}{v}}=\exp\left(\int_{T_{I}}^{t_{f}}\alpha_{v}(t)\,dt\right)-{t_{F}}\alpha_{v}(t)δ{t_{f}}\alpha_{v}(t)δ{t_{F}}\alpha_{v}(t)δ{t_{F}}\alpha_{v}(t)δ{t_{F}}\alpha_{v}(t)δ{t_{F}}\alpha_{v}(t)δ{t_{F}}\alpha_{v}(t)dt{t_{F}}\alpha_{v}()-1}

$\frac Int_{T_I}dt{T_F}\alpha_v(T)\,dT\right\left(\Int_{T_I}dt{T_F}\alpha_v(T)\,dT\right)=\exp\left(\Int_{T_I}T{T_F}\alpha_v(T)\,dT\) - 1$

ここで、α V(T){\displaystyle\alpha_{V}(T)}は、α V(T){\displaystyle\alpha_{V)}

$\$

は温度Tの関数としての体積膨張係数であり、T i{\displaystyle T_{i}}

$T_{i}$

、T f{\displaystyle T_{f}}

$T_{f}$

はそれぞれ初期温度と最終温度である。

等方性材料編集

等方性材料の場合、体積の熱膨張係数は線形係数の3倍である:

α V=3α L{\displaystyle\alpha_{V}=3\alpha_{L}}

$\alpha_v=3\alpha_l$

この比は、体積が互いに直交する3つの方向から構成されているために生じる。したがって、等方性材料では、小さな差動変化のために、体積膨張の三分の一は単軸にある。一例として、長さLの辺を持つ鋼の立方体を取る。^{3}}

$v=L^3$

そして、温度上昇後の新しい体積は、V+Δ V=(L+Δ L)3=L3+3L2Δ L+3L Δ L2+Δ L3≤L3+3L2Δ L=V+3V Δ L Lとなります。 {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L).{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta l\over L}。{\Displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)3{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta l\over L}。}

Lの変化は二乗ではるかに小さくなる少量であるため、この用語を簡単に無視することができます。

だから

Δ V V=3Δ L L=3α L Δ T. {\displaystyle{\frac{\Delta V}{V}}=3{\Delta L\over L}=3\alpha_{L}\Delta T.}

${\displaystyle{\frac{\Delta V}{V}}=3{\Delta L\over L}=3\alpha_{l}\Delta T.}}$

上記の近似は、小さな温度と寸法変化（すなわち、Δ T{\displaystyle\Delta T}のとき）に対して成り立つ。}

$\Δ T$

とΔ L{\displaystyle\Delta L}

$\Delta L$

は小さい);しかし、Δ T{\displaystyle\Delta T}

$\Delta T$

の大きな値を使って体積係数と線形係数の間を行き来しようとしているなら、それは成立しない。この場合、上記の式の3番目の項（時には4番目の項）を考慮する必要があります。 α A=2α L{\displaystyle\alpha_{A}=2\alpha_{L}}

$\alpha_A=2\alpha_L$

この比は、上の線形の例と同様の方法で見つけることができ、立方体上の面の面積はちょうどL2{\displaystyle L}であることに注意することができる。^{2}}

$L^{2}$

. また、Δ T{\displaystyle\Delta T}

$\Delta T$

の大きな値を扱うときも同様の考慮が必要である。

簡単に言えば、固体の長さが1mから1.01mに拡大すると、面積は1m2から1.0201m2に拡大し、体積は1m3から1.030301m3に拡大します。

異方性材料edit

結晶（例えばマルテンサイト相のような立方対称性よりも小さい）や多くの複合材料のような異方性構造を持つ材料は、一般に異なる線形膨張係数α L{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}{\displaystyle\alpha_{L}}}を持つ。}}

$\アルファ_l$

異なる方向に。その結果、総体積膨張は三つの軸の間で不均等に分布する。結晶対称性が単斜晶系または三斜晶系である場合、これらの軸間の角度でさえも熱変化を受ける。そのような場合、熱膨張係数を最大6つの独立した要素を持つテンソルとして扱う必要があります。テンソルの要素を決定する良い方法は、x線粉末回折による膨張を研究することです。三次対称性を持つ材料（例えばＦＣＣ，ＢＣＣ）の熱膨張係数テンソルは等方性である。