1 차 선형 방정식의 정의
유형의 미분 방정식
\
여기서\(ㅏ\왼쪽(엑스\오른쪽)\)및\(에프\왼쪽(엑스\오른쪽)\)의 연속 함수입니다\(엑스,\)선형 비균질 미분 방정식 첫 번째 순서의. 우리는 첫 번째 순서의 선형 미분 방정식을 푸는 두 가지 방법을 고려합니다:
- 통합 요인 사용;
- 상수의 변형 방법.
적분 인자 사용
선형 미분 방정식이 표준 형식으로 작성된 경우:
\
적분 요인은 수식에 의해 정의됩니다
\
방정식의 왼쪽에 적분 인자를 곱하면 왼쪽이 곱의 도함수로 변환됩니다.\)
미분 방정식의 일반적인 해는 다음과 같이 표현됩니다:
\
여기서\(씨\)는 임의의 상수입니다.
상수의 변형 방법
이 방법은 이전 방법과 유사합니다. 먼저 균질 방정식의 일반적인 솔루션을 찾을 필요가:
\
우리는 상수\(씨\)특정(아직 알 수없는)함수로 대체\(씨\왼쪽(엑스\오른쪽).\)이 솔루션을 비균질 미분 방정식으로 대체하면 함수를 결정할 수 있습니다.\\)
설명 된 알고리즘을 상수의 변형 방법이라고합니다. 물론 두 방법 모두 동일한 솔루션으로 이어집니다.이러한 문제를 초기값 문제(체외수정)또는 코시 문제라고 한다.
체외출혈에 대한 특정 해법에는 일반 해법을 초기 조건으로 대체함으로써 정의되는 상수\(씨,\)가 포함되어 있지 않습니다.\(와이\왼쪽({{엑스 _0}}\오른쪽)={와이 _0}.\)
해결된 문제
문제를 클릭하거나 탭하여 해결 방법을 확인합니다.
예 1
방정식을 푸십시오.\)
예 2
미분 방정식을 풉니다.\)
예 3
방정식을 푸십시오..\)
예 4
미분 방정식\({엑스^2}와’+1+2\)\(=0.\)
예 5
초기 값 문제 해결:\(와이’–와이\탄 엑스\)\(=\죄 엑스\)\(와이\왼쪽(0\오른쪽)=1.\)
예 6
미분방정식을 초기 조건(왼쪽(1 오른쪽)=2)으로 풉니다.\)
예 7
미분 방정식의 일반적인 솔루션을 찾을 수\(와이=\왼쪽({2{와이^4}+2 엑스}\오른쪽)와이’.\)
예 1.
방정식을 푸십시오.\)
솔루션.
이 방정식을 표준 형식으로 다시 작성합니다.:
\
우리는 적분 요인을 사용하여이 방정식을 풀 것입니다
\
다음 선형 방정식의 일반적인 솔루션은에 의해 주어진다
\
예 2.
미분 방정식을 푸십시오.\)
솔루션.
상수의 변형 방법을 사용하여이 문제를 해결할 것입니다. 먼저 우리는 균질 방정식의 일반적인 해결책을 찾습니다:
\
변수를 분리하여 해결할 수 있습니다:
\
여기서\(씨\)는 양의 실수입니다.
이제 우리는 대체\(씨\)특정(아직 알 수없는)함수\(씨\왼쪽(엑스\오른쪽)\)원래 비균질 방정식의 솔루션을 찾을 수 있습니다:
\
이 경우,도함수는 도함수이며,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이고,도함수는 도함수이다.}\]
대체 이 방정식으로 제공:
\ }={ C\left(x\오른쪽)x+2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{{C’\left(x\right){x^2}+\취소{C\left(x\오른쪽)x}}={\취소{C\left(x\오른쪽)x} +2{x^3},\;\;}}\Rightarrow
{C’\left(x\오른쪽)=2x.}
\]
통합시,우리는 함수를 찾을 수\({씨\왼쪽(엑스\오른쪽)}:\)
\
여기서\({씨 _1}\)는 임의의 실수입니다.
따라서 주어진 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 형태로 작성됩니다
\